导数的几何意义及运用解密

1、导数的几何意义及运用解密 函数y=f（x）在x=x0处的导数f（x0）的几何意义是曲线在点x0的切线斜率，它不仅是导数概念直观化形象化的模型，也是导数作为数学工具加以运用的一个重要途径.把握导数几何意义及运用的常用类型，对于学好导数有着极其重要的意义.本文以列举范例的形式，对导数几何意义及运用加以解密. 基础运用切线斜率 例1 设曲线c：y=x3，点p（1，1），直线l：y=-x+1. （1）求曲线c在点p处的切线m的方程，并求切线m与c的公共点的坐标; （2）曲线在哪个点处的切线与l垂直？ 解析 （1）由c：y=x3得曲线c在点p的切线斜率为y=3x2x=1=3， 依点斜式知切线m：y-1=

2、3（x-1），即m：y=3x-2， 再由y=3x-2，y=x3得，x3=3x-2， 即（x-1）2（x+2）=0，从而x1=1或x2=-2. 所以切线m与c的公共点的坐标为（1，1）和（-2，-8）. （2）切线与直线l：y=-x+1垂直，则切线斜率为1. 设切点为（x0，x03），由y=3x2得，3x02=1， 则x0=33，从而切点为（33，39）或（-33，-39）. 点拨 “求切线，定切点”，包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况，求切线方程的难点在于分清“过点（x0，y0）的切线”与“点（x0，y0）处的切线”的差异. 突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处：在过点（x0，y0

3、）的切线中，点（x0，y0）不一定是切点;而点（x0，y0）处的切线，必以点（x0，y0）为切点，故此时切线的方程才是y-y0=f（x0）（x-x0）. 引申运用割线斜率 例2 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1x2），f（x1）-f（x2） a. f（x）=x b. f（x）=1x c. f（x）=x2 d. f（x）=2x 解析 f（x1）-f（x2） 答案 b 点拨 函数y=f（x）在图象上任意两点m（a，f（a），n（b，f（b）连线的斜率（存在的话）k=f（b）-f（a）b-a的取值范围就是函数图象上任意一点切线的斜率（如果存在的话）范围，即导函

4、数的值域，运用这一点，可以解决一些有关割线斜率的棘手问题. 拓展运用公切线 例3 已知抛物线c1：y=x2+2x和c2：y=-x2+a，如果直线l同时是c1，c2的切线，称l是c1，c2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段 . （1）a取什么值时，c1，c2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程; （2）若c1，c2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 解析 （1）函数y=x2+2x的导数y=2x+2，曲线c1在点p（x1，x12+2x1）的切线方程是： y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1）， 即y=（2x1+2）x-x12. 同理，函数y=-x2+a的导

5、数y=-2x，曲线c2在点q（x2，-x22+a）的切线方程是 y-（-x22+a）=（-2x2）（x-x2）， 即y=-2x2x+x22+a. 如果直线l是过p和q的公切线，则和是同一直线方程. 所以x1+1=-x2，且-x12=x22+a， 消元得2x12+2x1+1+a=0， 若=4-42（1+a）=0. 则a=-12，解得x1=-12，此时点p与q重合. 即当a=-12时，c1，c2有且仅有一条公切线. 由得公切线方程为y=x-14. （2）证明：由（1）可知，当a-12时，c1，c2有两条公切线. 设一条公切线上切点为p（x1，y1），q（x2，y2），其中p在c1上，q在c2上，

6、则x1+x2=-1， y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x12+2x1-（x1+1）2+a=a-1. 则线段pq的中点为（-12，a-12）. 同理，c1，c2另一条公切线段pq的中点也是（-12，a-12）， 所以公切线段pq与pq互相平分. 点拨 凡遇公切线，先设两切点，然后由导数计算切线斜率，再由点斜式写出两曲线的切线，最后利用两切线重合列方程组求解. 综合运用化归转化 例4 已知l：y=3x-13，在抛物线c：y=x2+x-2上找一点p，使p到直线l的距离最短并求此最短距离. 解析 如上图，运用运动变化的观念可知，与已知直线l平行且与抛物线c相切的直线的切点p到直线l的距离最短. 设切点p（x0，x02+x0-2），由抛物线c：y=x2+x-2得， y=2x+1， 则2x0+1=3，故x0=1. 则切点p（1，0），此时最短距离d=31-1310=10. 点拨 本题属于“非圆类曲线上的动点到与之相离的定直线距离的最值”，解答此类问题，求曲线的切线方程