年年岁岁题相识,岁岁年年人不同 ——08年高考数学试题分析与探究

1、文库专用1 年年岁岁题相识， 岁岁年年人不同 08年高考数学试题分析与探究 华南师范大学数学科学学院 苏洪雨 文库专用2 继继2007年之后，年之后，2008年高考是实施新课程标年高考是实施新课程标 准后的第二次高考。这次的数学高考题目得到大准后的第二次高考。这次的数学高考题目得到大 多数人的认可。多数人的认可。 稳中求变，变中创新稳中求变，变中创新2008年高考数学广东卷试题年高考数学广东卷试题 和答卷分析和答卷分析华南师范大学数学科学学院华南师范大学数学科学学院(广州，广州，510631) 柳柏濂，中学数学研究柳柏濂，中学数学研究2008年第年第8期；期； 在朴素中保持稳定，在稳定中谋求创

2、新在朴素中保持稳定，在稳定中谋求创新2008年广年广 东高考数学试题印象与思考东高考数学试题印象与思考，深圳市石岩中学高中部，深圳市石岩中学高中部 (518000)康宁康宁 中学数学研究中学数学研究2008年第年第8期；期； 勇于开拓，大胆创新，争做新课程实验领路人勇于开拓，大胆创新，争做新课程实验领路人评析评析 2008年广东高考数学试题年广东高考数学试题中山市实验高级中学中山市实验高级中学 胡炎成胡炎成 高中高中2008年第年第7、8期）期） 文库专用3 一、试卷总体特色一、试卷总体特色 （一）覆盖全面，强调基础 统观2008年理科和文科试卷，知识点覆 盖了大纲所有的考试内容，全面丰富。而

3、 对于教材来说，几乎涉及各章的内容。 文库专用4 文库专用5 文库专用6 文库专用7 和2007年对比，我们会发觉高考主要考查了四大板 块：函数，几何，数列和概率统计。这也就是在 全面考查新课程的主要知识点的同时，重点考查 了主干知识。 2007年试题在基本面上以考查基础为主，包 括基础知识、基本方法和基本思想，难度不是很 大，解题方法容易掌握；2008年继续坚持以基础 为中心，考查定义、基本概念、定理，考查基本 技能、方法和思想。增加了基本题目的量，例如 文科的选择题、填空题、解答题16（1），理科 的选择题、填空、解答题16（1）；每个解答题 都有基本问题，涉及到的是基本概念、定义或定 理

4、。 文库专用8 文库专用9 这样做到目的主要是：一方面，考查未来 人才在数学方面的基础，为将来的数学学 习打下良好的基础； 另一方面，数学是一门基础性的学科，固 然选择优秀的数学人才是必要的，但是对 于大多数人来说，数学是学习其他专业的 工具，掌握数学的基础知识和基本技能， 理解其基本的思想方法足以帮助他们在专 业领域得到发展，而不仅仅是在数学上取 得很大的成绩。这也体现了新课程标准 “为学生提供选择和发展的空间，为学生 提供多层次、多种类的选择”的理念。 文库专用10 （二）知识交叉，综合考查（二）知识交叉，综合考查 在试卷中，考查单独的知识点的题目都是比较简 单的选择题或填空题，这样的题目

5、占到试卷总体 分值的20%左右，其余的都是涉及到两个或多个 知识点，也就是在知识交叉点，综合考查学生。 例如理科第7题，虽然是一个选择题，但是包含了 导数的求法，函数取极值的条件，指数函数的性 质和不等式等问题； 而第8题，学生不仅要熟悉平面向量的加减法则， 还要能够进行平面几何逻辑推理。再如，文科第5 题，这不仅仅是考查学生对三角函数奇偶性、周 期性的掌握程度，学生还要能够进行三角函数的 变换； 第10题包含了不等式、绝对值等问题，对学生来 说是一个挑战。 文库专用11 至于解答题，更是综合考查学生的问题了。 例如：理科： 16题是三角函数性质与三角恒等变换的综合； 17题是随机变量的分布列

