暑期生活专题50001

1、专题5全等三角形（一）全等三角形是平面几何最为重要的基础内容，是学习平面几何的关键阶段，对于计算和证明线段之间或角之间的数量关系，证明线段之间的位置关系起着重要作用。特别是通过这一部分内容的学习能更好地接受数学思维方法、解题技巧和表达规范方面的训练。学好全等三角形的知识，要注意弄清全等三角形对应边和对应角的概念。在两个全等三角形中，一般地有：1若两个角相等，则这两个角为对应角，对应角的对边为对应边；若两条边相等，则这两条边为对应边，对应边的对角为对应角。2两个对应角的夹边为对应边；两条对应边的夹角为对应角。3公共边或公共角为对应边或对应角；最大边或最小边为对应边；最大角或最小角为对应角。要顺利

2、解题，必须熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，同时应善于联系已学过的 图形性质，会把隐含在图形内部的间接条件揭示出来，转化为证明三角形全等的直接条件。 至于画图，则要明确画图时每一步的依据，规范作图过程。作图中一般应保留作图的主要痕迹。在计算和证明时，应理清思路，确定突破点，分析、推理应有据、合理，通过实践逐步学会用综合法和分析法思考问题。注意由已知看可知，由未知看需知，如果可知和需知之间的关系一旦明确，将使解题途径畅通无阻，特别在条件和结论之间关系不易寻求时，要逐步学会有目的地添设辅助线，就在如在列方程（组）解应用题时，思路受阻，可以用多设未知 数加以沟通一样，可以帮助架起一座思维的桥梁，从

3、而实现由已知条件向所求结论的过渡。例1.如果ABC也ADE且AB = AD ,如图所示，那么这两个 三角形另外两组对应边是 与, 与;对应角是二与二，二仝玄:解：因为ABC也ADE且AB = AD，则另两组对应边为 AC =AE , BC = DE;对应角为/ BAC =Z DAE，/ ABC =Z ADE，/ ACB =Z AED。例2.在ABC中，AB = AC,高AD、BE、CF相交于O,如图所示，图中全等三角形 的对数是（）BC于M，作MN丄交(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7解：应选(D) 根据全等三角形的判定方法，可知：例 3 .已知ABC 中，CA = CB，/ C= 90

4、。，AM 平分/ BAC ,BOF 也COE(AAS); BOD 也COD(HL); ABD 也ACD(HL); ABE 也ACF(AAS);AB 于 N。求证：CM = BN。分析：CM和BN分别所在的CMA和BNM不是全等三 角形，但可寻找一条和 CM、BN都相等的线段。由于CA = CB , / C = 90。，因此/ CAB =Z CBA = 45。，又 MN 丄AB 于 N,则/ BMN=Z B= 45。，所以BN= MN MN即为要寻找的线段，只须证明Rt AC曜 Rt ANM即得 MC= MN证明：略例4 .在凸四边形 ABCD中, BC= CD,且对角线 AC平分/ BAD 求

5、证：/ BCD和/ BAD互补。证明：作CF丄AD的延长线于 F,作CEL AB于E。在Rt ACE和Rt ACF中，AC为公共边，/ CAE=Z CAF （已知），所 以Rt ACE Rt ACF（AAS）,得CE= CF （全等三角形对应边相 等）。又 CB= CD（已知），所以 Rt BCE Rt DCF,得/ CDF=Z CBE（全等三角形对应角相等），因为/ CDF + Z CDA= 180。，所以/ CDA与/ CBA互补，则/ BCD与/ BAD 也互补。例5 .以ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边 ABD BCE ACF 求证：AF= DE EF= AD证明：由/ EBC=

