九年级数学一元二次方程(带答案)

1、第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】一.知识结构网络、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1 .直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 = b（b 0 ）或（x +a 2 =b的形式的方程求解。当 b20时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0时，方程无实数根。2 .因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0; （2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3 .配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为

2、1 （2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x +m）2 =n的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4 .公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2+bx + c = 0 ,确定a、b、c的值；（2）计算2bb_ b 二工 b _ 4acb2 -4ac的值并判别其符号；（3）若b2-4ac0,则利用公式x =-型求方程的解，若2a.2b -4ac 0_( -4) 5282 土中x =2X332,72 - ,7 x 1 = 1 x 2 =33(3) 2x2 2x 30 = 0 (

3、用配方法)(3) x 4x165=0解：x2,2一 x2二 15x22x2,2 22=15121x1 = 3 2,x2-：2【经典练习】一、直接开方法(1)(x 1)2 =(1 -2x)2(2) (x + a)2 = b二、配方法注：2 3x =4x1(1) 2x2 - 2x-30 =0二、公式法1.用求根公式法解下列方程2解:一 一 2 一(2)2y +8y-1=0；解：21(3)2x2 -3x +- =0 ；8解：(4)3y2 2y =1；解：(5)2x2 +5x -1 =0；解：(6)x2 +25x +3=0；解： 2_(7)3x -4x+5 = 0；解：(7)方程无实数根；(8)历2

4、+4U3x -2%/2 = 0 ；解：4_2-(9)0.02x -0.03x=0.35；解：(9)先在方程两边同乘以 100,化为整数系数，再代入求根公式,(10)(1 2 . 3)x x2 = .3(13)解：。三、因式分解1 .用因式分解法解下列各方程：，一、2(1) x 5x 24=0;解：；(2) 12x2 + x6=0;解：；2解:(4) 2x223x+56=0;解：(2x _ 7)( x _ 8) =0, Xi = 7 , X2 = 8 ；2(5) 9x2 +24x+16 = 4x +12；解：(6) V3(x 3) =3(3 x)2；解：(7) x2 -(、,3,2)x 、.6

5、=0解：；(8) (x -2)2 -5x +10 = -6;2解：(x 2) 5(x 2) +6=0, (x 2 2)(x -23) = 0, xi = 4, x2=5；(9) t(t +3) =28;解：(9) t2+3t28 = 0, (t +7)(t 4)=0, ti = - 7, t2=4;(10) (x+1)(x +3) = 15。2解：x +4x+3=15, (x+6)(x 2) = 0, x1 = 6, x2= 22.用因式分解法解下列方程：(1) (y 1)2+2y(y 1) =0;解：；一、一_2一 2(2) (3x +2) = 4(x - 3);解：(3x2)4x - 3)

6、( 3x2) - 2；x - 3) = 04-(5x - 4)( x +8) = 0, x1 =，x2 = -85(3) 9(2x+3)24(2x5)2=0;解：3(2x +3) + 2(2x 5)3(2x + 3) 2(2x 5) =0,119(10x -1)( 2x + 19) = 0, x1 = 一 , x2 = - 一102(4) (2y + 1)2+3(2y + 1) +2 = 0。解：(2y + 1) + 1(2y +1) + 2 =0,三、综合练习1 .下列方程中，有两个相等实数根的方程是( B )A. 7x 2-x-1= 0 B. 9x2 = 4(3x1)C.X2 7x 15

7、= 03 2.2/ 八D.x x1=0222.若A.C.a,解析:,b, c互不相等，则方程 有两个相等的实数根 没有实数根2因为= 4(a + b+c)(a +b+c)x +2(a+b+ c)x + 3=0( C )B.有两个不相等的实数根D.根的情况不确定12(a2+b2+c2)=4( 2a22b22c2+ 2ab+2ac+2bc)=4(a b) + (b c) + (c a) v 03.若方程2 2m x _(2m_3)x +1 =0的两个实根的倒数和是S,求:S的取值范围。分析: 式表不 m,本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根, 借助m的取值范围就可求出 S的取值范围

