概率论与数理统计习题及答案

1、概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1设A，B, C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。2、 设 P(A) =0.1,P(A _ B) =0.3，且 A 与 B互不相容，则 P(B)二。3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取 3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。4、 某人射击的命中率为 0.7，现独立地重复射击 5次，则恰有2次命中的概率为 5、某市有50%的住户订晚报，有 60%的住户订日报，有 80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。6、设 A，B 为两事件，P(A) =0.7, P(AB) =0.3，贝U P(A B

2、)二。7、 同时抛掷3枚均匀硬币，恰有 1个正面的概率为 。8、设 A，B 为两事件，P(A) =0.5, P(A B) =0.2，贝U P(AB)二。9、 10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。10、 将一骰子独立地抛掷 2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，AX Y=10lB =Y ，则 P(B | A)二。11、设代B是两事件，则A,B的差事件为。12、设 A,B,C 构成一完备事件组， 且 P(A) = 0.5,P(B)二 0.7,则 P(C)二_，P(AB) =_13、 设A与B为互不相容的两事件，P(B) 0,则P(A|B)二。14、 设A与

3、B为相互独立的两事件，且P(A) =0.7,P(B) =0.4，则P(AB)二。15、设代 B 是两事件，P(A) =0.9, P(AB) =0.36,则 P(AB)二。16、 设 代B是两个相互独立的事件，P(A) = 0.2,P(B) =0.4,则P(A B)二。17、设 A, B 是两事件，如果 A 二 B ,且 P(A) =0.7, P(B) =0.2 ,则 P(A| B)二1 1 1 18、设 P(A) , P(B) ,P(A B) ，则 P(A B)二。34219、 假设一批产品中一、二、三等品各占60%, 30%, 10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为 20

4、、 将n个球随机地放入 n个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。二、选择题1、设P(AB) =0，则下列成立的是()A和B不相容 A和B独立 P(A)二0orP(B) = 0 P(A - B)二P(A)2、 设A, B,C是三个两两不相容的事件，且P(A) =P(B) =P(C) =a，贝U a的最大值为()1/2 1 1/31/43、 设A和B为2个随机事件，且有 P(C | AB) =1 ,则下列结论正确的是() P(C) - P(A) P(B) -1 P(C P(A) - P(B) -1P(C)=P(AB)P(C)=P(A B)4、卜列命题不成立的是() A B =AB B A B =

5、 A B(AB)(AB)八 A B= B A5、 设 代B为两个相互独立的事件，P(A) 0,P(B) 0，则有 () P(A)=1-P(B) P(A|B)=0 P(A| B) =1 - P(A) P(A|B)二P(B)6、设 代B为两个对立的事件， P(A) 0, P(B) 0,则不成立的是 () P(A)=1-P(B) P(A|B)=0 P(A| B) = 0 P(AB) =17、设 代B为事件，P(A B) = P(A) P(B) 0,则有 (A和B不相容 A和B独立 A和B相互对立 P(A - B)二 P(A)8、设 代B为两个相互独立的事件，P(A) 0,P(B) 0，贝U P(A

6、B)为() P(A) P(B) 1 -P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 1 - P(AB)9、设 代B为两事件，且 P(A) =0.3，则当下面条件(A与B独立 A与B互不相容A与B对立10、设代B为两事件，则(A B)(A B)表示()成立时，有P(B) =0.7A不包含B必然事件不可能事件A与B恰有一个发生A与B不同时发生11、每次试验失败的概率为p(0 ： p : 1)，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为10个小朋友，每人一球，则最后三个分)(色)匸)10 10CC2Cw( ) 3(1-P) (1-P)3 1-P3 c3(1-p)p212、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分

7、给 到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为(13、设 P(A) =0.8, P(B) =0.7, P(A| B) =0.8，则下列结论成立的是()15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p，贝U p为(1/21/4 1/18 1/36A与B独立A与B互不相容B 二 AP(A B) = P(A) P(B)14、设代B,C为三事件，正确的是()P(AB) =1 -P(AB)P(A B)二 P(A) - P(B) 1P(ABC) =1 -P(ABC)P(A _ B) = P(BA)16、已知A, B两事件的概率都是1/2,则下列结论成立的是（P(A B) =1 P(AB) =1 P(AB)二 P(A

