自控第三章 时域分析法

1、第第3 3章章 控制系统的控制系统的时域分析法时域分析法 3.1典型输入信号和阶跃典型输入信号和阶跃响应性能指标响应性能指标 3.1.1典型输入信号典型输入信号 )( )( )( 00 0 t tR tr )( )( )( 00 0 t tRt tr )( )( )( 00 0 2 1 2 t tRt tr 2.（单位）斜坡函数（单位）斜坡函数 3. .（单位）抛物线函数（单位）抛物线函数 1. .（单位）阶跃函数单位）阶跃函数 4. .（单位）单位）冲激冲激函数函数 00 0 t t t)( 5. .正弦函数正弦函数 1 dtt)( tAtrsin)( c(t) t 时间时间tr 上上 升升

2、 峰值时间峰值时间tp A B 超调量超调量p = A B 100% 3.1.2 动态性能指标动态性能指标 c(t) t 调节时间调节时间ts c(t) t 时间时间tr 上上 升升 峰值时间峰值时间tp A B 超调量超调量p = A B 100% 调节时间调节时间ts +0.05 -0.05 定定 义义 1 c(t) t 上升时间上升时间tr 调节时间调节时间 ts 0.95 动态性能指标定义动态性能指标定义2 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 1. 数学模型数学模型 2. 单位阶跃响应单位阶跃响应 j T 1 1 ( )1( )( ) 1111 ( )( )( ) 1 1 r

3、 ttR s s C ssR s s Tss s T 1 ( )1 t T c te R(s)+ - 1 K K Ts ( )C S 1 K Ts C(s)R(s) ( (取取K= =1) ) 0t c(t)=1-e-t/T 0.5 0.5 11.5 0 1 0.632 c(T)=0.632 c() c(3T)=0.95c() c(2T)=0.865c() c(4T)=0.982c() 1 (0)c T (0.5)T 取 0 p 3 (5%) 4(2%) s T t T 2 0.5 (画图时取画图时取T=0.5) 3. 单位冲激响应（取单位冲激响应（取K=1) 1 (0)c T 2 1 (0)

4、c T 1 1 ( ) t T c te T ( )( )( )1 111 ( )( )( ) 1 1 r ttR s C ssR s TsT s T (0)t c(t)=t-T+Te-t/T 0.50 T 4. 单位斜坡响应（取单位斜坡响应（取K=1) 2 22 1 r(t)t( ) 111 ( )( )( ) 1 1 R s s TT C ssR s Tssss s T (画图时取画图时取T=0.5) 阶跃阶跃 冲激冲激 n 一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 n 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的

5、响应速度越慢， 跟踪精度越低。 n 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 方法一 通过负反馈减小时间常数 : 1 1 )( Ts sG 原系统为 : ，加入负反馈如下图： 反馈后系统的闭环传递函数为： 11 11 ( ) 1 11 11 K Ts s T T s s Ts 5. 减小一阶系统时间常数的措施减小一阶系统时间常数的措施 方法二 在系统的前向通道上串联一个比例环节。 原系统为： 传递函数为： 1 1 )( 0 Ts s 改进后系统为： 1 1 1 1 1 1 1 1 )( sT s T s Ks K s K s T T 1 T K 例：已知一阶系统的方框图如图所示。试

6、求该系统单位阶跃 响应的调整时间ts；若要求ts0.1秒，求此时的反馈系数。 )(sC - s 100 )(sR 0.1 解：由系统方框图求出闭环传递函数： 100 ( )10010 ( ) 100 ( )100.11 10.1 C s s s R sss s 由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒 所以：ts=3T=0.3秒（0.05） 若要求ts0.1秒，求此时的反馈系数。 可设反馈系数为k 1001 ( ) ( ) 1000.01 ( ) 11 C s sk s R s ks sk 当 ，则 ，即 时ts0.1秒 k T 01. 0 1 . 0 03. 0 3 k Tts 3 . 0k )

