高考数学专题七选修选修4-5不等式选讲课件文

1、选修4-5 不等式选讲 热点题型热点题型1 1绝对值不等式绝对值不等式 【感悟经典感悟经典】 【典例典例】(2018(2018合肥二模合肥二模) )已知函数已知函数f(x)=|2x-a|+a.f(x)=|2x-a|+a. (1)(1)当当a=2a=2时时, ,求不等式求不等式f(x)6f(x)6的解集的解集. . (2)(2)设函数设函数g(x)=|2x-1|.g(x)=|2x-1|.当当xRxR时时,f(x)+g(x)3,f(x)+g(x)3,求求a a 的取值范围的取值范围. . 【联想解题联想解题】(1)(1)看到解绝对值不等式看到解绝对值不等式, ,想到利用绝对想到利用绝对 值的意义值

2、的意义. . (2)(2)看到看到xRxR时的恒成立问题时的恒成立问题, ,想到分类讨论解绝对值想到分类讨论解绝对值 不等式不等式. . 【规范解答规范解答】(1)(1)当当a=2a=2时时,f(x)=|2x-2|+2.,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式解不等式|2x-2|+26,|2x-2|+26,得得-1x3,-1x3, 因此因此f(x)6f(x)6的解集为的解集为x|-1x3.x|-1x3. (2)(2)当当xRxR时时, , f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a= |

3、1-a|+a,|1-a|+a, 当当x= x= 时等号成立时等号成立, , 所以当所以当xRxR时时,f(x)+g(x)3,f(x)+g(x)3等价于等价于|1-a|+a3.|1-a|+a3. 1 2 当当a1a1时时, ,等价于等价于1-a+a3,1-a+a3,无解无解; ; 当当a1a1时时, ,等价于等价于a-1+a3,a-1+a3,解得解得a2;a2; 所以所以a a的取值范围是的取值范围是2,+).2,+). 【规律方法规律方法】 含绝对值不等式的常用解法含绝对值不等式的常用解法 (1)(1)基本性质法基本性质法: :对对a0,|x|0,|x|a-axa-axaxaxa或或 x-a.

4、x-a. (2)(2)平方法平方法: :两边平方去掉绝对值符号两边平方去掉绝对值符号. .这适应于两边都这适应于两边都 是正数的绝对值不等式是正数的绝对值不等式. . (3)(3)零点分区间法零点分区间法( (或叫定义法或叫定义法):):含有两个或两个以上含有两个或两个以上 绝对值符号的不等式绝对值符号的不等式, ,可用零点分区间法脱去绝对值符可用零点分区间法脱去绝对值符 号号, ,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 ( (组组) )求解求解. . (4)(4)几何法几何法: :利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义, ,画出数轴画出数轴,

5、,将绝对将绝对 值转化为数轴上两点的距离求解值转化为数轴上两点的距离求解. . (5)(5)数形结合法数形结合法: :在直角坐标系中作出不等式两边所对在直角坐标系中作出不等式两边所对 应的两个函数的图象应的两个函数的图象, ,利用函数图象求解利用函数图象求解. . 【对点训练对点训练】 1.1.已知函数已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.f(x)=|x-a|+|x+2|. (1)(1)当当a=1a=1时时, , 求不等式求不等式f(x)5f(x)5的解集的解集. . (2)(2)x x0 0R,f(xR,f(x0 0)|2a+1|,)|2a+1|,求求a a的取值范围的取值范围. . 【

6、解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时时,f(x)=|x-1|+|x+2|,f(x)=|x-1|+|x+2|, 当当x-2x-2时时,f(x)=-2x-1,f(x)=-2x-1, 令令f(x)5f(x)5即即-2x-15,-2x-15,解得解得-3x-2,-3x-2, 当当-2x1-2x1时时,f(x)=3,f(x)=3, 显然显然f(x)5f(x)5成立成立, ,所以所以-2x1,-2x1, 当当x1x1时时,f(x)=2x+1,f(x)=2x+1, 令令f(x)5f(x)5即即2x+15,2x+15,解得解得1x2,1x2, 综上所述综上所述, ,不等式的解集为不等式的解集为x|-3x2

7、.x|-3x2. (2)(2)因为因为f(x)=|x-a|+|x+2|(x-a)-(x+2)|=|a+2|,f(x)=|x-a|+|x+2|(x-a)-(x+2)|=|a+2|, 因为因为x x0 0R,R,有有f(x)|2a+1|f(x)|2a+1|成立成立, , 所以只需所以只需|a+2|2a+1|,|a+2|2a+1|, 化简可得化简可得a a2 2-10,-10,解得解得a-1a-1或或a1,a1, 所以所以a a的取值范围为的取值范围为(-,-11,+).(-,-11,+). 2.2.已知函数已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|,xR.f(x)=|2x-4|+|x+1|,xR.