8、B) P(AB) = 1217、A, B, C为相互独立事件，0 ： P（C） :：: 1，则下列4对事件中不相互独立的是（）A B与C A-B与C AB与CAC与C18、对于两事件 代B，与A B = B不等价的是（ AB = AB =19、对于概率不为零且互不相容的两事件代B，则下列结论正确的是（A与B互不相容A与B相容 P(AB)二 P(A)P(B) P(A - B)二 P(A)三、计算题1、某工厂生产的一批产品共有 100个，其中有5个次品。从中取 30个进行检查，求次品 数不多于1个的概率。2、 某人有5把形状近似的钥匙， 其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第 三次才打

9、开房门的概率。3、 某种灯泡使用1000小时以上的概率为 0.2,求3个灯泡在使用1000小时以后至多有 1 个坏的概率。4、 甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为85%，90%，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。6、某人买了代B, C三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为 0.03,0.01,0.02 ;并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定赚钱，求此人赚钱的概率。7、 教师在出

10、考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为 95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时没有练习过的概率8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。9、 有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第 1个人抽的结果尚未公开，由第 2个人抽的 结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第 2个人抽到电影票，问第 1个人抽到电影票的 概率。10、一批产品的次品率为 0.1,现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（

11、2）两球中至少有一红球的概率。12、设 代B是两个事件，用文字表示下列事件：A B,B, AB, AB。13、 从1100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被 3 整除的概率；（3）取到的数能被 6整除的偶数。14、对次品率为 5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为 这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回， 如此进行五次。如果 5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有 100个，求这箱灯泡被接受的概率。15、 某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把

12、一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了 3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了 5次才能打开他办公室的门的概率16、 10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取 2个，求已知其中一个是黑色的条 件下，另一个也是黑色的概率。17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是 什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。18、设有三只外形完全相同的盒子，1号盒中装有14个黑球，6个白球；H号盒中装有5个黑球,25个白球；川号盒中装有 8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再 从中任取一球，求（1）取

13、到的球为黑色球的概率；（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自I号盒的概率。19、 三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中I型的有4支，n型的有5支，川型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中I型的有5个，n型的有7个，川型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。20、 有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第 1个人抽的结果尚未公开，由第 2个人抽 的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第 2个人抽到电影票，问第 1个人抽到电影票 的概率。21、 甲、乙、丙、丁 4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2,0.3,0.4,0.7, 求此密码能译出的概率是多少。22

14、、 袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。23、设每次试验事件 A发生的概率相同，已知3次试验中 A至少出现一次的概率为19/27 , 求事件A在一次试验中出现的概率。24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需看 管的概率分别为 0.9， 0.8， 0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。25、一批产品共有 100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的 4 件产 品中至少有 1 件废品。如果在该批产品中有 5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。26、将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，

15、求杯子中球的个数的最大值为2 的概率。27、甲、乙 2班共有 70名同学，其中女同学 40名，设甲班有 30 名同学，而女同学 15名， 求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。28、一幢 10 层的楼房中的一架电梯，在底层登上7 位乘客。 电梯在每一层都停， 乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及 2 位以上乘客在同一层离开的概率。29、某种动物由出生到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，问现在 20岁的动物活 到 25 岁的概率为多少？30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为0.6，现有若干门高射炮同时发射（每炮射一发），欲以

16、99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？31、电路由电池 A 与 2 个并联的电池 B 和 C 串联而成，设电池 A，B，C 损坏的概率分别 为 0.2 ，0.3 ， 0.3，求电路发生间断的概率。32、袋中 10 个白球， 5 个黄球， 从中不放回地取 3 次，试求取出的球为同颜色的球的概率。33、假设目标在射程之内的概率为0.7，这时射击的命中率为 0.6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某 段时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为 0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为 0.3，

17、求（ 1）该时期内这地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。35、甲、乙、丙 3 人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0.4， 0.5， 0.7。如果有 1 人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有 2 人击中，则飞机被击落的概率为0.6，如果有3 人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。36、一射手命中 10环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3，求该射手 3发子弹得到不小于 29 环的概率。38、甲、乙 2 名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利