8、。之0,求出m的取值范围，再用 S的代数解：设方程的两个实根为xi,X2,贝I X1 - X22m - 3,X1X m.方程有两个实根. S三 (2m 一 3)224mx1 xX1X2X1X22m - 3m21-2m2m - 323 口W 且43半 -3 。S -3 且 S24 .已知关于X的方程X2+(2m+1)x + (m 2)2= 0。m取什么值时,(1)(2)(3)方程有两个不相等的实数根? 方程有两个相等的实数根？ 方程没有实数根？解析：= (2m+ 1)2-4(m-2)2=5(4m-3)。(1)当时，原方程有两个不相等的实数根;时,原方程有两个相等的实数根;时,原方程没有实数根。5

9、 .已知关于x的方程x2 -2(k +1)x+k2 +2k1 = 0 (1)求证：对于任意实数 k,方程总有两个不相等的实数根。(2)如果a是关于y的方程y2 (Xi +X2 2k)y+(% k)(X2 k) =0 的根，其中x1，X2为方程的两个 实数根。求：代数式(1_a_) +，_ a_= 的值。 a a 1 a 1 a分析：第(1)题直接运用根的判别式即可得到结论，第(2)题首先利用根与系数关系可将方程化成222y 2y _1 = 0,再利用根的定义得到 a = 2a + 1,将代数式化简后，把 a = 2a + 1整体代入即可求出代数式的值。(1)证明：2,22_2 . .：= 4(

10、k 1) - 4(k 2k _ 1) = 4k8k4 _ 4k _ 8k 4 = 8 . 0，对于任意实数k,方程总有两个不相等的实数根。(2)解：x1, 乂2是方程的两个实数根X1 X2 = 4 k 1), X1X2 = k22k - 1x1x2 - 2k = 2；k 1) - 2k = 2(X 1 k )( X2_ k); X1X2 - k(X1x2) k2二k22k 一 1 一 2k(k 1) k2 - _1，方程为y2 -2y -1 = 0.a是方程的根，a2 2a 1 = 02 .aw0, a+1w0, a =2a+1./1 a 、4a2 - 1 ( ) 丁a a 1 a 1 aa

11、1 - a2 a 1 a2 - 1(a 1 - a2)( a2 - 1)=,=；a(a1)4 a4a2_ a 十 1 (2a + 1)( 2a + 1 1) _ (七)2a _ _ 1-4a1- 4a2 一 一 2注：第(2)问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6.已知关于x的一元二次方程 ax2+2ax+c = 0的两个实数根之差的平方为m(1)试分别判断当a=1, c = 3与a=2, c = 42时，m之4是否成立，并说明理由；(2)若对于任意一个非零的实数 a, m 34总成立，求实数c及m的值。解：(1)当a = 1, c = -3时，原方程化为 x2 +2x - 3 = 0,则

12、乂1 =1, x2 = -3. . m =1 - ( -3) 2 - 164即m之4成立当a =2, c = Y2时，原方程化为2x2 + 4x + 0,可设方程的两根分别为 x1，X2贝Ux1 X2 = -2, X1X2,222 . m =(Xi - X2)=(Xi X2) -4xiX2 = 4 _ 2,2 ： 4即m _ 4不成立(2)设原方程两个实数根是 Xi, X2c则X1 x2 - -2, X1X2 二 一 a22cm=(x1_x2)=(x1x2) -4x1x2 = 4 -a4c 对于任意一个非零的实数 a,都有4之4a c =0当c = 0时， = 4a20 . c =0, m =

13、 4第2讲根的判别式【知识要点】1.根的判别式：关于x的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(aw 0)二 b2 -4ac当 下0时，方程有两个不相等的实根当 = 0时，方程有两个相等的实根当 0时，方程无实根【典型例题】1. a , b, c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2+(b 2+c2a2)x + c2= 0没有实数根分析：此题需证出0, b0, c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。证明：因为= (b2+ c2-a2)2-4b2c2=(b 2+ c2-a2) + 2bc(b 2+ c2-a2) 2bc= (b +c)2a2(