8、 (1)(1)解不等式解不等式f(x)9.f(x)9. (2)(2)若方程若方程f(x)=-xf(x)=-x2 2+a+a在区间在区间0,20,2有解有解, ,求实数求实数a a的取的取 值范围值范围. . 【解析解析】(1)f(x)9(1)f(x)9可化为可化为|2x-4|+|x+1|9|2x-4|+|x+1|9 或或 或或 ; ; 2x42x4或或-1x2-1x2或或-2x-1; -2x-1; 所以不等式的解集为所以不等式的解集为-2,4.-2,4. x2 3x39 1x2 5x9 x1 3x39 (2)(2)由题意由题意:f(x)=-x:f(x)=-x2 2+a+aa=xa=x2 2-x

9、+5,x0,2,-x+5,x0,2, 所以方程所以方程f(x)=-xf(x)=-x2 2+a+a在区间在区间0,20,2有解有解函数函数y=ay=a和函和函 数数y=xy=x2 2-x+5-x+5图象在区间图象在区间0,20,2上有交点上有交点, , 因为当因为当x0,2x0,2时时,y=x,y=x2 2-x+5 ,7, -x+5 ,7, 所以所以a ,7 .a ,7 . 19 4 19 4 【提分备选提分备选】 1.(20181.(2018南阳三模南阳三模) )已知函数已知函数f(x)=|3x+2|.f(x)=|3x+2|. (1)(1)解不等式解不等式f(x)4-|x-1|.f(x)0),

10、m+n=1(m,n0),若若|x-a|-f(x) + (a0)|x-a|-f(x) + (a0) 恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 1 m 1 n 【解析解析】(1)(1)不等式不等式f(x)4-|x-1|,f(x)4-|x-1|, 即即|3x+2|+|x-1|4,x .|3x+2|+|x-1|4,x . (2) + = (m+n)(2) + = (m+n) =1+1+ + 4,=1+1+ + 4, 5 1 (,) 4 2 1 m 1 n 11 () mn n m m n 令令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|g(x)=|x-a|-f(x)=

11、|x-a|-|3x+2| = = 2 2x2a,x, 3 2 4x2a,xa, 3 2x2a,xa, 所以所以x=- x=- 时时,g(x),g(x)max max= +a, = +a,要使不等式恒成立要使不等式恒成立, ,只只 需需g(x)g(x)max max= +a4 = +a4 即即0a .00).|ax-2|+|ax-a|2(a0). (1)(1)当当a=1a=1时时, ,求此不等式的解集求此不等式的解集. . (2)(2)若此不等式的解集为若此不等式的解集为R,R,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时时, ,不等式为不等式为|x-

12、2|+|x-1|2,|x-2|+|x-1|2, 由绝对值的几何意义知由绝对值的几何意义知, ,不等式的意义可解释为数轴上不等式的意义可解释为数轴上 的点的点x x到点到点1,21,2的距离之和大于等于的距离之和大于等于2.2. 所以所以x x 或或x .x . 5 2 1 2 所以不等式的解集为所以不等式的解集为 注注: :也可用零点分段法求解也可用零点分段法求解. . 15 x xx. 22 或 (2)(2)因为因为|ax-2|+|ax-a|a-2|,|ax-2|+|ax-a|a-2|, 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为R R等价于等价于|a-2|2,|a-2|2, 所以所以a4a4

13、或或a0.a0.又又a0,a0,所以所以a4.a4. 所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是4,+).4,+). 热点题型热点题型2 2不等式的证明不等式的证明 【感悟经典感悟经典】 【典例典例】1.(20171.(2017江苏高考江苏高考) )已知已知a,b,c,da,b,c,d为实数为实数, ,且且 a a2 2+b+b2 2=4,c=4,c2 2+d+d2 2=16,=16,证明证明ac+bd8.ac+bd8. 2.2.已知已知x, yR.x, yR. (1)(1)若若x, yx, y满足满足|x-3y| , |x+2y| ,|x-3y| , |x+2y| , 求证求证: |x|

14、 .: |x| . (2)(2)求证求证: x: x4 4+16y+16y4 42x2x3 3y+8xyy+8xy3 3. . 1 2 1 6 3 10 【联想解题联想解题】1.1.看到看到a a2 2+b+b2 2,c,c2 2+d+d2 2与与ac+bd,ac+bd,想到利用柯想到利用柯 西不等式西不等式. . 2.(1)2.(1)看到绝对值不等式看到绝对值不等式, ,想到利用想到利用|a+b|a|+|b|.|a+b|a|+|b|. (2)(2)看到高次多项式的证明看到高次多项式的证明, ,想到利用作差比较法想到利用作差比较法. . 【规范解答规范解答】1.1.由柯西不等式可得由柯西不等式