6、、期望与解不等式的 综合； 18题是椭圆、抛物线、圆、导数综合题； 19题包括分段函数的单调性和导数应用； 20题线面关系、空间向量及坐标运算、解三角 形； 21题递推数列的综合题； 文库专用12 文科： 17题函数与不等式应用题，包括函数最值 问题； 18题线面关系、锥体体积的计算； 19题古典概型、分层抽样； 20题椭圆、抛物线、圆、导数综合题； 21题递推数列的综合题（化归转化、分类 讨论）。 文库专用13 （三）紧随课标，重视新增（三）紧随课标，重视新增 高考试题的编制依据主要有三个方面：普 通高中数学课程标准、普通高等学校 招生全国统一考试数学考试大纲（课程标 准版）、普通高等学校招

7、生全国统一 考试数学考试大纲（广东卷）。在这三 个中，课标是根本，其他两个文件以此来 制定，而后两个文件也是高中最为关注的， 但是实际上，都不能脱离课标。而所谓的 “超纲”可能就是不在考纲之列，但是仍 在新课标范围。 文库专用14 新的“双基”包括哪些内容呢？ 算法的内容 数据处理 向量 文库专用15 另一方面，数学课程应删减繁琐的计算、 人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的 内容，克服“双基异化”的倾向。 例如，避免在求函数定义域、值域及讨论函 数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免 人为地编制一些求定义域和值域的偏题； 对于数列中各量之间的基本关系的训练要控 制难度和复杂程度； 解三角形时，

8、不必在恒等变形上做过于繁琐 的训练。 文库专用16 从近年的试卷来看，新增内容不断加强。 2008年的文科试卷中关于：古典概率、统 计、命题演算、算法、三视图、程序框图、 导数等新内容，分值达到42分；理科试卷 中三视图、平面向量、程序框图、随机变 量的分布及其概率也是重点考查的内容。 文库专用17 在命题的难度和变化方面也有所加强，例如 07年的程序图仅是单问且是选择题，而今 年却是两问且是填空题。07年的统计以计 算为主，而今年的同样内容加进了数理分 析的手法，用方程解决问题。07年考查视 图是一道大题（文17题），相关视图的问 题也就是第1问，难度不大，学生很容易想 到是一个四棱锥。08

9、年的视图题是一道选 择题，看似降低了难度，事实上更加有效 地考查了学生的空间想象能力与推理能力。 文库专用18 （四）突出方法，倡导思想（四）突出方法，倡导思想 学习数学，重要的就是理解其思想，掌 握其方法。这和“与其授人与鱼不如授人 于渔”相似。高考数学题有意识地引导教 学要以“数学思想方法”为中心，以数学 知识为载体。在08年的试题中，这一导向 特别明显，也就是提醒学生，高考复习不 能靠背题、猜题，而是要理解数学，掌握 其思想方法。从08试卷来看，涉及到下面 的一些数学思想方法： 文库专用19 1、数形结合、数形结合 数形结合是一种重要的思想方法，因此在每一年的 高考中都是考试的重点，也是

10、解决问题的重要方 法之一。理科试题中的4，是一个线性规划问题， 结合图形可以很快求出答案；第8题，学生如果能 够画出图形，那么问题就容易解决了；第10题是 解析几何，不能离开数形结合，即使不用画出图 形，也要心中有图；15题几何证明也缺不了图形； 16、18、20解答题更是体现了数形结合的数学思 想方法。相应的文科试题中，数形结合的数学思 想方法也占很大比例。 文库专用20 2、方程与函数、方程与函数 方程与函数是高中数学的主干内容，因此也是高考 的考查的主要方面。从前面的知识分布图我们可 以了解到，函数是历届高考必考的4大块之一， 课标指出，高中课程是以“函数”为基础逐 步拓展到其他内容领域

11、。与函数联系密切的就是 方程，通过方程和函数，可以从运动的观点，分 析研究具体问题中的数量关系；正确表达有关问 题中的数量关系，从而解决问题。 08试题中无论理科还是文科，方程与函数都是重点 考查的对象。三大类型的题目都包括了这个内容， 体现了方程与函数的重要思想方法。例如选择题 中关于极值点的问题，既要理解函数，又要使用 方程的思想求解答案；再如解答题中的解析几何 问题，以及数列问题中使用的韦达定理。 文库专用21 与方程直接相关的内容：指数方程、对数 方程、零点、简单的三角方程；曲线与方 程，包括直线方程，圆的方程，椭圆，双 曲线，抛物线的方程，等等； 和函数直接相关的内容：函数概念及其性

