第2章 方差分析

1、第第2章章 方差分析方差分析 方差分析是检验多个总体均值间差异方差分析是检验多个总体均值间差异 是否显著的一种统计方法。是否显著的一种统计方法。 主要内容主要内容 2.1 预备知识预备知识 2.2 方差分析的基本概念方差分析的基本概念 2.3 单因素方差分析单因素方差分析 2.4 双因素方差分析双因素方差分析 2.1 预备知识 2.1.1 统计假设检验的基本思想统计假设检验的基本思想 对总体参数值提出假设对总体参数值提出假设 验证先前提出的假设验证先前提出的假设 样本样本出现矛盾出现矛盾 不出现矛盾不出现矛盾 拒绝原假设拒绝原假设 接受原假设接受原假设 基本思路图：基本思路图： 2.1.2 假

2、设检验的步骤 (1) 根据实际问题的要求，提出零假设H0和备择假设H1。 (2) 根据H0的内容，选取适当的检验统计量，并能确定 出检验统计量的分布。 (3) 根据样本观测值计算出检验统计量的值。 (4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选检验统 计量服从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出拒绝还是接受H0的统计判断。 2.1.3 正态总体均值检验 u 单样本的t 检验 设总体XN(，2)，2未知；X1，X2，Xn 是来自总体X的样本， 与s2分别为样本均值和样本方 差。给定显著性水平，检验参数。 X （1）提出假设 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 H0:0 H1:0 （

3、2）选择检验假设H0的统计量，并确定其分布。 0 (1) / X Tt n sn m- =- 2 (1)Ttn a - (1)Ttn a - (1)Ttn a - (3) 根据样本观测值计算出该统计量的值t。 (4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量服 从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域形 式分别为： 拒绝域为 拒绝域为 拒绝域为 别为两样本均值和样本方差。给定显著性水平，检验 参数1与2。 设总体XN(1，12 )，总体YN(2，22 )， X与Y独立， 且1222未知。 X1，X2， 是来自总体X的样本， u两个独立样本的t检验 两个独

4、立样本t检验的目的是利用来自两个总体的独立 样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。 1 n X X Y Y1，Y2，Yn2是来自总体Y的样本。 、与S2I、S22分 检验步骤如下 (1)提出假设 H0:1=2 H1:12 H0:12 H1:12 H0:12 H1:12 () 12 12 2 11 W XY Tt nn S nn - =+- + : 22 1122 12 (1)(1) 2 W nSnS S nn -+- = +- (2) 选择检验假设H0 的统计量，并确定其分布 式中， (3) 根据样本观测值计算出该统计量的值t。 (4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量服从 的分

5、布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域形式 (2) 12 2 Ttnn a +- 12 (2)Ttnn a -+- 12 (2)Ttnn a +- 拒绝域为 拒绝域为 拒绝域为 u两个配对样本的t检验 两个配对样本的t检验的目的是利用来自两个总体的 配对样本，推断两个总体的均值是否存在显著差异。 设有n对相互独立的观测结果(X1，Y1)，(X2，Y2)， (Xn，Yn)，令D1=X1-Y1，D2=X2-Y2，Dn=Xn-Yn，则D1， D2，Dn相互独立，DiN(D， D2)。 (1) 提出假设 H0:D0， H1:D0 H0:D 0， H1:D0 H0:D0

6、， H1:D0 (2) 选择检验假设H0的统计量，并确定其分布。 / D d T sn = t(n-1) (3) 根据样本观测值计算出该统计量的值t。 (4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量 服从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域 形式分别为 2 T(1)tn a - T(1)tn a - T(1)tn a - u两个独立样本的F检验 两个独立样本的F检验的目的是利用来自两个总体的独 立样本，推断两个总体的方差是否存在显著差异。 设总体XN(1，12 )，总体YN(2，22 )， X与Y独 立，且1与 2未知。 X1，X2， 是来自总体X的

7、样 本，Y1，Y2， 是来自总体 Y 的样本，S12、S22分别 为两样本方差。给定显著性水平，检验参数12与22。 2 n Y 1 n X (1) 提出假设 H0:12=22 H1:1222 H0:12 22 H1:1222 (2) 选择检验假设H0的统计量，并确定其分布。 222 / 121 222 / 122 SSS F S = F(n1-1，n2-1) (3) 据样本观测值计算出该统计量的值F。 (4) 在给定的显著性水平(01)下，查所选统计量 服从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出判断。对应于3种假设的拒绝域 形式分别为： 拒绝域为FF/2 (n-1，n2-1)或 F

