应用随机过程学习总结

1、应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以 概率论作为主要的基础知识。1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释：sup表示上确界，inf表示下确界。本帖隐藏的内容2、 数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同 为分布函数的两个函数，卷积可

2、以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期 望中，最重要的是理解并记忆 E(X) = EE(X|Y) = in tergral(E(X|Y=y)dFY(y) 。二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征 的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果 X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s) 均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) =

3、r(-t)记为宽平稳随机过程。因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即 过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来， 因此宽平稳序列只需满足 其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。2、独立增量过程：若XTn - XT(n-1)对任意n均相互独立，则称X(t) 是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过 程。兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间 t的线性函数。3、 随机过程的分类不是绝对的。例如，泊松过程既具有独立增量又有平稳 增量，既是连续时间的马尔科夫链，又是一类特殊的更新过程。参数为 lamb

4、da 的泊松过程减去其均值函数同时还是一个鞅。泊松过程计数过程 N(t),t=0 是参数为入的泊松过程(入 0),具有平稳独立增量性。而其任意时间长度t发生的次数服从均值为 入* t的泊松分布，即EN(t)= 入* t。1、与泊松过程有关的若干分布：Xn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，定义 Tn 表示第 n 次事件发生的时刻，规定 T0= 0。其中，Xn服从参数为入的指数分布，且相互独立。泊松过程在任何时候都是重新开始。Tn服从参数为n和入的r分布四、更新过程更新过程N(t),t=0中Xn仍保持独立同分布性，但分布任意，不再局限于指数 分布。更新过程中事件发生一次叫做一次更新，此时

5、Xn就是第n-1次和第n次 更新相距的时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而 N(t)就是t时刻之前发生的 总的更新次数。由强大数定理可知， 无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生。 因此，有限长 时间内最多只能发生有限次更新。1、更新函数：更新理论中大部分内容都是有关 EN(t) 的性质。以 M(t) 记 为 EN(t) ，称为更新函数。此时， M(t) 是关于 t 的函数而不是随机变量。2、更 新方程：若 H(t) ， F(t) 为已知，且当 t1，则称i是周期的，如果d=1则为非周期，空集时为无穷 大。同属于一类的两状态周期相同。记状态i出发经n步后首次到达j的概率为Fij(n)，则所有可

6、能n的概率Fij(n) 加起来的和记为 Fij 。若 Fij=1 ， i 为常返状态， Fij=0 称为Fn=sigmaX0,X1,Xn适应的，如果对任意 n=0,Sn是Fn可测的，即Sn可以表示为X0,X1,X2,Xn的函数1.鞅的停时定理：任意随机函数T是关于Xn,n=0的停时，即T=n应由 n 时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况， 同时 T必须是一个停时。同时，T=n也由n时刻及其之前的信息完全确定。若T和S是两个停时，则T+S, minT,S和maxT,S也是停时。则在一直 Fn 完全信息的前提下， 有界停时的期望赌本与初始赌本相同。 特别的， 当完全信息未知时，

7、有界停时的期望赌本与初始赌本的期望相同。2.鞅的一致可积性：如果对任意 c 0,存在S 0,使得对任意A，当P(A)v S时，有E(|Xn|la) =0是关于 Xn, n=0的鞅，并且存在常数 C有限，使得 E(|Mn|)=0 有平稳独立增量，对每个 t0， B(t) 服从正态分布 N(0, t) 称之为标准布朗运动。布朗运动的二次变差 B,B(t) = t 。布 朗运动是满足以下三点性质的随即过程，即对于 B(t)-B(s) N(0,t-s)，B(t)-B(s)服从均值为0,方差为t-s的正态分布。当s=0时，B(t)-B(0)N(0,t) 并且，对任意 0& lt;=st ， B(t)-B

8、(s) 独立于过程的过去状态 B(u)， 0=u=0)是t的连续函数。由于布朗运动在有限维分布是空间平移不 变的空间齐次性，只需研究始于 0的布朗运动即可。1.高斯过程： 有限维分布是多元正态分布的随机过程。 布朗运动是种特殊的高斯过程，即 B(t) 的任何有限维分布都是正态的。2. B(t) 是鞅， B(t)A2 - t 是鞅：即如果连续鞅 X(t) 使得X(tF2 - t也是鞅，贝U X(t) 是布朗运动。3.布朗运动 B(t) 具有马尔科夫性，容易得到 B(t+s) 在给定条件Ft=sigma(B(0),B(1),B(t)下的分布与在给定条件 B(t)下的分布是一致的。 同时由布朗运动具有时齐性， 即分布不随时间的平移而变化可知， 布朗运动的所 有有限维分布都是时齐的。4.布朗运动的最大值变量及反正弦率： 即求始于 y 点的布朗运动在区间(a,b)中至少有一个零点的概率为布朗运动