12、 质，包括函数的定义域、值域（降低要 求）、函数的单调性、奇偶性、周期性、 反函数（降低要求）；基本初等函数：幂 函数，指数函数，对数函数，三角函数； 数列，包括等差数列、等比数列等。 文库专用22 3、化归与转化、化归与转化 数学中的很多问题都体现了化归与转化的思想方法， 因此高考把“化归与转化”作为考查的重点。在 08试题中，理科16、20、21题，文科16、18、 21题都要用到化归与转化的方法。 4、分类与整合 分类讨论和整合在高考中一直以来是常考的思想方 法，只不过是分类难易程度不同。在07年文科21 题，理科20题都要用到“分类与整合”的思想方 法。08年高考中，更为突出。理科18

13、、19、21题， 文科20、21题涉及到分类讨论。分类讨论，一定 要做到不重不漏；在讨论之后，还要注意整合。 文库专用23 5、或然与必然、或然与必然 或然与必然的数学思想方法主要在概率统计 试题中得到考查，例如08年理科17题。 6、特殊与一般、特殊与一般 08理21题、文21题都蕴含着“特殊与一般” 的思想方法，这也是比较常用的方法。我 们应该鼓励学生大胆尝试，从特殊中发现 一般规律，尽管题目属于压轴题，不能通 过简单的“特殊”处理就能完全解决问题， 不过这也是一个信号，鼓励学生解放思想， 使用各种数学思想方法进行试验，而不是 简单的模仿记忆。 文库专用24 （五）能力导向，注重思维（五）

14、能力导向，注重思维 例如，美国的2000年数学课程标准提出“问题解决 能力”、“推理和证明能力”、“数学交流能 力”、“数学关联能力”、“数学表征能力”等 （美国学校数学教育的原则和标准，人民教 育出版社，2004，12）； 德国2005年的数学课程标准是典型的能力导向的标 准，它提出六大宏观的数学能力，它们是（1）数 学论证，（2）数学地解决问题，（3）数学建模， （4）数学表征的应用，（5）数学符号、公式以 及技巧的熟练掌握，（6）数学交流。（徐斌艳， 关于德国数学教育标准中的数学能力模型， 课程 教材 教法，2007，9）。 文库专用25 能力导向的数学教育，促使学生进行探究、 动手操作

15、，不仅能帮助学生深入理解数学 知识，熟练掌握技能，而且也能够灵活应 用知识。 文库专用26 1、空间想象能力、空间想象能力 08年试题，在考查空间想象能力方面得到进 一步加强。这一能力是对空间形式的观察、 分析、抽象的能力，主要表现为识图、画 图和对图形的想象能力。识图是指观察研 究所给图形中几何元素之间的相互关系； 画图是指将文字语言和符号语言转化为图 形语言以及对图形添加辅助图形或对图形 进行各种变换，对图形的想象主要包括有 图想图和无图想图两种，是空间想象能力 高层次的标志。 文库专用27 考纲要求： 1)能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直 观形象； 2)能正确地分析出图形中基本

16、元素及其相互关系； 3)能对图形进行分解、组合； 4)会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 这些要求在试题中都有所体现。例如三视图问题， 08试卷中是一个选择题（文7，理5），然而其难 度超过了07年的大题（文17）。 文库专用28 文库专用29 这道题目就是考查学生的空间 思维能力。在做题中，图1有着 重要的作用，帮助学生识图， 分析图形中元素之间的关系， 很明显在图1中，BEF、 AED和CDF都是垂直底面 EDF，那么截去三部分之后， 这些性质是不变的，再通过空 间想象三视图（如图3），问题 就迎刃而解。 这题对空间想象思维的要求比 07年的题目要高。 文库专用30 从08试卷我

17、们看出，几何越来越受到重视。这是因 为几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过 对图形的把握，发展空间想象能力，这种能力是 非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身， 还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的 人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的 想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。 “课标”对空间想象能力的发展是：更加关注通 过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力； 关注在空间想象能力培养中人的认识规律，概括 了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性 质的规律，建议通过“直观感知、操作确认、思 辩论证、度量计算”等学习过程，培养和发展空 间想象能力，这对几何课程的学习应