7、(sC - s 100 )(sR k 由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小。 Step Response Tim e (sec) Amplitude 00.10.20.30.40.50.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0k 3.0k 10 ,0.1 1 0.11 ( ) 10/3 0.01 ,0.3 1 0.1 1 3 k s k s k s ks 反馈加深对系统的响应还有什么影响？ 由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。 3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 3.3.1 数学模型数学模型 2 22 ( ) 2 n nn s ss 12 1 2

8、 TsTs 特征方程：特征方程： 22 20 nn ss 特征根：特征根： 1 2 21 nn s , n n T 1 时间常数 阻尼比 无阻尼自然振荡频率 )s( s n n 2 2 R(s)C(s) + - 固定固定 , 讨论讨论 s1,2 与与 的关系。的关系。 n 平面上的分布在观测时当ss,0: 1,2 -+jd j -jn -n jn -jd 1 2 21 nn s , 1） 0 2） 01 3）1 4）1 s s1 s2 s1,2=-jd ：衰减系数：衰减系数 d ：有阻尼自然振荡频率：有阻尼自然振荡频率 2 1,2 1 nn sj 2 11 1 costan 1 1. .欠阻尼

9、欠阻尼( )( )01 2 1,2 1 nn sj 令令 衰减系数衰减系数 n d j 2 1 dn 阻尼振荡频率阻尼振荡频率 S sR 1 )( 2 22 1 ( )( ) ( ) 2 n nn C ss R s SSS 由式由式 得得 2222 1 ()() nn ndnd S SSS 3.3.23.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 2 2 2 ( )1cossin 1 1 1cossin 1 n n t dd t dd c tett e tt 2 1 1sin()0 1 nt d ett 包络线

10、包络线 决定决定 收敛速度收敛速度 2 11 nt e 2 11 1 tancos 1,2 1 ( )1 cos n n sjj T c tt j n j n j 2. 2. 无阻尼无阻尼（= =0） ( )c t nn n n n SSSSS sC 111 22 2 )()( )( 0)1(11)( tteetetc n tt n t nnn 4. 过阻尼过阻尼( )1 1 2 2, 1 nn S 3. 临界阻尼临界阻尼( )1 S sRttr 1 1)(,)()( 2 2 (1) 22 (1) 22 1 ( )1 21(1) 1 0 21(1) n n t t c te et 6 n 2,

11、 1 . 1, 7 . 0, 5 . 0, 3 . 0 2 - 1S1,2=-n n S1,2= -n-n = S1,2 = jn 01 1 0 1 j 0 j 0 j 0 j 0 二二阶系统单位阶系统单位 阶跃响应定性分析阶跃响应定性分析 2 (s) = s2+2ns+n2 n 2 -j1-2 nS1,2= n 2 - 1 S1,2=-n n S1,2=-n-n= S1,2 = jn 01 1 0 1 j 0 j 0 j 0 j 0 二二阶系统单位阶系统单位 阶跃响应定性分析阶跃响应定性分析 2 (s) = s2+2ns+n2 n 2 -j1-2 nS1,2= n h(t)= 1 T2 t

12、T1 T2 1 e + T1 t T2 T1 1 e +h(t)= 1-(1+nt) e- t n h(t)= 1-cosnt j 0 j 0 j 0 j 0 T1 1 T2 1 11 010 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 无阻尼无阻尼 2 1 ( )1sin() 1 nt d h tet 欠阻尼欠阻尼 2 1 ( )1sin() 1 nt d c tet - d 得得 tr= 令令c(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值， 由由p = c() c(tp) c() 100% 弧度弧度 cos 令令c(t)一阶导数一阶导数=0，取其解，取其解 中的最小值中的最小值 得得 tp= d tg