18、。39、有 2500人参加人寿保险， 每年初每人向保险公司交付保险费12元。 若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取 2000 元。假设每人在一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于 10000 元的概率。40、在 12名学生中有 8 名优等生，从中任取 9 名，求有 5名优等生的概率。41、特色医院接待患者的比例为 K 型 50%， L 型 30%，M 型 20%，对应治愈率为 0.7，0.8， 0.9，一患者已治愈，问他属于 L 型的概率？42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2， 0.4， 0.4，乘火车迟到的概率为 0.5、乘轮船迟到的概率为 0.2

19、、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他 迟到，问他乘轮船的概率是多少？43、一对骰子抛掷 25次，问出现双 6和不出现双 6 的概率哪个大？44、 一副扑克(52张),从中任取13张，求至少有一张“ A”的概率？45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为0.6，孩子得病下母亲得病的概率为0.5，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。46、 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概 率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？47、 某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时

20、赶到的概率为，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为0.4 ;若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达0.9以上的概率取胜，求:-的最低值。48、 工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8，求(1) 三台设备均不需要看管的概率；(2) 至少有一台设备需要看管的概率；(3) 三台设备均需要看管的概率。四、证明题1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件A二“第一次掷得偶数点” ，B二“第二次掷得奇 数点”，C二“两次都掷奇数点或偶数点”，证明A，B，C两两独立，但 A，B，C不 相互独立。2、设每次试验A发生的概率p,(0 ： p 1)，An = “ n次独立重

21、复试验中至少出现一次A ”证明1n3、设 X b(n, p)，证明 EX 二 np, DX 二 np(1 - p)4、证明，如果 P(A| B) P(A)，则 P(B | A) P(B)P(A| B)-5、当 P(A) =a, P(B) =b 时，证明: 6、证明：P(A) 0,则 P(B|A)_1-PBP(A)7、设A,B,C三事件相互独立，则 A B, AB与C相互独立。8、设 AiA，i =1,2,3，贝U P(A) - P(A1) P(A2) P(A3) -29、已知A1, A2同时发生，则 A发生，证明P(A) - P(A) P(A2)T10、 10个考签中有4个难签，3人依次抽签参

22、加考试，证明3人抽到难签的概率相等。11、 设 A，B 为两事件，证明P(B - A)二 P(B) - P(AB)12、证明如果 A与B独立，则 A与B独立、A与B独立、A与B独立13、 如果P(A) 0，证明 A与 B独立的充分必要条件是 P(B|A)=P(B)第二章随机变量及其分布一、填空题,k1、设随机变量 X的分布律为P(X二k)=a (k= 0,1,2)，. 0，则a=。k!2、 设随机变量 X服从参数为1/3的0 1分布，则X的分布函数为=3、设随机变量 X N(1,4), P(X _ aH 12，贝U a =。a4、 设随机变量 X的分布律为P(X =k) (k=1,2_N),

23、7,则a=。N5、 设随机变量 X服从(0,1)区间上的均匀分布，则随机变量Y = X 10、设连续型随机变量 X的密度函数为f (x)=ke的密度函数为 。(X)i 06、随机变量X的密度函数为f (x)二ke 8(-： x ；：)，则k =。7、随机变量X的密度函数为 X N(1,4),则Y =2X -1 。若 P(X 乞 x2) =1 一 ,P(X x1 H : , x1 : x2，则 P(x1 X 乞 x2)=9、设离散型随机变量 X的分布函数为F(x)二a2 a3a b一 1 乞 x ： 21 x 2x _2P(X =2)二1，则 a -2k 二 ,P(：X 乞2) =, P(X =

24、2) =。11、 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，设X为需要进行测试的次数，则P(X = 3) =。12、 设F (x)为离散型随机变量的分布函数为，若P(a ： X : b) = F (b) - F (a)，则 P(X 二b)二。13、一颗均匀骰子重复掷 10次，设X表示点3出现的次数，则X的分布律P(X =k) =14、设X为连续型随机变量，且 P(X乞0.29) = 0.75，Y = 1 - X，且P(Y乞k) = 0.25，贝 y k =。15、 设随机变量 X 服从 POISSON 分布，且 P(X =1