18、该是有帮助 的。 文库专用31 我们来看08年试题中关于“几何”的试题。 文科的18题和理科的20题，虽然图形相似， 但是问题却差别很大。 文库专用32 文库专用33 虽然和文18题的图形是一样的，但是问题难 度较大。解答第（1）问可以采用： 向量法； 辅助线；（这是考查学生的空间想象能 力的一种方法，具有挑战性） 体积法。 第（2）（3）问是立体几何和平面几何相结 合的问题，不是很难。 文库专用34 第（1）问是解析几何的基本问题；第（2） 则是解析几何和平面几何知识的综合应用。 文库专用35 从分值来看，08年文理科试题中的“几何” 有42分，占总体的28%，这比07年的试卷 增加了几个百

19、分点（其中比理科多了2个百 分点，比文科多3个百分点）。在内容方面， 不再单一考查解析几何或立体几何，而是 把解析几何、立体几何和平面几何结合起 来，综合考查学生的推理和计算能力。 文库专用36 2、抽象概括、推理论证能力、抽象概括、推理论证能力 抽象概括能力是课标中新加的一个基本能力， 这不仅是数学本身、数学学习的需要，也 是现代社会对未来公民基本素养的要求。 考纲指出：抽象是指舍弃事物非本质 的属性，揭示其本质的属性；概括是指把 仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来 的思维过程抽象和概括是相互联系的， 没有抽象就不可能有概括，而概括必须在 抽象的基础上得出某种观点或某个结论。 文库专用37

20、 课标对推理论证能力的要求既包括了原来的演绎 推理（或逻辑推理），而且还包括了数学发现、 创造过程中的合情推理，如归纳、类比等合情推 理，这是数学的基本思考方式，也是做数学的基 本功。 考纲认为：推理是思维的基本形式之一，它 由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确 的前提到被论证的结论的一连串的推理过程，推 理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法 既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按 思考方法划分的直接证法和间接证法，一般运用 合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证 明中学数学的推理论证能力是根据已知的事实 和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真 实性的初步的推理能力。 文库

21、专用38 这两个数学能力在08年试题中都有很高的要求。 例如上面的理18、文20题的第（2）问，学生要 进行观察、比较、分析与综合，使用合情推理进 行猜想与归纳，再运用演绎推理进行证明。在其 他题目，例如理8、15、20、21题，文科15、17、 18、21题，都需要抽象概括和推理论证的数学能 力。 数据处理能力数据处理能力也日益得到加强。收集数据、处 理数据、从数据中提取信息作出判断的能力，进 而具有对一堆数据的感觉能力，这是现代社会公 民应具备的一种基本素养。 文库专用39 （六）变换题型，创设探究（六）变换题型，创设探究 08年高考题的一个较大特色就是敢于在题型上进行 变革，大胆创设探究

22、性问题。这正是回应了课标 “倡导积极主动、勇于探索的学习方式”的理念， 同时也是考纲要求的“创新意识”，创新意 识，能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用 所学的数学知识，思想方法，选择有效地方法和 手段分析信息，进行独立的思考，探索和研究， 提出解决问题的思路，创造性地解决问题创新 意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的 “观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问 题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、 组合、融合的程度越高，显示出的创新意识也就 越强 文库专用40 这个问题考查学生探究的三个层次： 第一层次：第一层次：探究是否存在这样的点？ 第二层次：第二层次：若存在，请指出共有几个

23、这样的点？ 第三层次：第三层次：并说明理由。 第一二层次鼓励学生大胆猜测，积极探索，这是在感性层次 的探究，学生可以利用几何直观来解决，但是第三层次就 是要求学生进行数学的推理论证，可以用平面几何直角三 角形性质、向量垂直，或解析几何直线垂直的斜率关系等， 做出数学化的回答，体现了数学研究的实际过程。使用探 究性的问题，可以说是高考的一个尝试，应该引起大家的 注意。 文库专用41 （七）强化应用，深化建模（七）强化应用，深化建模 数学应用意识和创新意识是考纲中强调的数学能力的最 高要求。自从上个世纪90年代初期高考中出现应用题以来， 数学应用逐步成为高考中重点考查的方面，这也是学生数 学能力的