13、 e p %100 或或 p 2 1 100% p e 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能计算欠阻尼二阶系统动态性能计算 包络线 2 1 snt e t n etc 2 1 1 1)( )()(ctc s 1)(c n s t 2 1ln 1 ln 忽略 2 1ln %2 4 %5 3 n n s t 由包络线求调节时间由包络线求调节时间ts (1) 2 1 100%, pp e 由可知仅与 有关 cos 0,100% p 50. 8860. 10 p 900, 当 600.5, 当 300.886, 当 01, 当 等超调量曲线 讨论：系统参数和暂态指标的关系讨论：系统参数和暂态指标的关系

14、44 n s t j s -0.5-1-1.5-2-2.5-3 等调整时间曲线 ts=1.73248 代入代入 讨论讨论(2) ps t阻尼系数 与超调量和调整时间 的关系 ts 0.707 p (1)阻尼系数阻尼系数 (2) ( 保持不变保持不变) ns t p =0.707时 有最小值 讨论讨论( (3) ) 44 () s n t 通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够 的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻 尼系数应选择在0.4和0.8之间。 例例 ：一个二阶系统，要求：一个二阶系统，要求 求系统极点位置求系统极点位置。 0.707,0.5 s t 解解： 28

15、88 850 4 457070 2 2 21 n n n s js t , . . 2 1 n j n cos 例：例：确定如图所示系统的确定如图所示系统的k k值，使得阻尼比为值，使得阻尼比为0.50.5。并求。并求 单位阶跃响应的上升时间单位阶跃响应的上升时间t tr r、峰值时间、峰值时间t tp p、超调量、超调量p p和调和调 节时间节时间t ts s。 - - 8 . 0 16 s s 1 k R(s)C(s) 解：解： 16)168 . 0( 16 )( )( 2 skssR sC 416 n 2 22 2 n nn ss 20.8 16 n k 2 13.464 dn 0.5

16、arccos1.047 3 0.2k d r t 3.14 1.047 0.6 ( ) 3.464 s 0.907 ( ) 3.464 p d ts 2 1 e100%16.3% p ， 44 2 ( )(0.02) 2 s n ts 33 1.5( )(0.05) 2 s n ts 3.4 高阶系统的时间响应概述高阶系统的时间响应概述 11 ( )(0)sin j kk gr p t t jkkk jk c tGA eA et 输入模态输入模态 一阶模态一阶模态 二阶模态二阶模态 由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数 组

17、成。组成。 1 2 输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应 的稳态分量。表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅的稳态分量。表示过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅 与输入量有关与输入量有关 。 传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的模态。传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的模态。 3 闭环极点远离虚轴，则相应的模态衰减得快。闭环极点远离虚轴，则相应的模态衰减得快。4 闭环零点只影响系统模态幅值的大小和符号。闭环零点只影响系统模态幅值的大小和符号。 5 6 7偶极子偶极子。 闭环极点位于闭环极点位于s 左半平面时，

18、模态衰减为零（称系统稳定）。左半平面时，模态衰减为零（称系统稳定）。 8 11 ( )(0)sin j kk gr p t t jkkk jk c tGA eA et 闭环主导极点闭环主导极点。 12 111 ()()() ( )()| ()()()() jj m jjspsp jjn szszsz AC s spk s spspspsp 12 111 ()()() ()()()() jjjm jjjjjjjn pzpzpz k ppppppppp )s)(s( )s(G 101 10 )s)(s( )s( )s(G 101 1 5 4 10 10 101 ( )1 99 10 11 9 tt

19、 tt c tee ee 10 27 ( )1 99 tt c tee j -1 -10 j -1 -10 例例2 2. . 已知：已知： ，求单位阶跃响应。，求单位阶跃响应。 可忽略 偶极子 例例 已知：已知： ，求单位阶跃响应。，求单位阶跃响应。 例：已知单位反馈系统的单位阶跃响应为例：已知单位反馈系统的单位阶跃响应为 求（求（1 1）开环传递函数）开环传递函数 G(s) （2） tt eetc 1060 2 . 12 . 01)( , nps t， 解：解：（1） 10 2 . 1 60 2 . 01 )( sss sC s sR 1 )( 60070 600 )( )( )( 2 ss

