模糊数学与模糊控制

1、模糊数学与模糊控制模糊数学与模糊控制 戴亚平戴亚平 北京理工大学自动化学院北京理工大学自动化学院 2021-8-9 绪论绪论 一、什么是模糊数学一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展 四、为什么研究模糊数学四、为什么研究模糊数学 2021-8-9 一、什么是模糊数学一、什么是模糊数学 秃子悖论秃子悖论: 天下所有的人都是秃子天下所有的人都是秃子 设头发根数设头发根数nn=1 显然显然 若若n=k 为秃子为秃子 n=k+1 亦为秃子亦为秃子 模糊概念模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间模糊概念：从属于该概念

2、到不属于该概念之间 无明显分界线无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。 2021-8-9 共同特点：模糊概念的外延不清楚。 术语来源术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的 模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰 模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 2021-8-9 二、模糊数学的产生与基本思想二、模糊数学的产生与基本思想 产生产生 1

3、965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ) 基本思想基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等. 2021-8-9 三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展 75年之前，发展缓慢；年之前，发展缓慢；80以后发展迅速；以后发展迅速； 90-92 Fuzzy Boom 杂志种类杂志种类 78年，年，Int. J. of Fuzzy Sets and Systems 每年每年1卷共卷共340页，页，99年年8卷每卷卷每卷480页

4、页 Int. J. of Approximate Reasoning Int. J. Fuzzy Mathematics Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems 2021-8-9 IEEE 系列杂志系列杂志 主要杂志主要杂志25种，涉及模糊内容种，涉及模糊内容20,000余种余种 国际会议国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊

5、图论，模糊优化等模糊数学分支模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 2021-8-9 模糊产品模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐 研究项目研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关个子项目与模糊有关 LIFE (Lab

6、oratory for International Fuzzy Engineering Research) NSF 应用数学：大规模数据处理、不确定性建模应用数学：大规模数据处理、不确定性建模 2021-8-9 国内状况国内状况 1976年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用 及应用数学；及应用数学； 1980年，汪培庄，模糊数学简介，数学的年，汪培庄，模糊数学简介，数学的 实践与认识实践与认识. 1981年，模糊数学创刊年，模糊数学创刊 全国模糊数学与模糊系统会议全国模糊数学与模糊系统会议11届届 四支主力之一四支主力之一 2021-8-9 四、为什么研究模糊数

7、学四、为什么研究模糊数学 复杂性要求复杂性要求 As the complexity of a system increases, our ability to make precise and yet significant statements about its behavior diminishes until a threshold is reached beyond which the precise and significance become mutually exclusive characteristics. 不相容原理不相容原理 (Incompatibility Prin

8、ciple) 2021-8-9 人工智能的要求人工智能的要求 取得精确数据不可能或很困难取得精确数据不可能或很困难 没有必要获取精确数据没有必要获取精确数据 小结小结: : 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科数学学科， 而且也形成了一种崭新的思维方法而且也形成了一种崭新的思维方法，它，它告诉我们告诉我们 存在亦真亦假的命题，从而存在亦真亦假的命题，从而打破了打破了以二值逻辑为以二值逻辑为 基础的传统思维，使得基础的传统思维，使得模糊推理模糊推理成为严格的数学成为严格的数学 方法。随着模糊数学方法。随着模糊数学的发展的发展，模糊理论和模糊技，模糊理论和模

9、糊技 术将对于人术将对于人类社会的类社会的进步发挥更大的作用。进步发挥更大的作用。 2021-8-9 参考书目参考书目 1. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社模糊数学基础，张文修，西交大出版社 3. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社 2021-8-9 简单举例简单举例 用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向

10、上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如模糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等 等。等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。 如：考虑年龄集U=0,100，A=“年老”，A也是一个年龄集， u = 20 A，40 呢？查德给出了 “年老” 集函数刻画: 10050) 5 50 (1 ( 5000 )( 12 u u u uA 1 0 U 50 100 再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶 属 于这一集

11、合的程度不一样，查德给出它的隶属函数： 10025) 5 25 (1 ( 2501 )( 12 u u u uB 1 0 25 50U B（u） 一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目标集，如研 究年龄规律，取0，130，它表达了问题的总范围，称为论域, 一般记为U。下面在论域U上定义模糊集 定义定义1.2.1 设A是论域U到0，1的一个映射，即 )(xAx A：U0，1 称A是U上的模糊集，而函数A （ ）称为模糊集A的隶 属函数，A （x)称为x对模糊集A的隶属度。 综合评判综合评判 综合评判是综合决策的内容。下面以电脑评判为例来说明如 何评价: 某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以

12、下几个指标：“运 算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”； “运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、调制 调解器、多媒体部件等）”；价格”。 于是请同宿舍同学一起去买电脑。如何进行决策? 1 u =“运算功能（数值、图形等）”； 2 u =“存储容量（内、外存）”； 3 u =“运行速度（CPU、主板等）”； 4 u=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”； 5 u =“价格”。 , 54321 uuuuuU 称因素集。 为了数学处理简单，先令为了数学处理简单，先令 评语集, 4321 vvvvV 其中 1 v =“很受欢迎”； 2 v =“较受欢迎”；3 v =

13、“不太受欢迎”； =“不受欢迎”； 4 v 任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。 若对于运算功能 有20%的人认为是“很受欢迎”， 50%的人 认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎” ，没有人 认为“不受欢迎”，则 的单因素评价向量为 , 1 u 1 u )0 , 3 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0( 1 R 同理，对存储容量 ，运行速度 ，外设配置 和价格 2 u 3 u 4 u 分别作出单因素评价，得 5 u ) 1 . 0 , 5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0( 2 R ) 1 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 0( 3 R )3 . 0 ,

14、 6 . 0 , 1 . 0 , 0( 4 R 组合成评判矩阵 4, R 3, R 2, R 1, R 5 (0.5,0.3,0.2,0.0)R 5 R R 0 . 02 . 03 . 05 . 0 3 . 06 . 01 . 00 . 0 1 . 05 . 04 . 00 . 0 1 . 05 . 03 . 01 . 0 0 . 03 . 05 . 02 . 0 R 据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配据调查，近来用户对微机的要求是：工作速度快，外设配 置置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于 是是得各因素的权重分配向

15、量：得各因素的权重分配向量： (0.1,0.1,0.3,0.15,0.35)A 作模糊变换：作模糊变换： 存储容量 运行速度 外设配置 价格 运算功能 BA R (0.1 0.1 0.3 0.15 0.35) 0 . 02 . 03 . 05 . 0 3 . 06 . 01 . 00 . 0 1 . 05 . 04 . 00 . 0 1 . 05 . 03 . 01 . 0 0 . 03 . 05 . 02 . 0 (0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5), (0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3), (0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2), (0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0) (0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5), (0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3), (0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2), (0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0) (