24、综合体现。 课标也指出：高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力 加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明， 开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生 学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩 展学生的视野。高中数学课程应提供基本内容的实际背景， 反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设 立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程力求 使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生 活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用 意识，提高实践能力。 文库专用42 现在，高考对应用意识考查进一步加强。理科，应 用背景问题分值从07年的18%增至

25、19%；文科有 了更明显的增大，从07年的26%增加到30%。并 且这一趋势在形式上进一步提高难度层次，从简 单的应用（例如利用已知函数计算，概率、数理 统计的计算等）发展到综合应用数学建模。 例如文科17题：（本小题满分12分） 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上 建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测 算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平 均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房 每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多 少层？ 文库专用43 作为有天然应用背景的数理统计问题07年 的回归方程，其数学含量仅是求代数式的 值然而，今年在概率与

26、数理统计方面的 考点更偏重生活中用到的抽样，用局部(抽 样)来判断整体，在文科19题中加进了枚举 组合，而在理17题，加进了解方程、解不 等式的数理分析工具，使得数学含量更趋 丰富。 从这个趋势来看，考查学生的数学应用意识， 发展学生的数学建模能力将在今后的高考 题目中逐步加强，不会削弱。 文库专用44 （八）文理差异，区分难度（八）文理差异，区分难度 最后，08年试卷体现了“文理差异，区分难 度”。文理完全相同的题有9道，有部分差 异的类同题有6道，完全不同的有6道；共 有67分，占全卷的56；而07年相同的有 87分，占全卷的725，显然是为了凸显 文理的差异。 并且相同的题目在试卷的顺序

27、编排上也有所 不同，体现了对文理科学生的不同要求。 文库专用45 二、考生答题探析二、考生答题探析 08试题学生答题情况试题学生答题情况.doc 文库专用46 三、三、2009年新趋势年新趋势 随着新课程改革的不断推进，高考也在不断的进行 改革，按照“考查基础知识的同时，注重考查能 力”的原则，以能力立意为命题的指导思想，将 知识、技能、数学思想方法、数学意识和信念结 合在一起，综合考查学生的数学素养。这和以往 相比，有了很大的改变。有些观点，例如“只要 你告诉我考什么，我就能教好数学！”也需要改 变。现在虽然依据考纲命题，但是形式更加 灵活，内容更加丰富，可能会“出其不意”，让 人感觉“超纲

28、”，但是事实上，还在课标的 范围，所以算不上“超纲”！ 文库专用47 （一）继续以基础为本，突出新增内容方法（一）继续以基础为本，突出新增内容方法 与07年试题相比，08年的试题总体难度有所 下降，加大了对基础知识和基本技能的考 查；选择题、填空必做题主要考查课程标 准的必修内容；选择题和填空题中不设置 难题，体现基础性，降低了难度；解答题 在计算和推理方面的难度不大，使学生有 时间进行数学地思考，而不是在计算上花 费太多功夫。 那么09年的高考，将继续以“基础”为根本， 突出新双基，综合考查基础知识，新旧知 识相结合，强调新观点、新方法。 文库专用48 抓基础，这几乎是所有中学教师提出的口号

29、。 现在的“基础”，包括基础知识、基本技 能、基本思想和方法，主要是课本的基本 内容与方法，例如数学概念、性质、法则、 公式、定理等。抓基础不是面面俱到，简 单记忆和题海战术；对于基本的概念、性 质等，要真正理解其内涵，探究其背景。 文库专用49 突出新内容。从这几年的选择和填空可以 看出，一些新的基础内容是常常考到的内 容，例如07年的“读图”题目（理4），算 法流程图问题等，08年的线性规划、程序 框图、三视图等。还有一点就是新旧知识 结合考查，利用新方法、新观点解决问题。 例如函数与导数的综合，导数、函数与方 程的综合；几何与向量等。 预计09年这样的问题依然会占很大比例， 但是万变不离其宗，只要学生真正掌握了 基本概念、基本技能和方法，问题就能迎 刃而解。 文库专用50 （二）注重数学思想方法，坚持能力为导向（二）注重数学思想方法，坚持能力为导向 08年试卷蕴含了多种数学思想与方法：数形结合、 函数与方程、分类