20、sR sC s ）（70 600 )(1 )( )( sss s sG ( ) 1( ) G s G s + 24.5,1.431 n 2 2) n n s s （ （2） 由于两个闭环极点中由于两个闭环极点中 |5|,10,60 2121 ssss 所以所以 s1对系统动态响应的影响可忽略不计，对系统动态响应的影响可忽略不计， s2为闭环主导极点，即为闭环主导极点，即 11 . 0 1 )( s s 30.3 ,0 sp tTs ( )600 ( ) ( )(10)(60) C s s R sss j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 运动模态总结运动模态总结 11 ( )(0)sin j

21、 kk gr p t t jkkk jk c tGA eA et 3.5 稳定性稳定性 稳定的基本概念稳定的基本概念 设系统处于某一平衡状态，在扰动作用下偏设系统处于某一平衡状态，在扰动作用下偏 离了平衡状态。在扰动作用消失后，经过一段过离了平衡状态。在扰动作用消失后，经过一段过 渡过程，如果系统能够恢复到原来的平衡状态，渡过程，如果系统能够恢复到原来的平衡状态， 即系统的零输入响应是收敛的，则称系统是稳定即系统的零输入响应是收敛的，则称系统是稳定 的；反之，若系统不能恢复平衡状态，即其零输的；反之，若系统不能恢复平衡状态，即其零输 入响应是发散的，则称系统是不稳定的。线性系入响应是发散的，则

22、称系统是不稳定的。线性系 统的稳定性是系统本身的固有特性，与输入无关。统的稳定性是系统本身的固有特性，与输入无关。 3.5.1线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件 微分方程微分方程 rbrbrbrbcacacac mm mm nn nn 1 )1( 1 )( 01 )1( 1 )( 考虑初始条件考虑初始条件,取拉氏变换取拉氏变换 )()()()()( 01 1 101 1 1 sNsRbsbsbsbsCasasas mm mm nn nn nn nn mm mm asasas bsbsbsb sR sC sG 1 1 1 1 1 10 )( )( )( 传递函数 由稳定

23、性定义由稳定性定义,应研究应研究 时的响应时的响应 0)( tr)( 0 tc nn nn asasas sN sC 1 1 1 0 0 )( )( 是系统闭环极点对应运动模态的线性组合是系统闭环极点对应运动模态的线性组合, 稳定性稳定性完全取决于其特征根完全取决于其特征根 (闭环极点闭环极点)位置位置 )( 0 tc 线性定常系统稳定的充分必要线性定常系统稳定的充分必要 条件是：条件是： 系统闭环极点系统闭环极点( (特征根特征根) )全都具全都具 有有负负实部，亦即：全都位于复数平实部，亦即：全都位于复数平 面的面的左左半面。半面。 3.5.2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 令系统的闭环特征方

24、程为令系统的闭环特征方程为 1203 1 a aa a a 劳劳 斯斯 表表 1 0 1 1 21 2 321 3 4 321 2 7531 1 6420 fS eS ddS cccS b bbbS aaaaS aaaaS n n n n c c4 31 20 1 1 1 aa aa a b 51 40 1 2 1 aa aa a b 31 51 1 2 1 bb aa b c 21 31 1 1 1 bb aa b c 0 1 1 10 nn nn asasasa 计算中某行可以同时乘上一个正数计算中某行可以同时乘上一个正数 2）充要条件：）充要条件： 观察观察劳斯表中第一列的系数：劳斯表中

25、第一列的系数： 如果均为正值，则表示其特征根都在如果均为正值，则表示其特征根都在S的左半平面，的左半平面， 相应的系统是稳定的。相应的系统是稳定的。 如果符号有变化，则如果符号有变化，则相应的系统为不稳定，相应的系统为不稳定， 且符号变且符号变 化的次数等于该特征根在化的次数等于该特征根在S右半平面上的数。右半平面上的数。 12 0121 .0 nnn n a sa sa sa 闭环特征方程闭环特征方程 1）必要条件）必要条件：ai 0 （i = 0,1,.) 1. .劳斯稳定判据劳斯稳定判据 有正有负一定不稳定有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定缺项一定不稳定! -s2-5s-6=0稳定吗？

