天津市河北区2020年高考一模数学试卷(解析版)

1、2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1.已知集合 U=1, 2, 3, 4, 5, 6, A = 1, 2, 3, 4, B = 2, 4, 6,则集合？u (AUB)=()A. 5B. 1 , 5C. 2, 4D. 1 , 2, 3, 4, 62 .已知 aCR,贝U “a2” 是“a24” 的()B .必要不充分条件A .充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .已知直线1: ax+ q3y=2与圆C: x2+y2=4相交于M , N两点，若|MN |= 22，则直线的斜率为（）A./B. 土户C.D. -、？TT4 .已知双曲线 _丁1 （a0, b0）的焦距为

2、 4,点（2, 3）为双曲线上一点，则双a2 b2曲线的渐进线方程为（）A.y_, xxB. y=xC. y 上口xD. y=./x=2=土百5 .已知函数f （x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（）A. f (x) = B. f (x) = 2|x| 2 C. f (x) = 2|x|-x2 D. f (x) = e|x|- |x| 力I6 .已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x)在0, +8)单调递增，设a = f (彳)， 同b=f (log 37) , c= f (0.83),则 a, b, c 大小关系为()A. bvavcB. cv b0)的图象向左平移

3、”个单 2T/位，得到函数y=g (x)的图象，若y= g (x)在0i上为增函数，则的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 49 .已知函数 f (x)=卜* - 3h + 2,父 M 1, g (x) = f (x) - ax+a,若 g (x)恰有 1 个零 _ Urur1点，则a的取值范围是()A. - 1 , 0 U 1 , +8)B. (-8, 1U0, 1C. - 1 , 1D. (-oo, - 1U1, +8)二.填空题10 .已知复数z_ l-f(i为虚数单位)，则 目=. T+111 .在(2x . 1) 5的展开式中，乂2的系数为 .12 .从某班的4名男生，2名女生

4、中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为 X,则P (X=2) =.数学期望 E (X) =.13 .已知a, b为正实数，且 a+b=2,则/427 的最小值为 .-a-+ 6 + 114.已知 ABC是边长为2的等边三角形,n1Lt，且AD与BE相交于点HD - DC 力 =严。，则一?OA OB15.某同学在研究函数 f (x)(xCR)时，分别给出下面几个结论:f ( - x) +f (x) = 0在x R时恒成立;函数f (x)的值域为(-1,1)；若 x1 W x2,则一定有 f (x1)w f (x2)；函数g (x) = f (x) - x在R上有三个零点.

5、其中正确结论的序号有.三.解答题16 .已知 ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,满足2c= .43a+2bcosA.(I )求角B ;(n)若 cosA _ 1,求 sin (2A+B)的值；|= 4(出)若 c= 7, bsinA = .；3,求 b 的值. V17 .如图，在四锥P - ABCD中，PAL底面ABCD ,底面ABCD为平行四边形，AB AC,且PA = AB=3, AC = 2, E是棱PD的中点.(I )求证：PB /平面AEC;(II)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；(出)在线段PB上(不含端点)是否存在一点 M ,使得二面角 M - AC

6、 - E的余弦值为若存在，确定 M的位置；若不存在，说明理由.IF18 .已知等比数列an的前n项和为S,公比q1,且a2+1为ai, a3的等差中项，S3=14.(I)求数列an的通项公式(n)记bn = an? log2an,求数列bn的前n项和Tn.19 .已知椭圆 C： X2 / 1 (ab 0)的离心率e_ 1 ,直线x+y-、。与圆x2+y2 = 濯+庐=斗b2相切.(1)求椭圆的方程；(2)过点N (4, 0)的直线l与椭圆交于不同两点 A、B,线段AB的中垂线为I,若I在y轴上的截距为1 ,求直线I的方程. 1320 .已知函数 f (x) = lnx + ax2+ (a+2)

7、 x+1 (aCR).(I )讨论函数f (x)的单调性；(n)设aCZ,若对任意的x0, f (x) W0恒成立，求整数 a的最大值；(出)求证：当 x0 时，exxlnx+2x3x2+x 1 0.、选择题1 .已知集合 U=1, 2, 3, 4, 5, 6, A = 1, 2, 3, 4, B = 2, 4, 6,则集合？u (AU B)=()A 5B1 ， 5C2，4D1 ，2，3，4，6【分析】根据并集与补集的定义，计算即可解：集合 A=1, 2, 3, 4, B = 2, 4, 6,所以 AU B=1 , 2, 3, 4, 6;又集合 U=1, 2, 3, 4, 5, 6,所以集合？