25、) = P(X = 2)，则 P(X _1)=。16、连续型随机变量 X为f (x)1.(x2 _4x 4)2 e:cf (x)dx 二 f (x)dx，则 c 二c一-:17、设F,x), F2(x)为分布函数,a10, a2 0 , a1F1(x) a2F2(x)为分布函数，则a * a?=。x 018、若连续型随机变量的分布函数F(x)2Ax0 兰 xc6，贝U A =.1X A 619、设随机变量X的概率密度1f (x) = e我，则X的分布函数为2220、若随机变量 X N(1,0.5 )，则2X的密度函数f (x) =、选择题1、若函数f (x)是一随机变量 X的密度函数，则()1

26、f (x)的定义域为0,1f (x)值域为0,1f (x)非负 f (x)在R连续2、如果F(x)是(),则F(x) 定不可以为某一随机变量的分布函数。非负函数连续函数有界函数3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（单调减少函数）H(k =0,1,2,)(k =1,2,)丄(k =0,1,2,)k!k!2k1牙(k1,-2,)4、F面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是（si nx f (x) = *3兀 x 2其他sin x3兀 x 2其他5、6、7、COSX3兀 x 2其他 u(x) = * COSX3兀 x 2其他设随机变量XN（0,1），:：（x）为其分布函数，P（X

27、 x）门（1：）：.：（1尸）,i ：* (3)设离散型随机变量 X的分布律为P（X二k）= b，k（k =1,2,），则=（ - 0的实数 b 1* . 111设随机变量X N（二2），则二增大时,P（| X -亠卜:二）是（单调增大单调减少保持不变增减不定设随机变量X的分布密度f （x），分布函数F（x） , f （x）为关于y轴对称，则有（） F(-a) =1 -F(a) F(-a)二1 -F(a) F(-a)二 F(a) F(-a) =2F(a) -1210、要使f(x) = 1cosxi 0是密度函数，则G为（；_ 1叮一 2,2兀1_2,211、设随机变量的分布密度为f (x)二1

28、2 二(1 X )=2X的密度函数为32 -2_ 3- 13 -a1忌=-a1 :,a2 a1,a2a15555229、设F1 （x）, F2（x）为分布函数,a1F,x）-a2F2（x）为分布函数，则下列成立的是（121厂-二(1 4x2)1 2(1 x )412、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度 f (x)，则( P(X=x)=O F(x)=P(X x) F(x) =P(X =x) f (x) =P(X =x)13、设随机变量X的密度函数为x 0 ： x 三 1f (x) = 2x 1 x 兰2，贝y P(X 1.5)=(0 其他 0.75 0.8751.5(2-x)dx01.

29、5(2-x)dx114、设随机变量 X N(1,1)，分布函数为F(x)，密度f(x)，则有() P(X：0)=P(X 0) f(x) = f(-x) P(X：1)=P(X 1) F(x)=F(-x)三、计算题1、10个灯泡中有2个是坏的，从中任取 3个，用随机变量描述这一试验结果，并写出这 个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。2、 罐中有5个红球，3个白球，有放回地每次任取一球，直到取得红球为止。用X表示 抽取的次数，求 X的分布律，并计算 ： X辽3。3、设随机变量X的分布律为P(X =k)(k =1,2，)，试求A的值。k(k +1)4、已知离散型随机变

30、量X的分布律为X-2-10121/51/61/51/1511/30(1)求 P(T ： X ：1)；(2) 求Y = X2的分布律;(3) 求X的分布函数。5、已知离散型随机变量 X的分布律为P(X =k) =C：pk(1 - p)4*，且P(X-1)=596、 对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为p，求射击次数 X的分 布律。17、已知离散型随机变量 X的分布律为P(X =k) k，其中k =1,2，求Y=Si n X的分布律。辽丿8、设连续型随机变量 X的分布函数为：F(x) = A Barctanx|x|：1|x|_1求： 常数A, B (2) X的概率密度。9、已知随