26、稳定吗？ 0103 . 25175 .41 423 SSS 例例 试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表解：列劳斯表 40 1 42 3 103 . 2 5 .38 0103 . 25 .41 05171 S S S S 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二 个根在个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。的右半平面，因而系统是不稳定的。 已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为 2. 劳斯判据两种特殊情况劳斯判据两种特殊情况 （1）劳斯表某一行中的第一项等于零。）劳斯表某一行

27、中的第一项等于零。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该 方程在方程在S S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。 如果第一列如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方 程中有一对共轭虚根存在，相应的系统属临界（不）稳定。程中有一对共轭虚根存在，相应的系统属临界（不）稳定。 解决的办法是以一个很小的正数解决的办法是以一个很小的正数 ，来代替为零项，然后完，来代替为零项，然后完 成劳斯表的排列。成劳斯表的排列。 例例已知系统的特征

28、方程式为已知系统的特征方程式为 022 23 SSS 试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。 解：列劳斯表解：列劳斯表 2 )(0 22 11 0 1 2 3 S S S S 该方程中有一对共轭该方程中有一对共轭 虚根存在，相应的系虚根存在，相应的系 统为临界稳定。统为临界稳定。 例：设系统特征方程为：例：设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳劳 斯斯 表表 s6 s5 s0 s1 s2 s3 s4 1 246 357 (64)/2=1 1 (10-6)/2=2 27 1 246 357 1 0 (6-14)/1= -8 -8 2 4 1 2 2+

29、8 7 -8(2 +8) - 7 2 7 1 2 7 -8 该系统不稳定该系统不稳定 有两个正实部根有两个正实部根有两个正实部根有两个正实部根有两个正实部根有两个正实部根 d=1 2 3 4 5 6 7; roots(d) -1.3079 + 0.5933i -1.3079 - 0.5933i 0.7104 + 1.1068i 0.7104 - 1.1068i -0.4025 + 1.3417i -0.4025 - 1.3417i 设系统特征方程为：设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳劳 斯斯 表表 s0 s1 s2 s3 s4 5 1 7 5 6 11 66 0 1 劳

30、斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办出现零行怎么办? 3 如何求对称的根如何求对称的根? 由零行的上一行构成由零行的上一行构成 辅助方程辅助方程: 有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行特征根时会出现零行 s2+1=0 对其求导得零行系数对其求导得零行系数: 2s1 11 继续计算劳斯表继续计算劳斯表 1 第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定 错啦错啦! 2 由由综合除法综合除法或或比较系数法比较系数法 可得另两个根可得另两个根s3,4= -2,-3 解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根: s1,2=j (2)劳斯表出现全零行劳斯

31、表出现全零行 列劳斯表列劳斯表 16 0 3 8 166 248 000 16122 016122 162081 0 1 2 3 4 5 6 S S S S S S S 第一列的系数均为正，表明该方程在第一列的系数均为正，表明该方程在S右半右半 平面上没有特征根。令平面上没有特征根。令F(s)=0，求得的根，求得的根 为为 2,2jj 显然这个系统处于临界稳定状态。显然这个系统处于临界稳定状态。 例例 控制系统的特征方程为控制系统的特征方程为 F(s)对2s4 +12s2 +16 求导 8s3 +24s 01616201282 23456 SSSSSS -0.0000 + 2.0000i -0

32、.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i 例例:设系统特征方程为：设系统特征方程为： s5+ 2s4+3s3+6s2-4s-8=0 劳劳 斯斯 表表 s1 s2 s3 s4 s5 2 1 3 6 -4 00 3 由零行的上一行构成由零行的上一行构成 辅助方程辅助方程: 2s4 +6s2-8=0 对其求导得零行系数对其求导得零行系数: 8s3 +12s1=0 33.3 由由综合除法综合除法或或比较系数法比较系数法 可得另可得另1个根个根s5= -2 解辅助方程得对称根