8、u (AU B) = 5.故选：A【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题2 .已知 aCR,贝U “a2” 是 “ a24” 的()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件【分析】求解a24,得出a2或a4,. . a2或 a 2”是“ a24”的充分不必要条件【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可.3 .已知直线1: ax+J3y=2与圆C： x2+y2=4相交于M, N两点，若|MN |=3 ,则直线的斜率为（）A. fB. gC. ND.TT【分析】利用弦长公式表示出|MN|,求出a的值即可.解：易得直线斜率存在

9、且不为0,则圆心到直线l的距离d则弦长娜户气一2二4az +2j3,解得 a= 1,则斜率k=3【点评】本题考查直线斜率的求法,考查弦长公式，属于中档题.4.已知双曲线a2 b21 (a0,b0）的焦距为4,点（2,3)为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（C. y QxT、D. y二士/ x【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a,然后求出b.可得双曲线C的方程与渐近线方程.解：由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2, 0）根据定义有2a=|j2 2)*3 呼- + 2产+ 0 印|.，a=1 由以上可知：a2=1, c2=4, b2=3.所求双曲线 C的渐近线方程为：y=Er故选

10、：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力.5 .已知函数f (x)的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是()A. f (x)= * B. f (x) = 2|x|- 2 C. f (x) = 2|x|-x2 D. f (x) = e|x|Tx| 一而【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f (0) 0,函数有两个正零点，分别可排除选项A, B, D,由此得出正确选项 C.解：由函数图象可知，f (x)为偶函数，故可排除选项 A;f (0) 0,故可排除选项 B;又当x0时，函数图象与 x轴有两个交点，而方程 ex=x无解，故可排除 D .故选：C.【点评】

11、本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题.6 .已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x)在0, +8)单调递增，设a = f日)， |2b=f (log 37) , c= f (0.83),则 a, b, c 大小关系为()A. bvavcB. c b aC. cvavbD. ac b【分析】根据题意，由偶函数的性质可得c= f ( - 0.83) =f (0.83),又由指数、对数的性质可得0.83 1log知2TH10g 37,结合函数的单调性分析可得答案.2 =解：根据题意，函数 f (x)是定义在R上的偶函数，则c=f (- 0.83) = f

12、(0.83),又由 f (x)在0, +8)单调递增，且 0.8311og3 27,1og37,则有cv a0)的图象向左平移位，得到函数y=g (x)的图象，若y= g (x)在0尸上为增函数，则3的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据函数 y=Asin (cox+Q的图象变换规律得到 g (x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论.解：将函数 f(x) = cos”犷(2sin旧# 2 ,3cos%) + %? = sin cox_ ymcoscox= 2sin ( cox 开)， 2T r3(30)的图象向左平移开个单位，得到函数y=g (x) =2sincox

13、的图象，若y=g (x)在0,仃上为增函数，则 ？升 河，,p 2w1 时，h (x) _ TV) _ 也，h函数，(x)0,此时h (x)为减 (jr 1) btr此时 h (x) 0,且 h (1) 1,即 0h (x) 1 或1 waw 0,即实数a的取值范围是-1, 0 U 1, +8),故选：A.【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题 的关键.综合性较强，有一定的难度.填空题10 .已知复数z_ 1 -(i为虚数单位)，则|z|=1 .|= 1+J【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.解： z 1-i-2t，= TT7

14、= (1 + 0(1 -r) = -2- = 1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.11 .在(2x_ 1 ) 5的展开式中，x2的系数为 80 .【分析】利用通项公式即可得出.解：(2x I)5的展开式中，通项公式Tr+1= 5 (2x)5，(- 1)25riL录 CE?令 5_*=2,解得 r=2.，x2 的系数=23cg = 80.故答案为：80.【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12 .从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X,则P (X=2) =_.数学期望E

15、(X) =1.【分析】随机变量随机 X的所有可能的取值为 0, 1, 2.分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可.解：所选3人中女生人数为 X, X=2,就是所选3人中女生人数为2,则 P(X = 2)c抬i；随机变量X的所有可能的取值为 0, 1, 2, P (X=0) 娓翼 I，P (X=1)3； P (X=2)以d L;-vubbaaa. r35c35Ltqu6所有随机变量E的分布列为：所以E的期望E (X) = 0 1X 5 +故答案为：【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题.13.已知a, b为正实数，且a+b=2,则1+2 卡 的最小值为/) 十 2 口.-a-+