6、Z DBA= 60。，得/ ABG=Z DBE 又 BC= BE, BA= BD,所以DBE ABC （SAS,所以DE= AC （全等三角形对 应边相等），因为AC= AF,因此DE= AF。同理可证FE3 ABC 得 EF= AB 而 AB= AD所以 EF= ADb例 6 如图所示,/ BOM=Z AON / OAB=Z OMN AB= MN 就图中已给出的字母判断：共出现几对全等三角形，并对你的判 断作出证明。L解：判断 AOB MON BOIW NOA 由/ BOM=Z AON 得出/ AOB=/ MON.（已知；等量公理）又/ OA=Z OMNAB= M（已 知），所以AOB2 M

7、OINAAS）,即得出 OA= OM OB= ON（全等三 角形对应边相等），因为/ BO=Z AON所以BO阵NOA（ SAS例7 .如果点 D是ABC的/ BAC的平分线上的一点，又 AB AC 则 AB- AC BD- CD分析：由于 AB AC DB DC分散在两个三角形中，因此很难比 较AB-AC和BD- CD的大小，必须作适当的辅助线把这些分散的条件聚 拢在一起，才有利于使题设条件与结论建立逻辑关系，于是，我们可 利用条件：ABAC,在AB上截取 AF= AC 连结DF。因为AD公用，/BDAF=Z DAC（已知），AF= AC （作法），所以ADF ADC（ SAS,所 以DF=

8、 DC BF= AB- AC利用BDF把AB- AC BD CD聚集在一起，由于三角形两边之差 小于第三边，所以 BD- DFV BF= AB- AC 亦即 AB- AC BD- CD证明：略例8 .若D为等腰直角ABC的斜边BC的中点，P是BC延长线上的任意一点，过P点 分别作BA AC的延长线的垂线 PE、PF,垂足分别为E、F。求 证：DEI DR证明：连结 AD,则ADL BC于 D （ D为BC的中点；等腰三 角形三线合一），因为AD公用，BD= CD所以ABD ACD （SAS,则/ BAD=Z CAD= 45。，又/ ABC=Z ACB= 45。，所以AD= CD因为 PE! B

9、E, PFL AF,所以 AE= FP,又/ FCF=Z ACD= 45。，所以 FC= FP, 即卩 AE= FC, 又/ DAE= 135。=Z DCF所以ADE CDF（ SAS,得出/ ADE=Z CDF（全等三角形对应角 相等），因为/ ADEZ EDG= 90。，所以/ FD冉/ EDC= 90。，即 DEI DF练习题一、选择题1两根木棍的长分别为 3m和5m要选第三根木棍将它们钉成一个三角形，若第三根木 棍的长为偶数，则第三根木棍的长为（）(A) 4m(B) 2m(C) 4m(D) 5m或6m或6m或8m 或6m2已知三个锐角之和大于180,则至少有一个锐角大于(A) 81 (

10、B) 76 (C) 68 (D) 60 3 在等腰ABC 中，AB = AC，/ A= 30 绕点C按顺时针方向旋转， 使CB与CB重合， 么，/ AA B%()(A) 30 (B) 25 (C) 22 .30(D) 20 4在ABC中，/ B = 60, AB AC,则/ A的取值范围应为()(A) 30 / A v 90(B) 30 / A 60(C) 0 Z A 60(D) 0 Z AZ A; ( 2)1PA+ PB+ PO - (AB+BC+CA ).218 在ABC 中，+ CF的大小关系,D是BC的中点， 并证明你的结论。DE丄DF。试判断 EF与BEBDC18胚)参考答案1.A2.D3.C4.C5.D6.D7.B8.B9等边三角形10.2a (提示：取CD中点M，连结AM )11.10。12.1013.a14.60。15.可先证ACE也DCB ,再证明ACIWRt CBE从而得到DE=AD+ BE;若直线I通过ABC的内部，贝U DE=| AD-BE|17. (1)可连结AP并延长之，使与BC交于D,利用“三角形的外角大于和它不相邻的内角”，可证得/ BPOZ BAD/ CPDZ CAD所以/ BPOZ A; (2)根据“三角形两边之和大于第三边”，因此PA+ PBAB PB+ PC BC, PC+ PA AC,三式相加得 2 ( PA+ PB+ PC)