33、解辅助方程得对称根: s3,4=2js0 -8 128 -8 -8 有有有有有有1 1 1个正实部根个正实部根个正实部根个正实部根个正实部根个正实部根 (s2-1) (s2+4) =0 s1,2=1 例例: 已知特征方程为：已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0 求产生纯虚根为求产生纯虚根为j1的的z值和值和k值。值。 解：解： 30 1200 k kz 6000-k30kz （6000-k)s2+30kz=0 有纯虚根，有纯虚根，劳斯表一定有零行劳斯表一定有零行 6000k-k2-900kz s4 s3 s2 s1 s0 30 1200 k kz 于是有：于是有： 600

34、0k-k2-900kz=0 辅助方程辅助方程: k = 30 代入左式得代入左式得: Z=6.63 s2 =-1S1,2=j1 例例0)1 (16705175 .41 23 KSSS 求该系统稳定的求该系统稳定的K值范围。值范围。 解：列劳斯表解：列劳斯表 )1 (1670 0 5 .41 )1 (16705175 .41 0)1 (16705 .41 05171 0 1 2 3 KS K S KS S 由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全 为正值。可得：为正值。可得： 0)1 (1670 0)1 (2 .40517

35、K K 9 .111K 3. 劳斯判据的应用劳斯判据的应用 （1）. . 求临界稳定参数求临界稳定参数 例例. . 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程0413102 23 SSS 是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右半平面上，并检验有几个根在垂线 的右方。的右方。 1S 4 2 .12 10 8130 410 132 0 1 2 3 S S S S 第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。 令令 s=z-1s=z-1 代入特征方程：代入特征方程： （2 2）. .检验稳定裕量检验稳定裕量令令

36、s=z - ,并代入特征方程并代入特征方程 解：列劳斯表解：列劳斯表 s z 04) 1(3) 1(10) 1(2 23 ZZZ 0142 23 ZZZ 式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在 s= -1 s= -1 的右方的右方 列劳斯表列劳斯表 1 2 1 14 12 0 1 2 3 z z z z 第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线 1S 的右方。的右方。 -3.1246 -1.4268 -0.4486 3.6.1 稳态误差的定义稳态误差的定义 G(s) H(s) R(s)E(s)C(s) B(s) 输输

37、入入端定义：端定义： E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s) 输输出出端定义：端定义： E(s)=C希 希-C实实 G(s) R(s)E(s)C(s) C(s) 误差误差E(s)=R(s)-C(s) G1(s) H(s) R(s)C(s) G2(s) N(s) 总误差怎么求？总误差怎么求？ En(s)=C希 希-C实实= Cn(s) )( )( )( sH sE sE G(s) C希 希C(s) H(s) H(s) R(s) R(s) H(s) = -C(s) 1.误差定义误差定义 一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，误差信一个稳定系统在输入量或扰动的作用下，误差信 号号e（

38、t）的稳态值被称为稳态误差的稳态值被称为稳态误差 0 ( )lim ( )lim( ) ss ts ee tsE s 注意注意 拉氏变换终值定理应用条件拉氏变换终值定理应用条件: :sE(s)sE(s)的全部极的全部极 点点( (除原点外除原点外) )都具有负实部都具有负实部 时时, ,是否可用终值定理求稳态误差是否可用终值定理求稳态误差? ?( ) sinr tt 2. 稳态误差的定义稳态误差的定义 R(s)E(s) + + N(s) C(s) _ G1(s) G2(s) H (s) 给定误差传递函数给定误差传递函数 )()(1 1 )()()(1 1 )( )( )( 21 sHsGsHs