16、 e【分析】由a, b为正实数，且a+b=2,变形可得口之+ 2了 a a+b -1 , 1 _211=f(a), 0vav 2 .利用导数研究其单调性极值与最值即可得+ &n=o + 3+出.解：: a, b为正实数，且a+b=2,q2 + 262 a 2 按 1 + 12 a+b - 11_711 = f (a),0va+ jtg - +- + -匚口 = -+ FTT =石+ 3a + a b + 10 b + 1 g0,解得示 (a-3)匚五涔6-3v2rt 2,此时函数f (a)单调递增；令 f (a) 0时，f (x) =L|e(o, 1)1 + -.1由知当XV0时，f (x)

17、(- 1, 0)x=0 时，f (x) = 0，f (x) e( 1, 1)正确；则当x0时，f (x) - I反比例函数的单调性可知,f (x)在(0, +8)上是增1+3函数再由知f (x)在(-8, 0)上也是增函数，正确由知f (x)的图象与y = x只有(0, 0)这一个交点.不正确.故答案为：【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的.三.解答题16.已知 ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,满足2c= 丫3a+2bcosA.(I )求角B ;(n)若 cosA _ 1 ,求 sin (2A+B)

18、的值；(出)若 c= 7, bsinA = 3,求 b 的值.【分析】(I )利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得 cosB与B的值；(n)根据三角恒等变换求值即可；（m）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值.解：（I） ABC 中，2c= 3a+2bcosA, V由正弦定理得 2sinC 七、：3sinA+2sinBcosA;又 C=兀-（A + B）,所以 2 （sinAcosB+cosAsinB） =、；3sinA+2sinBcosA,所以 2sinAcosB = ；13sinA；又 AC （0,兀），所以 sinAw。，所以cosB 、尹;=2又 BC （0,兀），所以B_一 6

19、（n）若 cosA i, a e（ 0, 7t）,N所以sinA 广 ,T5,= J 1 COHA = n4所以 sin2A = 2sinAcosA= 2 一仲 1,X -一. X =-一I 448cos2A = 2cos2A -1 = 2117所以 sin （2A+B） = sin2AcosB+cos2AsinB（出）若 c= 7, bsinA = 3;由 _ 曰，得 asinB = bsinA= 3 , smJ? . sin/1所以a=户=产=2,3；-sinB 一 T 一 2所以 b2= c2+a2-2cacosB = 49+12 - 2X 7X 2119,内？二解得b=【点评】本题考查

20、了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.17.如图，在四麴隹P-ABCD中，PA，底面ABCD,底面ABCD为平行四边形，ABXAC, 且PA = AB=3, AC = 2, E是棱PD的中点.（I ）求证：PB /平面AEC;（II）求直线 PC与平面AEC所成角的正弦值；（出）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M ,使得二面角 M - AC - E的余弦值为因？若存在，确定 M的位置；若不存在，说明理由.ITT【分析】（I ）连接 BD交AC于点O,并连接EO,推导出EO / PB ,由此能证明PB / 面 AEC .（n ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴

21、，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量t （x, y, z）,由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由 m =向量的夹角公式可得所求值；（出）假设在线段 PB上（不含端点）存在一点 M ,使得二面角 M - AC - E的余弦值为史Q利用向量法能求出在线段 PB上（不含端点）存在一点 M,设平面ACM的法向量 io-(p, q, t),由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性. n =解：(I )证明：连接 BD交AC于点O,并连接EO ,四边形ABCD为平行四边形， 。为BD的中点，又E为PD的中点，在 PDB中EO为中位线，EO/ PB. PB?面 AEC, EO?面

22、AEC,PB / 面 AEC.(II)证明：二.在四棱锥 P- ABCD中，PAL底面ABCD ,底面ABCD为平行四边形， AB AC,且PA=AB=3, AC=2, E是棱PD的中点.，以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,P (0,0,3), C (2,0,0), A (0, 0,0), D (2, 3, 0) , E (1,(1,),rAC =(2, 0, 0),(2, 0, 3),设平面AEC的法向量r (x, y, z), m =则卜 th =工一 + 1=取y=1，得京=(0，1， AC - m = 2x = d设直线PC与平面AEC所成角为以 则直

