关于高考数学平面解析几何复习中的一点思考

1、关于平面解析几何复习中的一点思考高三数学复习的目的，一方面是回顾已学过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故”，更要“知新”，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力一、把握解析几何的基本思想“几何图形代数化与代数结果几何化”是解析几何的基本思想2004年的上海市秋季高考数学试卷的一道填空题就直接要求学生写出解析几何的思想本质是什么，这道题目引起一

2、些争议，但命题的意图是好的，指导思想是正确的，在复习过程中要强化这种思想通过具体例子说明用代数的方法解决几何问题的优越性，以及用几何的方法解决代数问题的优越性二、构建解析几何知识的体系解析几何复习时，需要理顺解析几何的知识体系：（1）首先要明确几何中的点与代数中的坐标的对应关系，进而要理解曲线与方程的概念图形问题代数化是解析几何的核心，然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质，这是解析几何的理论基础深刻体会教材中是如何用代数形式来解决这些重要几何概念以及位置关系的，那么遇见这些几何表述时就能熟练转化为代数形式来处理（2）通过对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等具体曲线的研究，不仅要理解和掌握它们

3、的一些基本性质和结论，更重要的是体会解析几何研究曲线性质的具体方法和思想（3）了解坐标系的平移，曲线的参数方程，极坐标系等等知识，体会解析几何解决问题的方法不是单一的，而是多种多样的三、剖析近年高考考点考点一 点、直线、圆的位置关系问题【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆内、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三种，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆心之间的距离，

4、再与两圆的半径之和或差比较。例(2009年江苏卷)在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标。【解析】 本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。答：(1) 或(2) p在以c1c2的中垂线上，且与c1、c2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点p坐标为或。考点二 直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、截距式、

5、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来求解。圆的方程有标准式、一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。例 (2009年上海卷)过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点a、b，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线ab有（ ）（a） 0条 （b） 1条 （c） 2条 （d） 3条【答案】bbyeaxoc【解析】由已知，得：，第ii，iv部分的面积是定值，所以，为定值，即 为定值，当直线ab绕着圆心c移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线ab只有一条，故选b。考点三 曲线（轨迹）方程的求法【内容解读】轨迹

6、问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法 待定系数法；（2）双动点的轨迹问题代入法（3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。例 (2009年浙江卷)已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （i）求椭圆的方程； （ii）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解析：（i）由题意得所求的椭圆方程为， （ii）不妨设则抛物线在点p处的切线斜率为，直线mn的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线mn与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段mn的中点的横坐标是，则， 设线段pa的中点的横坐标是，则，由题意得，

7、即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1例 (2009年海南，宁夏卷)已知椭圆c的中心为直角坐标系xoy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆c的方程；（）若p为椭圆c上的动点，m为过p且垂直于x轴的直线上的点，=，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 考点四 有关圆锥曲线的定义的问题【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现例 (2009年广东卷)巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距

8、离之和为12，则椭圆的方程为 【解析】，则所求椭圆方程为.例 (2009年北京卷)椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的小大为 . 【答案】 【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.考点五 圆锥曲线的几何性质【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和渐近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，离心率公式一样：e，范围不一样，椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1，）之间，抛物线的离心率为1例 (2009年浙江卷)过双曲线的右顶点作斜率为的直线

9、，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )a b c d答案：c 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为b，c，则，因例(2009年天津卷) 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。1）求椭圆的离心率；2）求直线ab的斜率；3）设点c与点a关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题

10、；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。例(2009年湖北卷)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是a. b. c. d. 【答案】a【解析】易得准线方程是所以 即所以方程是联立可得由可解得a例(2009年江苏卷)在平面直角坐标系中，抛物

11、线c的顶点在原点，经过点a（2，2），其焦点f在轴上。（1）求抛物线c的标准方程；（2）求过点f，且与直线oa垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线c于d、e两点，me=2dm，记d和e两点间的距离为，求关于的表达式。【解析】本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。四、掌握研究解析几何问题的基本方法近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具

12、有代表性，即通性通法所以在复习时应做到:1牢固掌握圆锥曲线定义 圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性，是构建有关知识网络的基础。同时，定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。 例点f是椭圆的左焦点，点在椭圆内，点m在椭圆上，求使|pm|+2|mf|取最小值的点m的坐标。 解析：直接应用距离公式难以奏效，而根据椭圆第二定义，将|mf|用点m到左准线的距离来表示，问题容易得解。 2重视基础知识，基本题型的复习 （1）注意课本典型例题、习题的延伸 教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。如教材中题

13、:“过抛物线y2=2px焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2，求证y1y2=-p2。” 给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质，而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。 例.设抛物线y2=2px (p0)的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a，b两点，c在抛物线上，且bc/x轴。证明直线ac经过原点o。 解析：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，由bc/x轴，且点c在准线x=上，所以点c的坐标为(,y2)。要证直线ac经过原点o，只需证明koc=koa，koa=，koc=,下面的问题是如何将两者联系起来，这只要重复上述课本习题的解答过

14、程，得y1y2=-p2，即可得，又，命题即得证。 （2）注意转化条件，优化解题方法 解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。 3重视判别式的作用 有关直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常都是利用一元二次方程来解决的。其中，根的判别式往往起着关键的作用。如例94强化数学思想方法的训练和运用 （1）函数与方程思想 解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研

15、究方程的解或建立函数后研究函数的性质。（2）分类讨论思想 解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。（3）数形结合思想 解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。五、关注研究性学习，培养探索精神和创新实践能力由于解析几何知识内容丰富，与其它数学知识关系密切，所以值得研究的数学素材很多，复习时可以注意复习方式的改善（1）可以采用专

16、题研究学习的形式，教师设计一些专题，让学生去做研究和整理如让学生去整理总结过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点时，会有哪些有意义的结论；如举例说明求动点的轨迹方程的方法；如探究求直线被曲线截得的线段的中点的轨迹的各种方法，又如可以研究与圆锥曲线有关的定值、定点问题等等，这种学习方法使学生不知不觉就翻阅了许多资料，理解问题的能力得到锻炼（2）研究性课程已经作为新课程，另外近年来高考中增加了探索性、研究性等能力型试题，其本质是突出对探究精神，创造能力与综合素质的考查，教师精心设计问题进行研究性学习，激发学生兴趣，启发学生思维，引导学生主动参与到数学研究过程中，鼓励学生自主学习，提出问题，合作探究，培养创新意识和实践能力，在此过程中获取对知识和情感的亲身体验例（2003春季第21题）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值. 试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明学生解决这个问题不难，用的方法也是很基本的，关键是通过这个问