15、可得: : (ac+bd)(ac+bd)2 2(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2),), 因为因为a a2 2+b+b2 2=4,c=4,c2 2+d+d2 2=16,=16, 所以所以(ac+bd)(ac+bd)2 264,64, 因此因此ac+bd8.ac+bd8. 2.(1)2.(1)因为因为|5x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x3y)|5x|=|2(x-3y)+3(x+2y)|2(x3y)| +|3(x+2y)|2+|3(x+2y)|2 +3 +3 = , = , 所以所以|x| ,|x| , 1 2 1 6 3 2 3 10 (2)x(2)x4

16、4+16y+16y4 4-(2x-(2x3 3y+8xyy+8xy3 3) ) =x=x3 3(x-2y)-8y(x-2y)-8y3 3(x-2y)(x-2y) =(x-2y)(x=(x-2y)(x3 3-8y-8y3 3) ) =(x-2y)=(x-2y)2 2(x(x2 2+2xy+4y+2xy+4y2 2) ) =(x-2y)=(x-2y)2 2(x(x2 2+2xy+y+2xy+y2 2)+3y)+3y2 20,0, 即得即得x x4 4+16y+16y4 42x2x3 3y+8xyy+8xy3 3. . 【规律方法规律方法】 绝对值不等式的证明绝对值不等式的证明 含绝对值不等式的证明

17、题主要分两类含绝对值不等式的证明题主要分两类: :一类是比较简单一类是比较简单 的不等式的不等式, ,往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉 绝对值转化为常见的不等式证明题绝对值转化为常见的不等式证明题, ,或利用绝对值三角或利用绝对值三角 不等式性质定理不等式性质定理:|a|-|b|a:|a|-|b|ab|a|+|b|,b|a|+|b|,通过通过 适当的添、拆项证明适当的添、拆项证明; ;另一类是综合性较强的函数型含另一类是综合性较强的函数型含 绝对值的不等式绝对值的不等式, ,往往可考虑利用一般情况成立则特殊往往可考虑利用一般情况成立则特殊 情况也成立

18、的思想情况也成立的思想, ,或利用一元二次方程的根的分布等或利用一元二次方程的根的分布等 方法来证明方法来证明. . 【对点训练对点训练】 1.1.已知函数已知函数f(x)=|x+1|.f(x)=|x+1|. (1)(1)求不等式求不等式f(x)|2x+1|-1f(x)f(a)-f(-b). :f(ab)f(a)-f(-b). 【解析解析】方法一方法一:(1):(1)当当x-1x-1时时, ,原不等式可化为原不等式可化为 -x-1-2x-2,-x-1-2x-2,解得解得x-1,x-1, 此时原不等式的解是此时原不等式的解是x-1;x-1; 当当-1x- -1x- 时时, ,原不等式可化为原不等

19、式可化为x+1-2x-2,x+1-2x-2,解得解得 x-1,x-1, 此时原不等式无解此时原不等式无解; ; 1 2 当当x- x- 时时, ,原不等式可化为原不等式可化为x+12x,x+11,x1, 此时原不等式的解是此时原不等式的解是x1;x1; 综上综上,M=x|x-1,M=x|x1.x1. 1 2 (2)(2)因为因为f(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)|f(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)| |ab+b|-|1-b|ab+b|-|1-b| =|b|a+1|-|1-b|.=|b|a+1|-|1-b|. 因为因为a,bM,a,bM,所以所以|b|1,|a

20、+1|0,|b|1,|a+1|0, 所以所以f(ab)|a+1|-|1-b|,f(ab)|a+1|-|1-b|, 即即f(ab)f(a)-f(-b).f(ab)f(a)-f(-b). 方法二方法二:(1):(1)同方法一同方法一. . (2)(2)因为因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1| |a+1-(-b+1)|=|a+b|,|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以所以, ,要证要证f(ab)f(a)-f(-b),f(ab)f(a)-f(-b), 只需证只需证|ab+1|a+b|,|ab+1|a+b|, 即证即证|ab+1|ab+1|2 2|a+b|a+b|2 2, , 即证即证a a2 2b b2 2+2ab+1a+2ab+1a2 2+2ab+b+2ab+b2 2, , 即证即证a a2 2b b2 2-a-a2 2-b-b2