典型例题抛物线问题

1、抛物线问题典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.2 2（1） x 4y （2） x ay （a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及 焦点坐标与准线方程.解：（1）p 2，二焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 1（2）原抛物线方程为：y2丄x， 2p丄aa 当a 0时，卫 丄，抛物线开口向右，2 4a11-焦点坐标是（,0），准线方程是：x4a4a 当a 0时，卫 ，抛物线开口向左，2 4a11焦点坐标是（,0），准线方程是：x .4a4a综合上述，当a

2、0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是:4a1x4a典型例题二例2若直线y kx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线Word资料斜率及弦中点坐标有关，故也可利用作差法”求k.解法一：设 A(xi,yj、B(X2, y2),则由:kx :可得:8x2 2k x (4k 8)x 40 .直线与抛物线相交, AB中点横坐标为:x1 x2 4k 82k2解得：k 2或k 1(舍去).故所求直线方程为：y 2x 2 .2 解法二：设 A(X1,yJ、B(x2,y2)，则有 y1

3、8xi2y28x2 .两式作差解：(yiy2)(yi y2) 8(x1 X2),X1X2yiy2为X24y1y2 kx12 kx22 k(x-| x2)44k 4 ,2或k 1 (舍去).则所求直线方程为：y 2x 2 .典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2 2px(p 0).如图所示，只须证明|MM1 ,则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.2证明：作AA1 l于A1, BB1 l于B1 . M为AB中点，作MM 1于M1，则由抛物线的定义可知：|aa af.bbJ |bf 在直角梯形BB1A1A中：1 1 1 MM2(aa| |B

4、B-(aF |bf)2aB1MM!-AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.2说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4 (1 )设抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为3.、5,求k值.(2)以(1)中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：(1)题可利用弦长公式求k，(2)题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标.解:( 1)由y2 4xy 2x得：4X2k2(4k 4)x k 0设直线与抛物线交于A(X1,yJ 与 B(X2,y2)两点.则有:X1x21 k

5、,X1 X24AB.(122)(捲X2)2.5(X1X2)24x1X2,5(Ck)kT.5(12 k)AB 3亦，J5(1 2k) 3/5 ,即 k 4(2)S9，底边长为3.5, 三角形高h 2 9 *3U55点P在x轴上，设P点坐标是(x0,0)则点P到直线y 2x 4的距离就等于h，即2X0 2 0 24 6-522 125X01或X0 5，即所求P点坐标是(一1，0)或(5，0).典型例题五例5已知定直线I及定点A (A不在I上)，n为过A且垂直于I的直线，设N为I上任一点，AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的 轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途

6、径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，I为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA PN且PN I即可.证明：如图所示，连结PA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P. AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有PA PN .AB I. PN I.则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线.例6若线段P1P2为抛物线C : y22px(p 0)的一条焦点弦，F为C的焦点，求证:PiFP2Fp 典型例题六分析：此题证的是距离问题，如果

7、把它们用两点间的距离 表示出来，其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义, 巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：F (-p,0)，若过F的直线即线段RP2所在直线斜率不存在时,则有RF| F2FP，RF F2F p若线段RP2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为:y k(X 号)(k 0)，且设 R(X1, yi ), P2(x2 , y2)-k（X 舟）2 得:k（X 号）2k2X2p(k22)xk2p4Xip(k22)X2X-Ix2根据抛物线定义有:ii则11|RF|PiFP2F|PF| RF|PF|BFXiX-iX2(Xii请将代入并化简得：P

8、F证法二：如图所示，设P、P2、且不妨设P2P2Xi_i_1P2Lp的射影分别是又 P2AF即丄丄m nPFp(m n) 2mn i号，|PiP2XiX2pXiX2 p-2 p4XiX2 2(Xi X2)F点在C的准线I上的射影分别是P、P2、F，由抛物线定义知，lpc F2 2 2 2. sec 4 p cot (1 cot )iaF朗|bp| 阴|咛SV.r 11 w 1RR，又设P2点在FF、Pi上m, FF|P2BPi，A、B 点,故原命题成立.典型例题七,求证:例7设抛物线方程为y* 1 sin42 px( p 0)，过焦点F的弦AB的倾斜角为焦点弦长为AB 2p .sin分析：此题