14、b c)2a2=(b + c + a)(b + c a)(b c + a)(b c a) (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负 )因为 b+ca,即 b+ca0,同理 b c+a0,又 c+ab,即 b c a 0,所以 = (b + c + a)(b + c a)(b c + a)(b c a) v 0。所以，原方程没有实数根。【经典习题】1 .关于x的一元二次方程(a+c)x2+bx+aJic =0有两个相等的实数根，那么以a、b、c为三边长的三角形是4( )A. 以a为斜边的直角三角形B. 以c为斜边的直角三角形C. 以b为底边的等腰三角形D. 以c为底边的等腰三角形 12

15、 .已知关于x的一兀二次万程 x2 _(k+i)x+ k2+1 = 0 4(1) k取什么值时，方程有两个实数根。(2)如果方程的两个实数根x1, x2满足|x1|=x2,求k的值。1解：(1) = 4k +1) 2 4一k2 + 1) = 2k 3 之 0 43-3解得k当k之一时，方程有两个实数根22(2) | x1 | = x2 ,分两种情况当x1之0时，得x1 = x2,方程有两个相等的实数根。八.3A = 0.k = 2当 x 0时，得 x2 = T1, x1 + x2 =0由根与系数关系，得 k 1 - 0 ,，3 一一k = -1,由(1)知k至-,矛盾k = -1 舍去 k =

16、3 23 .已知方程x2 +(2k+1)x+k2 2 =0的两根的平方和为 11,求k的值。解：设方程的两根为x1，x2则有 x1 x2 = (2k - 1), x1x2 = k2 - 2. x12x2 =11(x1x2)2 - 2x1x2 = 11-(2k1) 2 -Wk2 - 2) =114k24k 1 - 2k24=112k24k - 6 = 0k22k -3-0(k3)( k - 1) = 0ki=_3, k2:、=(2k1)2 _ 4(k2 _ 2)=4k 9，当k =4时， 0 o.k =1注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4 .含有绝对值的一元二次方程(1) .方

17、程x|x| 8|x| 4 = 0的实数根的个数是()A. 1B.2C. 3D. 4解：显然x=0不是方程的根。当 x0 时，x|x|8|x40。.x0时，万程为x -8x-4 = 0o此方程两根之积为一4V0,可见两根为一正一负。又因x0,故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。(2) .求方程x2|2x 1| 4=0的实数根。1解：令 2x 1 = 0得 x =21 一、一 .显然x =-不是方程的解21 ,、-2当x 2时，方程是x -(2x-1)-4=0即 x2 - 2x - 3 =0,解得 x = 3或x =-1x =- 1 舍去，x = 3当 x :二 2 时，方程是 x2 -(

18、1 - 2x) - 4 =0即x2 + 2x - 5 = 0,解得 x = -1 76x = 1 + 忑舍去，x = 1 J6故方程的实数根是x = 3, x2 = -1 一 0,(6)解得 k -2 . 4分(7)(3)由根与系数的关系得：a +P =2(2 k) =4 2k, 6分(8)(9)(10)(11)工4 -2k 4 t = 2 ,k k k-4 k -2 ,-2 - -2 0,得 me 1 .2(2)Xi, x2为 x2 + 2 (m- 1) x + m2 = 0 的两根，1.y = xi + X2 = 2m+ 2 ,且 me. 21因而y随m的增大而减小，故当 m= 1时，取得

19、极小值1.210.(湖北孝感中考) 关于x的一兀二次方程X2 -x + p -1 = 0有两实数根x1 x2.(1)求p的取值范围；(4分)(2)若2+x(1x1)2+x2(1x2) =9,求p 的值.(6分)【答案】解：(1)由题意得： =(_1)2 -4( p -1)之0.2 分5解得：p 0,解得k0,2分因此方程有两个不相等的实数根. 3分/ c、 t *b_6（2） x X +x2= = = 6,4 分a 1又；为 +2x2 =14 ,.、x, x2=6,.修x, - -2,八解方程组：j十？ 2 14解得：8 5分22万法一：将x=_2代入原方程得：（_2） -6（-2） -k =