31、机变量X的密度函数为求(1)系数A ；f 11(2) X落入一一，一啲概率； 22丿(3) X的分布函数。10、某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为0.8,若假定各机床是否开动是独立的，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗的电能不少于270个单位的概率。211、设随机变量X U(0,2)，求Y=X的分布。14、设球的直径(单位：mm) X U (10,11)，求球的体积的概率密度。12、设测量误差X的密度函数为(X/)测量误差的绝对值不超过30的概率； 测量3次，每次测量独立，求至少有1次测量误差的绝对值不超过30的概率。13、在下列两种情形下，求方程 t2 Xt，

32、1 = 0有实根的概率。(1) X 等可能取 1,2, 3, 4, 5,6;(2) X U(1,6)f(X)： e跖，求40+2 兀15、已知离散型随机变量X只取-1, 0, 1,. 2，相应的概率为13572a4a 8a 16a求a的值并计算P（| X匸1| X -0）xa1oo16、设某种电子管的寿命 X的密度函数f（x）=x2R XE100（1）若1个电子管在使用150小时后仍完好，那么该电子管使用时间少于200小时的概率是多少？（2）若1个电子系统中装有 3个独立工件的这种电子管， 在使用150小时后恰有1个损 坏的概率是多少。17、 设钻头的寿命（即钻头直到磨损为止所钻的地层厚度，以

33、米为单位）服从指数分布，钻头平均寿命为1000米，现要打一口深度为 2000米的井，求（1）只需一根钻头的概率；（2）恰好用两根钻头的概率。18、 某公共汽车站从上午7时起第15分钟发一班车，如果乘客到达此汽车站的时间X是7时至7时30分的均匀分布，试求乘客在车站等候（1）不超过15分钟的概率；（2）超过10分钟的概率。19、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为0.1,生产过程中出现废品时重新进行调整，问在两次调整之间能以 0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少？20、 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从POSSION分布，每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该物品是

34、相互独立的，求进入商店的顾客购买该种物品人数的分布律。21、 设每页书上的印刷错误个数服从泊松分布，现从一本有500个印刷错误的500页的书 上随机地取5页，求这5页各页上的错误都不超过 2个的概率。22、 已知每天到某炼油厂的油船数X服从参数为2的泊松分布，而港口的设备一天只能为 三只油船服务，如果一天中到达的油船超过三只，超出的油船必须转到另一港口。求：（1）这一天必须有油船转走的概率；（2） 设备增加到多少，才能使每天到达港口的油船有90%可以得到服务。（3）每天到达港口油船的最可能只数。23、 某实验室有12台电脑，各台电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机占总工 作时间的3/4

35、，试求在工作时间任一时刻关机的电脑台数超过两台的概率以及最有可能有 几台电脑同时开机。24、设有各耗电7.5KW的车床10台，每台车床使用情况是相互独立的，且每台车床每小时平均开车12分钟，为这10台车床配电设备的容量是55KW，试求该配电设备超载的概率。25、 一台电子设备内装有 5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小时） 服从指数分布，且平均寿命为1000小时。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为95%两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为70%若两个以上电子管损坏，则设备不能正常工作。 求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作的概率 （各电子管工作相互

36、独立）。26、 某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以 mm Hg计）服从N（110,122）。在该地区任选一 18岁的女青年，测量她的血压Xo（ 1）求PX乞105= P100 ： X 20?；（2）确定最小的 x,使 P X _ 0）0x兰0求（1）常数 A, B 的值；（2） P（-1：X 1）30、有一个半径为2米的圆盘形靶子，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设均能中靶，如以X表示击中点与靶心的距离，求X的分布函数和密度函数。x| 1 VX 231、 设随机变量 X的密度函数fx（x） =卄小 ，求Y = X2+1的密度函数。i 0 其他32、设随机变量的分布律为X

37、% 呀0.20.10.7求随机变量丫二SinX的分布函数。33、已知10个元件中有7个合格品和3个次品，每次随机地抽取1个测试，测试后不放回,34、已知X的分布函数为Fx(x)=O1312231x _2求Y= Sin=X I的分布函数。l 6丿35、 设某产品的寿命T服从N(160,；2)的正态分布，若要求寿命低于120小时的概率不超过0.1,试问应控制 匚在什么范围内，并问寿命超过210小时的概率在什么范围内？36、 某厂决定在工人中增发高产奖，并决定对每月生产额最高的5%的工人发放高产奖， 已知每人每月生产额 X N(4000,602)，试问高产奖发放标准应把月生产额定为多少?37、在长为