9、做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一：抛物线y2 2px(p 0)的焦点为(*,0), 过焦点的弦AB所在的直线方程为：y tan (x由方程组y tan(X自消去y 得: y2 2px4x2tan24p(tan2 ) p2tan2Xi X2设 A(Xi, yj, Bg, y2)，则XiX2p(ta n22)tan22p42p(1 2 cot )又 y1 y2 tan (捲 x2)ABJ(1 tan2 )(x1 x2)2.(1 tan2 )(X1X2)2 4x1X2_i(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 V4AF| AAj |AF| cos pBF|BB1

10、p |BF| cos于是可得出:AF_P_1 cosBF_p_1 cosAB AF BFP_P_1 cos1 cos2p21 cos2p故原命题成立.sin2典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点P（3,2J），它的一个焦点为F（ 1 , 0）,对应于该 焦点的准线为x 1，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8， 且直线AB与椭圆3x2 2y22相交于不同的两点，求（1）AB的倾斜角 的取值范围.（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程.分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其 斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k

11、的取值范围，从而可得 的 取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简 即可.解：（1）由已知得PF| 4 .故P到x 1的距离d 4，从而 PF d曲线C是抛物线，其方程为y2 4x.2y22无交点.设直线AB的斜率为k,若k不存在，则直线AB与3x2 二k存在.设AB的方程为y k（x 1）4x 可得：ky2 4y 4k 0 k(x 1)B坐标分别为（xi,yj、（X2,y2）,则：y1yiy24ABy1 y2)24y21.k V(y1 y2)2k4(1 k2)弦AB的长度不超过8,24(1 k )8即k2由 y 2 k(x 21得：(2k23x2 2y223)x2

12、 4k2x2(k21) 0由k21和k23可得：1 k .3或tan 3 或.3 tan 1，二所求的取值范围是:(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X3,y3)、D(x4, y4)2(k21)0由 3x2 k(；y21 2 得：(2k2 3)x2 4k2xX34k22，X3 &2k 32X3 X42k22k2 31亠2k2 3k2322k 3 91 J2k2X42k22k2 322亠 (X 1)222亠(x 1)2化简得：3x22y2 3x2(k2 1)2k23所求轨迹方程为：3x22 22y2 3x 0(5 x 3)典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求

13、AB的中点到 y轴的距离的最小值，并求出此时 AB中点的坐标.分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题，因此只要研究 A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可.解：如图，设F是y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD， 又M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则2(afBF)设M点的横坐标为x，纵坐标为y，等式成立的条件是AB过点F .2 2 2(yi y2)yi出p2-，故412ABMN32 .13 15x，贝S x42 4 4yiy2, y542所以m(4,亍此时M到y轴的距离的最小值为5 .说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质

14、应用到解析几何中，解法较简.典型例题十例10过抛物线y 2px的焦点F作倾斜角为 的直线，交抛物线于A、B两点, 求AB的最小值.分析：本题可分和两种情况讨论.当 时，先写出AB的表达式,2 2 2再求范围.解：(1)若3,此时 AB 2p .若-，因有两交点，所以0.AB: y tan (x 卫)，即 x卫.2tan 2代入抛物线方程，有y2 2py p2 0 .tan故(y yi)24p2tan22 2 24p 4p esc(X2Xi)2 (y2 yi)22tan故AB2 2 24 p esc (1所以AB2p2 sin综合(1)(2)，当22 esc4p tar?4ptan2p .因时，

15、AB最小值2 4esc所以这里不能取2p .说明:(1)此题须对分I和2两种情况进行讨论;(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为I2p2 ?sin当2时，AB叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十例11过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F作弦AB，I为准线，过A、B作I的 垂线，垂足分别为A、B，则 afb为()， AFB为().A.大于等于90 B.小于等于90 C.等于90 D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.ABf1解：点A在抛物线上，由抛物线定义，则 aA AF 12 ,又 AA/x 轴13.23，同理 46,而 2364 180，二 36 90 , AFB90 .选 C.过AB中点M作MM I，垂中为M ,1 1 , 1则 MM (AA BB ) -( AF BF )- AB .2 2 2以AB为直径的圆与直线I相切，切点为M.又F在圆的外部， AFB 90 .特别地，当AB x轴时，M 与F重合， AFB 90 .即 AFB 90，选 B.典型例题十二例12已知点M(3,2)，F为抛物线y2 2x的焦点，点P在该抛物线上移动， 当PM| |PF取最小值时，点P的坐标为分析：本题若建立目标函数来求|PM| |PF|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛 物线定义，结合图形