20、0,6分解得：k=4.7分c一k2方法一:将 x1和x2代入 x1x2 =一，得： 2父8二,6分a1解得：k = 4 .7分第3讲 根与系数的关系【知识要点】1.根与系数关系bc关于 x 的一兀一次万程 ax2 +bx+c = 0（aw 0） 当之 0时，有 x1 + x2 =-一，x1x2= 一aa推论1 :如果方程x2 + px +q =0的两个实数根是x1, x2 ,那么x1 +x2 = _p,x1x2 =q.推论2：以x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2 （x1 +x2）x+x1x2=0【典型例题】1 .已知方程2x2 +3xm = 0的两个实根中，其中一个是另一个

21、的2倍，求m的值。解：设方程的一个根为x,另一根由根系关系知:x 2x = _322x；1：2解得:m= 12 .已知方程3x2 7x+30=的两根x1、x2（x1 x2）不解方程，求Vx1+/石和x2一x2的值。7解：由题设条件J1 +x2 一3x1 x2 = 1二 x1 -x2. 132=x1x2- 4 xi x2xi2 -xl =：x1 x2 x1 -x2 i-7139【经典习题】一.选择题。1.已知x = 3是关于x的二次方程（k 1）x2 +2kx + 3 = 0的一个根，则k与另一根分别为（A. 2,-1B. -1 , 2C. -2,1D. 1,-22 .已知方程3x2 +（m+4

22、km（ +1 ）= 0的两根互为相反数，则 m的值是（）A. 4B. -4C. 1D. -13 .若方程x2 +x+ k =0有两负根，则k的取值范围是（）1 一八1A. k 0B. k 0 C. k :二一 D. 0 :： k -444.若方程x2 +px +q =0的两根中，只有一个是0,那么（）A.p =q =0B. p = 0, q = 0C.p = 0, q #0D.不能确定2P2 - 15 .万程x - px + h = 0的大根与小根之差等于（）4A.-1B. 2p2 -1 C. 1D. , 2 p2 -1-15-1 - 5,一，. 、一一6 .以 2 5，2 5为根的，且二次项

23、系数为1的一元二次方程是（）A. x2 x 1= 0B. x2x- 1= 0C.x2 -x 1= 0D. x2 - x- 1= 0填空题。7 .关于x的一元二次方程 x2 +2(m+13+m2 =0的两根互为倒数，则 m=。8 .已知一元二次方程 ax2 +bx+c = 0两根比2： 3,则a, b, c之间的关系是 。219. 已知万程 x _mx +-m(m +4 ) = 0 的两根 x1、x2，且(x1 2 /x2 2 ) = 9 ,则 m =。3一，-一、一一 oo - o1110.已知a、P是万程2x2 -5x-20=的两根，不解方程可得：a2 +P2=, +=3 -3_ -P|=。

24、11.已知口2 + P2 =13, (1 1a )(1 P ) = 2 ,则以a、P为根的一元二次方程是 o三.解答题。12.已知方程2x2 -3x +70=的两根a、P ,求作以a +2P、2ct + P为两根的方程。13.设x1、x2是方程x2 (2m+1X+m2 =0的两个实根，且两实根的倒数和等于3,试求m的值。【试题答案】一.选择题。1. A2. B二填空题。3. D4. B5. C6. B2212 m 1 .1 - 4m _ 0 m - -7.:2 = m = 1m2 =1m = -18.设 x1 =2t, x2 =3t ,则6b2 = 25ac9.x1 +x2 =m1 , 上、x