39、GsGsR sE s e 扰动误差传递函数扰动误差传递函数 22 12 ( )( )( )( )( ) ( ) ( )1( )( )( )1( )( ) en G s H sG s H sE s s N sG s G s H sG s H s ssnssrss eee 00 ( ) lim( )lim 1( )( ) ssrr ss sR s esE s G s H s 2 00 ( )( )( ) lim( )lim 1( )( ) ssnn ss sG s H s N s esE s G s H s 3.3.误差传递函数误差传递函数 11 11 (1)() ( )( ) (1)() mm

40、ii ii nn jj jj KTsKsz G s H s ssssp 4 . 开环传递函数的特点开环传递函数的特点 1 1 m i i n j j Kz K p 为积分环节个数为积分环节个数型型 0 零型系统零型系统 1 型系统型系统 2 型系统型系统 时间常数型 零点极点型 开环放大倍数 开环传递系数 essr的三要素：的三要素： 、K、r(t) 00 ( ) lim( )lim 1( )( ) ssrr ss sR s esEs G s H s 0 lim( )( ) s Ks G s H s 1. 阶跃信号输入阶跃信号输入 令令 1, 0, K K p 1,0 0, 1 0 const

41、 K R ess )()(lim1)()(1 lim 0 00 0 sHsG R sHsG R e s s ss )()(lim 0 sHsGK s P p K R 1 0 S K S0 lim 00 ( ) lim( )lim 1( )( ) ssrr ss sR s esE s G s H s 可见：要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选可见：要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选 用用型及型及型以上的系统型以上的系统 静态位置误差系数静态位置误差系数 3.6.2 参考输入作用下的稳态误差参考输入作用下的稳态误差 0 ( )r tR 0 ( ) R R s s 2. 2.斜坡输入信

42、号斜坡输入信号 0 2 0 0 0 lim 1( )( )lim( )( ) s s v s v s G s H ssG s H s )()(lim 0 sHssGK s v v K v0 令令 2 1 00 KK v 20 1 0 0 K v ess 1 0 lim S K S 静态速度误差系数 0 ( ) lim 1( )( ) ssr s sR s e G s H s 0 ( )r tv t 0 2 ( ) v R s s 3. 加速度输入加速度输入 令令 3 2 1 , 00 KK a 30 2 1 , 0 0 const K a ess )()(lim)()(1 lim 2 0 0

43、3 0 0 sHsGs a sHsG s a s e s s ssr a K a0 )()(lim 2 0 sHsGsK s a 2 0 lim S K S 静态加速度误差系数 2 0 1 ( ) 2 r ta t 0 3 ( ) a R s s r(t)=R1(t) ess= 1+ k s R lim 0s r(t)=Vt ess= s V lim 0s k s r(t)=At2/2 ess= s2 A lim 0s k s 型型 0型型 型型 R1(t) R 1+ k V k Vt 0 00 A k At2/2 k k k 0 00 静态误差系数静态误差系数稳态误差稳态误差 p K v K

44、 取不同的取不同的 a K 已知单位反馈系统开环传已知单位反馈系统开环传 递函数为递函数为G( (s) )，输入为输入为r( (t) )， 试求稳态误差试求稳态误差e ess ss。 。 s2(0.1s+1) 8(0.5s+1) G3(s)= s(s+4)(s2+2s+2) 7(s+3) G2(s)= (0.1s+1)(0.5s+1) 10 G1(s)= r1(t)=1(t) r2(t)=t r3(t)=t2 解：解： 0型型 型型 型型 kp=10 kv=21/8 ka=8 ess=1/11 ess= 8/21 ess=1/8 系统系统2不稳定，不稳定， 系统系统3的的a0=2， ess e

45、ss=1/4 3.6.3 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差 )()(1 )()( )()()(1 )()( )( )( )( 2 21 2 sHsG sHsG sHsGsG sHsG sN sE s en )( )()(1 )()( lim)(lim 2 00 sN sHsG sHssG ssEe ss ssn 当扰动为单位阶跃信号时，当扰动为单位阶跃信号时， )0()0()0(1 )0()0(1 )()()(1 )()( lim 21 2 21 2 0 HGG HG ssHsGsG sHssG e s ssn 当开环增益足够大，当开环增益足够大， 1)0()0()0( 21 HGG