38、1的线段随机地选取一点，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少?38、设X的分布密度为2xfx(X)-： 2i0X (0,二)x (0,二)求Y =SinX的密度函数。139、设X的分布密度为fX(x)e4x|2求(1)Y =X2(2)Y X |( 3)Y =1 n | X | 的概率密度。四、证明题1、 设F(x)为随机变量X的分布函数，证明：当 x1 x2时，有F(xJZF(x2)2、证明：若X服从参数为-的指数分布，则 P(X r s| X s) =P(X r)3、 证明：X服从a,b上均匀分布，则 丫二cX d也服从均匀分布。4、 设随机变量X的分布函数Fx(x)为严格单调连续函

39、数，则 Y=FX(X)服从均匀分布。5、 设随机变量 X的分布密度f(x)，分布函数F(x)， f(x)为关于y轴对称，证明：1 a对于任意正数 a有 F(-a)=1-F(a)f(x)dx6、 设随机变量 X的分布密度f (x)，分布函数F(x)， f (x)为关于y轴对称，证明：对于任意正数a有 P(| X |：a) =2F(a)-17、设f(x), g(x)是两个随机变量的密度函数，证明：对于任意正数：(0 ： 1),有:f(x) (1 - - )g(x)是某一随机变量的密度函数。第三章多维随机变量及其分布、填空题1、因为二元函数 F(x,y)=x y ：0不满足x y _0，所以F(x,

40、 y)不是某一个二维随机变量的联合分布函数。2、设二维随机变量的联合分布律为P(Y =1| X =2)=XY12311/163/81/1621/121/61/4O3、设X和Y是独立的随机变量，其分布密度函数为fx(x)=丿10 _ x ： 10 其他，fY(y) = *则(X,Y)的联合分布密度函数为若X和Y独立，则a=4、设二维随机变量的联合分布律为XY12311/61/91/1821/3ab,b=o5、设X1 N(1,2),X2 N(0,3),X3N(2,1)，且三个随机变量相互独立，则P(0 乞 2Xi 3X2 X3 乞 6) = 56、若随机变量 X b(2, p),Y b(4, p)

41、，且 P(X _1) ，则 P(Y_1) =9C -Cx4y)ce7、设(X ,Y)的联合密度函数为 f (x, y)= x _0,y _ 0其他8、设(X,Y)区域D上服从均匀分布，其中D是由x轴，y轴及直线y=2xT所围成的011区域，则P(X ,Y 厂82349、设X和Y是两个随机变量，且 P(X_0,Y_0)，P(X _0) =P(Y _0)：则 Pmax( X,Y) _ 0亠。110、 设相互独立的 X和Y具有同一分布律，且 P(X =0) = P(X =1)，则随机变量2Z = max 仪Y的分布律为111、 设相互独立的 X和Y具有同一分布律，且 P(X =0) =P(X =1)

42、，则随机变量2Z = min k ,丫的分布律为。112、设平面区域 D由曲线y 及直线y=0,x = 1,x=e2，(X,Y)区域D上服从x均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度在x二2处的值为。113、设相互独立的 X和Y具有同一分布，且 XN(0,)，则Z二X-Y。2二、选择题 min Fx (x), Fy(x)1 - 1 _Fx(x)】1 -Fy(x)】1、设随机变量X,Y相互独立，分布函数为Fx(x), FY(y)，则m( X,Y)的分布函数为() Fx(x) Fy(x) ma乂 Fx (x), Fy(x)2、设随机变量 X,Y相互独立，且 XN(0,2),YN(1,4)，则下列各式

43、成立的是()1 P(X Y 岂0)=21 P(X Y _1)=21 P(X -Y 0)=21 P(X -Y _1)=23、设随机变量X , Y相互独立,N(0,1)，丫N(0,1)，则X Y的密度函数为(丄e手2 :丄e2兀x2 -y244、设随机变量X,Y相互独立且同分布,P(X二-1) = P(X =1) =0.5，则下列结论正确的是( P(X =Y) =0.5 P(X 二Y) =111 P(X Y =0) P(X -Y =0)=445、设随机变量X,Y相互独立，且X 2 2Nl1 ),Y NCf )，则 x -丫 为(6、N( j2,二12 V)N( j2,二12 -打)设(X,Y)的联