25、1x2 = m m 43区-2卜-2) = 91c-m m 4 ；-2m = 53m2 -2m -15010.m = 5 或 m = 3=5时，原方程0,故舍去，m= -3-2=丝 2=33一二3(a + P )3 + P )2 -3otP 18581-238:工,)2_ 4： - -25 4 =41二 2：2 01311.1-1 1-： =2：-21:,2一 1-二=13 = 2由此: 2，二13- -1(a 十 P j(uP -1 2=12 2- 13 2：=2I ：,2 - 2、小- 1二:2： 2 -4- - -120=o(P = 6或汽 P = 2二. ： =5- - -3所求方程x

26、225x+6=0或 x2 +3x2=0.解答题。12. 解：由题意4即:. 2 ；2 ：- 3 ：:=-:工 2 2 1：1 . 2.2,. j= 2:J1：,2 厂5:工= 2(a + P j9 7= r 2 2二8+ctP故所求方程是292x x +8 = 0,即 2x 2一 9x 160：-I- 2m 1 1x1 x2 = 2m 1：1二213. 解：x1x-122 =m工=3x2:3：二 4由 0m-14由 50%(1 + _x) =132 2解得X1 = 0. 2, X2 =32 (不合题意，舍去)答：新品种花生亩产量的增长率是 20%注：对于增长率问题，解这类问题的公式是a(1 +

27、x)n = b ,其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b为增长的量。2 .某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求：(1)若商场平均每天要赢利 1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少兀时，商场平均每天赢利最多？解：(1)设每件衬衫应降价 x元，则有(40 - x)( 20 2x); 1200 x 2 _ 30x 200 = 0解得 x = 10, x2 = 20根据题意，取x=20,.每件衬衫应降低20元。(2

28、)商场每天赢利(40 - x)(202x)-2=80060x - 2x-x - 15)21250当x =15时，商场赢利最多，共 1250元.每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。【经典习题】1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5,把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736,求原来的两位数。66次手。这次会议到会的有多少人?2. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了3. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将

29、减少 20千克。现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元 ？【模拟试题】(一)填空题21 . 一兀一次方程(3x2)(2x+1) = 2x +2化为一般式后， a =,b=, c =2 .若方程x2 -x = m有两个实数根，则 m的值是。3 .关于x的一元二次方程kx2 -6x +1 =0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 。4 . 关于 x的一元二次方程 2x2+x+m = 0的一个根是 1,另一个根是 , m=?5 .若 x1、x2是方程 2x2 +4x-3 = 0的两个根，则(x1 + 1)(x2 +1) =。22116 .已知两不等头数

30、a、b满足条件2a -7a+1=0, 2b -7b+1 = 0,则一+ = a b7 .已知a、b是方程x2 +2x7 =0的两个实数根，则 a2+3b2+4b=。(二)解下列方程1. (2x -1)2 -16 =02. x2 -8x - 9 = 03. (x -1)2 =2(1 -x)4. x2 -5x - 2 =05. x(x 7) =60(三)解答题2m1 . 已知关于 x的万程x2 +(m -2)x +-3 = 02求证无论-取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根若这个方程的两个实数根 x1、x2满足2x1 +x2 =m + 2,求-的值2 .已知关于x的方程x2 2mx + 3

31、m = 0的两个实数根是 与、x2,且(x1 x2)2 = 16,如果关于x的另一个方程2x -2mx+6m-9 = 0的两个实数根都在 x1和x2之间，求m的值。第一次课后作业【经典练习】1.已知x=-1是关于x的方程2x2 +ax_3a =0的一个根，则 a=2 d2 .若方程（m _1）xm4+2mx3 = 0是关于x的一元二次方程，求 m的值。3 .若（m+1）xm2*+5x3=0是关于x的一元二次方程，则 m=。a2 _b24 .已知aw。，awb, x=1是方程ax2 + bx-10 = 0的一个解，则 的值是2a - 2b 22008 ,，一m -2007m 一的值。m 15 .关于x的一元二次方程（m+2）x2 +3m2x + m2-