46、)0( 1 1 G essn 上式说明，扰动输入作用下的稳态误差主要取决于G1(0)， 即扰动点前的传递函数。 求图示系统的求图示系统的essn。 5 s r=0 (0.1s+1)(0.5s+1) 2c(t) (1) n(t)=1(t) 5 s r=0 (0.1s+1)(0.5s+1) 2c(t) (2) n(t)=1(t) 解：解： (1) E(s)= s(0.1s+1)(0.5s+1)+10 -5 (0.1s+1)(0.5s+1) s 1 系统稳定系统稳定 (2) E(s)= s(0.1s+1)(0.5s+1)+10 -2s s 1 essn= limsE(s) = -1/2 s0 ess

47、n= limsE(s) = 0 s0 s(T1s+1)(T2s+1) 1s+ 2s2 s(T1s+1)(T2s+1) k2 k1 R(s) E(s) C(s) 求图示系统中的求图示系统中的1、 、2，使系统由 使系统由 一阶无差系统变为三阶无差系统。一阶无差系统变为三阶无差系统。 解：解： er(s) = s(T1s+1)(T2s+1) k1k2 (1s+ 2s2)k2 1+ 1 s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2 ，则分子只有，则分子只有s3 项时，由终值定理可得：项时，由终值定理可得： ess= limser(s)R(s) s0 = lim s s0 k1k2 T1T2s3 s3 R

48、 = 0 1k2=1 2k2=T1+T2 即即: 1 = 1/k2 2=(T1+T2)/k2 s(T1s+1)(T2s+1)- 2s21s+ ()k2 一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系 统的稳态误差为统的稳态误差为2 2。设该系统为三阶，其中，一对复数闭。设该系统为三阶，其中，一对复数闭 环极点为环极点为11j 根据和的要求，可知系统是根据和的要求，可知系统是型三阶系统，因而令其型三阶系统，因而令其 开环传递函数为开环传递函数为 )( )( 2 CbSSS K sG 。求满足上述要求的求满足上述要求的开环传递函数。开环传递函数。

49、解：解： 因为因为 相应闭环相应闭环 传递函数传递函数 pSpSpS K pSSS K KCSbSS K s 2)22()2()(22( )( 23223 3 2 4 1 5 . 02 22 2 b K C p CKp Cp bp CK C K K K e v v ss 5 . 0, 5 . 02 1 3.6.4 降低稳态误差的方法降低稳态误差的方法 1. 增大系统开环总增益，以降低给定输入作用下的稳态误差；增增大系统开环总增益，以降低给定输入作用下的稳态误差；增 大扰动作用点前系统前向通路的增益，以降低扰动作用所引起的大扰动作用点前系统前向通路的增益，以降低扰动作用所引起的 稳态误差。但过大

50、的增益会使系统失去稳定，或使动态性能恶化。稳态误差。但过大的增益会使系统失去稳定，或使动态性能恶化。 2. 增加系统前向通路中积分环节的数目，使系统型号提高，可消增加系统前向通路中积分环节的数目，使系统型号提高，可消 除不同输入信号时的稳态误差；在扰动点前的前向通路中加入积除不同输入信号时的稳态误差；在扰动点前的前向通路中加入积 分环节，可以消除特定扰动作用下的稳态误差。但引入积分环节分环节，可以消除特定扰动作用下的稳态误差。但引入积分环节 一般对稳定性不利。一般对稳定性不利。 3. 采用复合控制，即在按输出反馈的基础上再加上按扰动或按输采用复合控制，即在按输出反馈的基础上再加上按扰动或按输 入进行的顺馈控制（又称前馈控制）。入进行的顺馈控制（又称前馈控制）。 按扰动的按扰动的全全补偿补偿 N(s) R(s) Gn(s) T