44、合密度函数为独立同分布7、设随机变量(X,Y)9、2 2 N (叫-2,二1 - 2 )N(丄1 - J,；)2 V)宀宀1则X与Y为(其他独立不同分布不独立同分布X,Y相互独立，且均服从(0,1)均匀分布,随机变量X,Y相互独立同分布，则不独立 独立 设(X,Y)的联合分布律为不独立也不同分布则下列中服从均匀分布的是X2X -YX Y和 X -Y不相关相关30Y0101/4b1a1/4已知事件X =0?与事件fx Y =1 相互独立，则a,b值为(-,- a=3,b= -,- a=,b=63883644二、计算题1、设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为f (x, y)22(V x

45、)(1 y )(-二：x ： 二，-：:：y . r)求: (1)系数A；(2)P(X , Y) D,其中D为由直线y=x ,x=1,及x轴围成的三角形区域。X321P1/41/42/42、设随机变量 X, Y相互独立，且 X, Y的分布律如下表:Y123P2/51/51/5求：(X, Y)的联合分布律；(2) Z = 2X + Y的分布律；(3) U=X Y的分布律。3、甲、乙两人约定晚上在某处见面，但没有说好具体时间，已知甲、乙到达该处的时间分别为随机变量 X和Y，且甲到达的时间均匀分布在6时至8时之间；而乙到达的时间均匀分布在7时至10时之间。已知(X, Y)的联合概率密度为：f (x,

46、 y)=6兰x兰8,7兰y兰10求先到一人等候对方不超过10分钟的概率。0其他4、设随机变量 X和Y相互独立，且 X U(1,2),Y U (1,3)，求方程有两个不相等的实根的概率。方程：t2 2Xt Y =05、一口袋中有4个球，标有1, 2, 3, 4。从中任取1个，不放回，再从袋中任取1个球,以X和Y表示第一、二次取得的球的数字，求X、Y的联合分布。6、设随机变量 X和Y相互独立,X N(f2) , YU(t.二)，求 X Y 的分布。7、随机变量 X和Y的联合分布函数为1F(x,yrarctan x 十 一 arctan y、2 Af (x, y) = *:x ： 1,0 ： y ：

47、 1 其他求边缘分布函数和边缘密度函数。8、设二维随机变量 X和Y的联合密度函数为求(1)联合分布函数;（2）边缘密度函数；（3）P（X Y ：1）9、 甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y表示甲和乙的命中次数，求X和Y的联合分布。10、已知随机变量 X和Y的分布律为（1） X和Y的联合分布；（2）X和Y是否独立。电子仪器由两部件构成，以 数为11、X和Y表示两部件的寿命，已知X和Y的联合分布函0.5 y_Q.5x1 -e -eex y)x 0, y 0其他（1） X和Y是否独立；（2）12、设随机变量 X和Y独立,求两部件的寿命都超过100小时

48、的概率。其概率密度分别为fx(X)= *1 0 x 0,L19、设X和Y独立，fX(x)0其他fY(y) =求Z二X Y的概率密度求Z =min(X,Y)的概率密度。-y0by0y 0其他y 0其他20、设X和Y独立联合密度为f (x, y)4xy00 * 10 八1求联合分布函数。其他四、证明题1、 证明：若 X 二(J,Y 二(2)，且两随机变量独立，则 X Y：(2)2、 证明：若 X N(0,1),Y N(0,1)，且两随机变量独立，则X Y N(0,2)3、证明：若随机变量 X以概率1取常数c，则它与任何随机变量 Y相互独立。第四章随机变量的数字特征第五章极限定理一、填空题1、设随机变量 X的数学期望为，均方差为匚 0,则当a =，b=时,2、 设 X 与 Y 独立，且 EX 二 EY =0, DX 二 DY = 1，贝U E(X 2Y)2 二。ax 十 b0 x 113、 设