23、线PC与平面AEC所成角的正弦值为:sin 0 PC m 3_3寸为向向耐 26(出)假设在线段 PB上(不含端点)存在一点 M ,使得二面角 M - AC - E的余弦值为设 M (a, b, c),* , B (0, 3, 0),则(a,PM = APBb, c 3)=入(0, 3, - 3),解得 a= 0, b = 3 Ac= 3- 3Z, M (0, 3 入，3- 3X),(2, 0, 0),(0, 3Z, 3 3N设平面ACM的法向量r(p, q, t)n AC = 2p = 0q= i,i,1,且a2+1为ai, a3的等差中项，S3=14.(I)求数列an的通项公式(n)记bn

24、 = an? log2an,求数列bn的前n项和Tn.【分析】(I)由a2+l是ai, a3的等差中项，可得 2 (a2+l) = ai+a3,又ai (q2+1)= 2aiq+2, =/】+ 9 + 9工):14,联立解得，即可得出.(11) bn=an? log2an=n? 2n.利用错位相减法即可得出.解：(I);az+i 是 ai, a3 的等差中项，2 (a2+i) = ai+a3,l ai (q2+i) =2aiq+2,十 4 + f产)=i4,化为 2q25q+2=0, qi,解得 q=2, /. ai=2.an=2n.(II ) bn = an? log2an= n? 2n.，

25、数列J bn的前 n 项和 Tn= 2+2? 22+3? 23+n? 2n.2Tn= 2X2+2? 23+(n i) ? 2n+n? 2n+i .- Tn= 2+22+23+2n- n? 2n+i 2(2-I) n? 2n+i. =一2- 1解得：Tn= ( nT) ? 2n+i+2.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题.i9.已知椭圆 C: / V_i (ab 0)的离心率e= I ,直线x+y-、石=0与圆x2+y2 =7+P=斗b2相切.(1)求椭圆的方程;(2)过点N (4, 0)的直线l与椭圆交于不同两点 A、B,

26、线段AB的中垂线为1,若 1在y轴上的截距为 力，求直线1的方程.T3【分析】(1)先由直线与圆相切，得出 b的值，再结合离心率，求出 a的值，从而可得 出椭圆的方程；(2)设直线1的斜率为k,设点A (xi, yi)、B(x2, y2),将直线1的方程与椭圆C 的方程联立，计算 0,列出韦达定理，可求出线段 AB的中点Q的坐标，并写出线段 AB中垂线1的方程，然后求出直线 1与y轴的交点坐标，列关于 k的方程，求出k的 值，即可得出直线1的方程.解：(1)由题意得口 J1,即？4e2 = - = _ a1 -田a243由X + y -工石=0与圆x2+y2= b2相切得了 ,，a=2.、b

27、-=, J平、因此，椭圆的方程为储 /;卜+L(2)由题意知，直线1的斜率k存在且不为零，设直线1的方程为y= k (x-4) , kw0,设点 A (xi, yi)、B (x2, y2),设线段 AB的中点为Q (xo, yo),联立户广*，一的，消去y并整理得(4k2+3) x2-32k2x+64k2- 12=0.由韦达定理得32k2 ,又4= (- 32k2) 2-4 (4k2+3)64k2- 12) 0,解得1 12fc2,且 kw 0.% =比值- 4)=4标+ 3,得16J1。加+ 了由直线i的方程L1,y 一 九二一睁 一 总,即 12k1 KJc3，化简得令x= 0得仙 _ 4

28、 ,解得校2 + 3 ,1 或 k=3.k -4由于因此，直线l的方程为I八尸产4),即 x 4y 4= 0.1 , 1,且 kW0,所以，, 2k0, f (x) W0恒成立，求整数 a的最大值；(出)求证：当 x0 时，exxlnx+2x3x2+x 1 0.【分析】(I)求出原函数的导函数f (x) _ 3+1)3 + 1) (x0),得若a0,x则f (x) 0,函数f (x)在(0, +8)上单调递增；若 a0,则 f (1) = 2a+30,不?t足 f (x) 0恒成立.若 a0,由(I)求得函数的最大值，又 f (x) w 0恒成立，可得in ( I) 1 0,设g (x) = lnx+x, Y- a a 则g ( 1) W0.由函数零点判定定理可得存在唯一的x0C(l ),使得g (x0) =0.得口2 1到a 士 1 (-2, - 1),结合aCZ,可知a的最大值为-2;(出)由(n )可知， a = 2 时，f (x) = inx 2x2+1 2x3+x,得到ex - xlnx +2x3 - x2+x- 1 ex_ 2x3+x+2x3 x2+x - 1= ex- x2+2x - 1.记 u (