8、F 1-/2 (n-1，n2-1) 拒绝域为FF1- (n-1，n2-1) 拒绝域为FF (n1-1，n2-1) 2.1.4 用SPSS进行统计假设检验 1. One-Samples T Test过程 2. Independent-Samples T Test过程 3. Paired-Samples T Test过程 4. One-Way ANOVA 过程 1. One-Samples T Test过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means One-Sample T Test，弹出One-Sample T Test对话框。 (2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动

9、按 钮选入到右侧的Test Variables框中。 (3) 在Test Value框内输入已知的总平均数，默认值为0。 (4) 单击“Options”按钮，弹出One-Sample T Test： Options对话框，用于定义相关的选项。 (5) 单击“OK”按钮，即可完成单样本均值检验的操作。 2. Independent-Samples T Test过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means Independent- Samples T Test (2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动按 钮选入到右侧的Test Variable(s)框中。 (3) 将分

10、组变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入 到右侧的Grouping Variable框中。 (4) 单击Define Groups按钮，弹出Define Groups话框 (5) 单击“Options”按钮 (6) 单击“OK”按钮，即可完成独立样本均值检验的操作。 3. Paired-Samples T Test过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means Paired-Samples T Test，弹出Paired-Samples T Test框。 (2) 从左侧列表框中同时选两个成对变量，将其移入到 右侧的Paired Variables框内。 (3) Current

11、Selections项：显示被选中的成对变量。 (4) 单击“Options”按钮，弹出Paired-Samples T Test： Options对话框，其内容设置与One-Samples T Test完 全相同，此处不再重复。 (5) 单击“OK”按钮 4. One-Way ANOVA 过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means One-Way ANOVA，弹出One-Way ANOVA对话框。 (2) 从左侧列表框中选择观测变量，移入到右侧的 Dependent List框内。 (3) 从左侧列表框中选择因素变量，移入到Factor框内 (4) “Contrasts”

12、按钮和“Post Hoc”按钮少用，略。 (5) 单击“Options”按钮，弹出One-Way ANOVA : Options对话框。 (6) 单击“OK”按钮 2.3 单因素方差分析 2.3.1 方差分析的基本概念 在实际应用中常常要探讨不同实验条件或处 理方法对结果的影响。通常是比较不同实验条 件下总体均值间差异。方差分析是检验多个总 体均值间差异是否显著的一种统计方法。 简言之，方差分析是k个总体均值相等性的 检验 。 方差分析中常用的术语有： (1) 实验指标：将要考察的结果，用大写字母X、Y等表示。 (2) 实验因素：影响实验指标的条件，常用大写字母A、B、 C等表示。 (3) 因

13、素水平：因素所处的某种特定状态，常用代表该因素 的字母加下标表示，如A1、A2、B1、B 2等表示。 (4) 方差分析：对于影响一个指标的众多因素，若仅使一 个(或一个以上)因素发生变化，而其他因素均保持不变 (或控制在一定范围内)，分析这一个(或一个以上)因素对 指标的影响是否显著，称为单因素(或多因素)方差分析。 例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，取一 片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分成16 块。化肥品种记为A1 ，A2 ，A3 ，A4，每种肥料分别施在 四块土地上，得亩产量如下： 肥料品种A亩产量 A1981，964，917，669 A2607，693，506，35

14、8 A3791，642，810，705 A4901，703，792，883 问施肥品种对小麦产量有无影响。 实验指标 实验因素 因素水平 单因素方差 分析 例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量的例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量的 影响，化肥品种为影响，化肥品种为A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤记为土壤记为B1， B2，B3每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下：每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下： 土壤种类土壤种类 肥料品种肥料品种 B1B2B3 A1693，506607，358810，705 A2810，705981，964792，883 A3791，642810，

15、705843，766 A4917，669657，703901，703 问施肥品种、土壤种类对小麦产量有无影响。问施肥品种、土壤种类对小麦产量有无影响。 实验指标实验指标 实验因素实验因素 因素水平因素水平 两因素方差两因素方差 分析分析 2.3.2 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析的基本原理 1单因素方差分析的基本思路单因素方差分析的基本思路 【例5.6】 一位教师采用3种不同的教学方法进行教学， 现在想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地 选取了水平相当的15位学生。把他们分成3组，每组5 个人，每一组用一种方法教学，一段时间后，这位教师 给这15位学生进行统考，统考成绩(单位：

16、分)见表5-2。 方法统考成绩28185689290 37379607581 试检验这3种教学方法的效果有没有显著差异。 A1 A2 A3 实验指标 X 1) 提出假设提出假设 在不同的教学方法下，统考成绩XiN(i，2)(i=1，2，3) 且各Xi相互独立。 H0:1= 2 =3 = H1:1， 2，3不全相等 2) 平方和及自由度的分解平方和及自由度的分解 全部数据之间存在差异全部数据之间存在差异 35 2 11 () Tij ij Sxx = =- 邋 ST 总误差平方和 随机波动引起的误差 SE 因素A的不同水平所产生的误差SA 35 2 11 () Tij

