现代控制理论-12

1、2021/3/111 现代控制理论 Modern Control Theory (12) 俞 立 浙江工业大学 信息工程学院 2021/3/112 第第5章章 状态反馈控制器设计状态反馈控制器设计 建立了状态空间模型建立了状态空间模型 提出了基于状态空间模型的运动分析提出了基于状态空间模型的运动分析 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 认识世界认识世界 如何来改变世界？！如何来改变世界？！ 设计控制系统！设计控制系统！ 2021/3/113 控制方式控制方式 结构结构：开环控制：开环控制 闭环控制闭环控制 信息信息：状态反馈：状态反馈 输出反馈输出

2、反馈 被控对象控制器 yv 被控对象 控制器 yv + _ A B K uxv _ C y A B F uxv _ C y 2021/3/114 形式：静态反馈形式：静态反馈 动态反馈动态反馈 反馈方式：线性反馈反馈方式：线性反馈 非线性反馈非线性反馈 最简单的形式：线性静态（定常）状态反馈最简单的形式：线性静态（定常）状态反馈 vKxu 2021/3/115 5.1 线性反馈控制系统线性反馈控制系统 状态反馈控制器： 称为是状态反馈增益矩阵。 导出的闭环系统： Cxy BuAxx 被控对象 控制器 yv + _ vKxu K Cxy BvxBKAx )( A B K uxv _ C y 控制

3、系统结构控制系统结构 外部输入外部输入 动态补偿器动态补偿器 静态输出反馈控制器静态输出反馈控制器 2021/3/116 静态线性输出反馈控制： v表示系统的参考输入，若 在 中取 ， 状态反馈变为输出反馈。一类特殊的状态反馈！ vFyu Cxy BuAxx () xABFC xBv yCx A B F uxv _ C y r Fyv () r e uF yyF FCK 用输出误差来校正系统用输出误差来校正系统 用输出信号用输出信号 Cxy BvxBKAx )( 2021/3/117 5.1.2 反馈控制的性质反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为 和 闭环系统矩阵的特征值决定了系统的

4、稳定性。 系统极点决定系统的过渡过程特性。 结论：反馈可以改变系统的动态特性。 BKA BFCA 2021/3/118 定理定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。 已知 是能控的，要证明对任意的矩阵 ， 也是能控的。(,)ABKB ( ,)A B K 21 , () , (),() n BABK BABKBABKB 2 ,()()(),BABBKBA BAB KBB KABB KBKB 21 , n BABA BAB 2 () 0 00 000 IKBKABKB IKB I I 2021/3/119 例例 分析系统 在状态反馈 下的闭环系统能控能观性。 状态反馈使得闭环系统产生了零极点的

5、对消。 xxx 10, 1 0 01 10 yu x01 u 00 10 01 1 0 01 10 BKA 01 10 )(BBKAB 00 10 )(BKAC C 1 1 2 101 ()01 01 ss s sss C IABKB 不能观！状态反馈可不能观！状态反馈可 能改变能观性能改变能观性 能控！能控！ 2021/3/1110 定理定理5.1.2 输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理定理5.1.3 对能控的单输入单输出系统，状态反馈不能 改变系统的零点 反馈形式的讨论： 静态反馈不增加系统动态特性； 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不

6、能； 利用系统的信息多，所能达到的性能好。 2021/3/1111 5.2 稳定化状态反馈控制器设计稳定化状态反馈控制器设计 系统模型： 控制律： 闭环系统： 问题问题：给出确定矩阵 的方法，使得闭环系统渐近稳定 稳定性分析方法： 特征值方法 劳斯判据 李雅普诺夫稳定性理论 BuAxx Kxu xBKAx)( K 2021/3/1112 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法 线性时不变系统 渐近稳定的充分必要条件是存 在一个对称正定矩阵P，使得以下矩阵不等式成立： 是系统的一个李雅普诺夫函数。 针对闭环系统 相应的李雅普诺夫不等式： 进一步简化： 是一个关于变量P、K 的矩阵不等式，非线性。 稳

7、定化控制器设计问题转化成了矩阵不等式求解问题！ 关键的问题关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和 P。 0 PAPAT Axx T ()()0ABKPP ABK T ( )Vxx Px xBKAx)( TTT 0A PPAK B PPBK 2021/3/1113 5.2.1 黎卡提方程处理方法黎卡提方程处理方法 如何才能成为闭环系统的李雅普诺夫函数？ 1。V(x)是正定的； 2。沿闭环系统轨线， 是负定的。矩阵P是对称的， Pxxx T )(V TT d ( ) dVt xx Pxx Px PBuxxPAPAxx TTT 2)(d)(dtV TT ()Tx PBux PBu TT ()()AxB

8、uPxx P AxBu TTTT () T x A PxBuPxx PAxx PBu TTTTT ()xA PPA xu B Pxx PBu TT u B Px 2021/3/1114 5.2.1 黎卡提方程处理方法黎卡提方程处理方法 若选取 其中， 是待定参数，P是待定的对称正定矩阵。 限制了反馈增益矩阵的结构。以性能换方便！ 若矩阵P满足 那么， PBuxxPAPAxx TTT 2)(d)(dtV T k uB Px TTTT d ( ) d()2VtkxxA PPA xx PBB Px IPPBBPAPA TT 2k 0d)(d T xxxtV 0k TTT (2)kxA PPAPBB

9、P x 2021/3/1115 控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题： （黎卡提矩阵方程） 性质性质：若对给定的常数 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 都是系统的稳定化控制律。 意义意义：正无穷大的稳定增益裕度！ 即闭环系统是渐近稳定的。 0IPPBBPAPA TT 2k 0 k T 0, kkk uB Px TTT d ( ) d(2)VtkxxA PPAPBB P x TTTT 00 (22()kkkxA PPAPBB PPBB P x TT 0 (2()kk xIPBB P x 0 2021/3/1116 设计算法设计算法 Step 1 对某个 ，求解黎卡提矩阵方程 Step 2

10、若存在对称正定解矩阵P，则构造控制律 例例5.2.1 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律 取k=1，相应的黎卡提方程 TT 0 20kA PPAPBB PI 0 k T 0 ,kkk uB Px u x x x x 1 0 01 10 2 1 2 1 0 10 01 10 1 0 2 01 10 01 10 32 21 32 21 32 21 32 21 pp pp pp pp pp pp pp pp 2021/3/1117 展开矩阵方程，得到 求取一个解矩阵，要的是正定对称解 对任意的 ，稳定化控制律： 另一方法：线性矩阵不等式处理方法。 02 0122 0122 3231 2 32 2 22 pppp pp pp 23,2)31(,233 321 ppp 1k x xPxB 41 32 T 331 2 k ppkku 并不是一个线性方程组并不是一个线性方程组 2021/3/1118 求解一个关于变量P、K 的矩阵不等式， 非线性矩阵不等式，难以直接求解！ 采用变量替换法，设法将其转化为一个线性矩阵不等式 引入新的变量 关于X、Y的线性矩阵不等式。 TTT 0A PPAK B PPBK 1TTT1 0() PA PPAK B PPBK P 1T11TT1 P AAPP K