专题30 数列（同步练习）（理）（原卷版）

1、专题30 数列（同步练习）一、数列的递推公式(一)数列的递推公式与通项公式1、数列的递推公式：如果已知数列的第项(或前几项),且从第项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。2、数列的通项公式：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。3、数列通项公式和递推公式的特点：(1)有些数列的通项公式和通项公式均可以有不同形式,即不唯一性。(2)并不是所有数列都能写出其通项公式或递推公式。(3)有递推公式不一定有通项公式。(二)列方程组法求通项公式明确指

2、出设等差或等比数列后：1、设等差数列的首项为,公差为(),形成关于和的方程组,解和；2、设等比数列的首项为,公比为(且),形成关于和的方程组,解和；例1-1已知为等差数列,且,求数列的通项公式。例1-2已知等差数列的前项和为,且满足：,求数列的通项公式。例1-3已知等比数列的前项和为,若,且、成等差数列,求的通项公式。例1-4已知等比数列的前项和为,公比不为,若,则对任意的,都有,求的通项公式。 (三)由递推公式求通项公式1、用数学归纳法求根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前几项,并求通项公式。例1-5根据各数列的首项和递推公式写出它的前项,并用数学归纳法求通项公式。(1),；(2),；(

3、3),。2、递推式为及(且为常数)时,转化成等差数列或等比数列问题。例1-6已知满足,而且,求。例1-7已知满足,而,求。3、做差法：由与(即)的关系求,。例1-8已知数列的前项和求它们的通项。(1)；(2)。例1-9已知数列的前项和满足,求数列的通项公式。4、做商法：由求,。例1-10数列中,对所有都有,则 。5、累加法：由求通项,则()。例1-11已知数列中,求。例1-12已知数列满足,求。例1-13已知数列中,求。6、累乘法：已知求通项,()。例1-14已知数列满足,求。例1-15已知数列满足,求。(四)由构造法求1、已知与或与的关系式,用构造法(构造等差、等比数列)：形如,只需构造数列

4、,消去带来的差异,其中有多种不同形式：(1)为常数,即递推公式为(其中、均为常数且)。解法是先设参转化为,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例1-16已知数列中,求。例1-17已知数列中,对于有,求。(2)为一次多项式,即递推公式为。例1-18设数列中,(),求。(3)为的二次式,则可设。2、递推公式为(其中、为常数且)或(其中、为常数)。一般地要先在原递推公式两边同除以,得：,引入辅助数列(其中),得：,再应用类型(1)的方法解决。例1-19已知数列中,求。例1-20已知数列的前项和,求。3、递推公式为(其中、均为常数)。先把原递推公式转化为,其中、满足,解出、,于是是公比为的等比数列,

5、就转化为前面的类型。例1-21已知数列中,求。4、形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。例1-22已知数列中,求。5、形如型,等式两边取对数后转化为前边的类型,然后再用递推法或待定系法构造等比数列求通项。两边取对数,设,原等式变为即变为基本型。例1-23已知数列中,求。二、数列求和(一)公式法：如已知或求出等差和等比数列,则可直接套用其求和公式求和。如出现一些特殊的常用应直接应用公式求和。1、等差数列求和公式：；。2、等比数列求和公式：； 。3、一些常用的求和公式： 例2-1已知,求的值。例2-2已知等差数列中,求等差数列的前项和为。又令,求等比数列的前项和。例2-3等比数列的前项和,则 。(

6、二)分组求和法：把数列的每一项分成几项使其转化为几个等差、等比数列,再求和。例2-4求数列的前项和：,例2-5已知等差数列的首项为,前项的和为,求的值。例2-6求之和。(三)倒序求和法：将数列的顺序倒过来排列,与原数列两式相加,若有公因式可提,并且剩余项的和易于求出,这样的数列可用倒序相加法求和。例2-7求的值。例2-8若,则 。 (四)裂项相消法：就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,只余有限几项,就可以化简后求和。适用条件：其中是各项不为的等差数列,为常数,可拆解为；部分无理数列。一些常用的裂项公式：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)()；(6)。常见放缩公式：(1)

7、； (2)；(3)。例2-9求数列,的前项和。例2-10数列中,又,求数列的前项和。例2-11求数列,()的前项和。例2-12求数列,()的前项和。 (五)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘得的新数列求和。此法即为等比数列求和公式的推导方法。例2-13求数列的前项和。例2-14求和：。例2-15求数列,的前项和。(六)分类讨论法：1、分奇偶讨论：当数列的通项公式中出现或时,需要分为奇数或者为偶数进行讨论。例2-16已知数列中,求数列的前项和。2、分正负讨论：当数列的通项公式中出现绝对值求前项和的问题时,需要分正负值进行讨论。(1)数列为等差数列,前项和为, 则数列的前项和为；(2)数列为等差数列,前项和为, 则数列的前项和为。例2-17在等差数列中,若此数列的前项和,前项和,则数列的前项和的值是( )。A、B、C、D、例2-18在等差数列中,若此数列的前