17、ij Sxx = =- 邋 35 11 ()() ijii ij xxxx = -= 邋 . 35 11 ()() iiji ij xxxx 鬃 = - 邋 35 2 ii 11 (.)( .) ij ij xxxx = =-+- 邋 0= 随机误差平方和随机误差平方和SE 效应误差平方和效应误差平方和 SA 3535 22 1111 ()() ijii ijij xxxx 鬃 = =-+- 邋邋 35 11 2()() ij ij xxxx = +- 邋ii . 平方和分解公式平方和分解公式 ST = SE + SA 自由度的分解自由度的分解 35 2 11 () Tij ij Sxx =

18、=- 邋 求和项数共有求和项数共有35=15项，而存在项，而存在 35 11 ()0 ij ij xx = -= 邋 因此总误差平方和因此总误差平方和ST的自由度的自由度fT=15-1=14。 35 2 11 () Eiji ij Sxx = =- 邋 求和项数共有求和项数共有35=15项，而存在项，而存在 5 (-)0(1,2,3) 1 xxi ij i j = = 因此随机误差平方和因此随机误差平方和SE的自由度的自由度fE=15-3=12。 35 2 11 () Ai ij Sxx = =- 邋 求和项数共有求和项数共有3项，而存在项，而存在 3 1 ()0 i i xx = = - 因

19、此效应误差平方和因此效应误差平方和ST的自由度的自由度 fA=3-1=2。 自由度分解公式自由度分解公式 fT=fE+fA 3) 显著性检验显著性检验 ST = SE + SA / / AAA EEE SfS F SfS =F(fA，fE) 拒绝域为拒绝域为 WFF(fA，fE) 2. 单素方差分析的一般计算步骤单素方差分析的一般计算步骤 例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响，取一 片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分成16 块。化肥品种记为A1 ，A2 ，A3 ，A4，每种肥料施在四块 土地上，得亩产量如下： 肥料品种肥料品种A亩产量亩产量 A1981，964，917，669

20、A2607，693，506，358 A3791，642，810，705 A4901，703，792，883 问施肥品种对小麦产量有无影响。 第一步：提出假设：第一步：提出假设： H0：1= 2 =3 = 4 = H1：1，2 ，3 ， 4不全相等 第二步：构造检验统计量及其分布第二步：构造检验统计量及其分布 /(1) (1,s) /(s) AA EE SsS FF sns SnsS - =- - : 第三步：计算误差平方和第三步：计算误差平方和 23535 22 1111 . ()433557.8 Tijij ijij X SxxX sn = =-=-= 邋邋 22 353 2 111 . (

21、)264970.3 515 i Ai iji XX SXX = =-=-= 邋 SE=ST-SA=168587.5 第四步：列出方差分析表第四步：列出方差分析表 第五步：做出统计决策第五步：做出统计决策 计算知统计量取值F=6.287，临界值F0.01(3，12)=5.96。 由于 F0.01(3，12) F，因此拒绝H0，认为不同的肥料品种 对小麦产量的影响有显著性差异。 3 3. . 单素方差分析的单素方差分析的SPSSSPSS实现过程实现过程 (1) 选择菜单AnalyzeCompare means One-Way ANOVA，弹出One-Way ANOVA对话框。 (2) 从左侧列表框

22、中选择观测变量，移入到右侧的 Dependent List框内。 (3) 从左侧列表框中选择因素变量，移入到Factor框内 (4) “Contrasts”按钮和“Post Hoc”按钮少用，略。 (5) 单击“Options”按钮，弹出One-Way ANOVA : Options对话框。 (6) 单击“OK”按钮 2.4 双因素方差分析 设有因素A 与因素B，因素A 有r个水平 因素B有s个水平 因素A、B的水平的 每对组合( ， ) (i = 1 ,2 ,r；j = 1 ,2 ,s) 的样本含量 设为m，样本为 。 无交互作用的双因素方差分析模型： 有交互作用的双因素方差分析模型： 2.4.1 双因素方差分析的模型双因素方差分析的模型 1, A 2, ,A . r A 1, B. s B i A j B 12 , ijijijm yyy 2, ,B ijkijijk yAB ijkijijk ij yABAB 符号说明： 其中总样本容量 。 2.4.2 双因素方差分析的平方和分解双因素方差分析的平方和分解 111 11 11 1 1 1 1,2,., 1 1,2,., 1 rsm ijk ijk sm iijk jk rm jijk ik m ijijk k yy N yyir sm yyjs rm yy m nrs m 总偏差平方和：