巩固练习立体几何中的向量方法126最新修正版

1、1【巩固练习】1.若直线I的方向向量a二(A. I P B . I 丄 P0, 1),平面P的法向量为b二(-1, 0, -2),贝9(22.若平面a的法向量为直线I的方向向量为V,直线I与平面a的夹角为0,则下列关系式成立的是().卩V4 Vl rvA. cose -ttI1C . sin 日-1D . sin 日-II 1八 1|v3.已知平面a内有一个点A (2,1, 2), a的一个法向量为n二(3, 1 , 2),则下列点P中，在平面a内的是().333A . (1, 1, 1) B.仃，3,-)C . (1, 3, -) D . ( 1,3,)、选择题4. P是二面角a - AB

2、- P棱上的一点，分别在&、P半平面上引射线PM PN如果/ BPM二D . 90&的正三棱柱，D是侧棱CCi的中点.点G到平面/ BPN=45 , / MPN二60,那么二面角的大小为().A . 60 B . 70 C . 805 .已知ABC-ABG是各条棱长均等于AR D药阳窝(72B. 若分别与一个二面角的两个面平行的向量D.乜2a.6. (2015 春广安校级月考)若向量44 4=(X, 4, 5),八(1-2, 2),且&与b的夹角的余弦值为纟则6x=()A. 3 B. 3 C. T1D. 3 或一 117.在三棱锥P ABC中，A吐BC AB二BO - PA点0 D分别是AC

3、PC的中点，OPL底 2面ABC则直线0D与平面PBC所成角的正弦值7210 C.60D.更30二、填空题若平面a的一个法向量为n二(3, 3, 0),直线I的一个方向向量为b二(1, 1, 1),则I与所成角 的余弦值为.9.m= (一 1, 2, 0), n=( 3, 0, 一 2),且 m n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为.10. 正方体ABCD-ABQD中，E、F分别为AB CC的中点，则异面直线EF与AQ所成角的大小是 O11. 在棱长为1的正方体ABCD-AB1C1D1 +, E、F分别是AB、CD的中点，求点B到 截面AEGF的距离三、解答题12如图，矩形ABCD和直角

4、梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF , Z BCF二9八。 求证：AE/平面DCF.D1CiAi13如图，正四棱柱ABCD -ABQD中，AA, =2AB二4,点E在CG上且 GE 3EC .求二面角A - DE -B的余弦值.14. (2015 新课标 I )如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC二120 ,E , F是平面ABCD同一侧的两点，BE1平面ABCDDF 丄平面 ABCD BE=2DF AE 丄 ED(I )证明：平面AECL平面AFC(n )求官线AE与官线CF所成角的余弦侑。15. (2015山东)如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE G H分别为AC BC的

5、中点。(I) 求证：BD/平面FGH;(II) 若CF丄平面ABC, AB丄BC, CF=DE / BAC二45,求平面FGH与平面ACFD所成 的角 (锐角)的大小。【答案与解析】1.【答案】B；【解析】由于方二-2a,所以丨丄P。2.【答案】D【解析】若直线与平面所成的角为 e,直线与该平面的法向量所成的角为9二90。-Po3.【答案】B【解析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直，即PA n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检 验。对于选项A, PA=( 1 ,0, 1 )，则 PA - n=( 1 ,0, 1 ). (3, 1,2)二5 工 0,故排

6、除A；B, PA =(1, fl,则 PA n 二1,4,-对于选项:2- 2(3 1 2) 0 ,故B正确，同理可排除C Do故选 Bo4-【答案】D【解析】不妨设PM=a PN=b作MEL AB于点E, NF丄AB于点F,如图所示。/ BPMM BPN二45 , PE 诗，P,翫.FNnPMPE) (PNP?) =PM 需一PM 需一PE TN 启:PFa bV2 V2fiba a二 abcos60 -a -cos45 bcos45 +V2V2二也_岂_岂+竺=0o. EM丄FN o2 2 2 2EM FN分别是8、p内与棱AB垂直的直线, EM与FN之间的夹角就是所求二面角，即a -AB

7、-P的大小为90。5.【答案】A【解析】7 ABB A为正方形，AB丄AB,又平面AB D丄平面ABB A A B丄面ABD,二AB是平面AB D的一个法向量，设点C到平面AB D的距离为d,贝UAC ” AbAC (AA+AB)AC A A+AC AB) 0 + a XaXcos606.【答案】A【解析】cos0,x A2,所以 X =3.7.【答案】D;【解析】7 0P 丄平面 ABC, 0A二OC, AB二BC,二 0A 丄 OB, 0A 丄 OP, 0B 丄 0P.以0为原点，射线0P为非负z轴，建立空间直角坐标系0-xyZ如图卜设AB=a,则A便a, 0, 01BMV2丿Ia, 0,

8、 0 UP(0, 0,h) : PA-2a,二 h=a(忑5:.OD-ia, 0, A azI 47可求得平面PBC的法向量n-1, 1,设0P二h,贝也，知1与所成角的余弦值为3“ cosfoD,聲=0DL Ji =7210ODJ 忖 30设0D与平而PBC所成的角为0,则 sin 日二cosOD, n 二7210308.【答案】至3【解析】由站小諾罟昇1)+19.【答案】3765亠3飞56565【解析】 cos (m, n理(严匸)- j 型该二面角的余弦值为斤 NQR7656510.【答案0765或65或30A3 X以A为原点建立直角坐标系(如图所示)则 E (1 , 0, 0) , F

9、 (2, 2, 1) , G (2, 2,，设 B ( 2, 0, 0),2), A ( 0, 0, 2),二(1,2,1), AL (2, 2,0),(1,2, 1) 2,0)晶2丘- cos (EF, ACi=30 。11.【答案】一3【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.贝 y A (1,0, 0),F/. aE =(0,1, 1),24 T则有：n AE =01 1(0,?,。)，E (巧门).” n =(1,2, 1),又 AB 二(0, 1,0),所以点 B 到截面AECF的距离为p二12.【解析】如图，以点C为坐标原点，以CB, CF和CD分别作为X、y和Z轴，建立空

10、间直角 坐标系C - xyz ZD设 AB =a, BC =b? BE =c,则 C(0, 0, 0), A(b,0, a), B(b , 0, 0), E(b, c,0). AE=(0 , c , -a), CB二(b , 0, 0),因为CB丄平面DCF ,所以CB是平面DCF的法向量因为=0,且AEU平面DCF故AE 平面DCF .13.【解析】以D为坐标原点，射线DA为X轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D-xyz .依题设，B(2,2,0), C (0,2,0), E(0, 2, 1), A (2, 0, 4).DE 二(0,2, 1),DB =(2,2,0),AC =(2,2, 4

11、), DA =(2,0,4).设向量n二(X, y, z)是平面DAiE的法向量，则 nd DE n 丄 DA,.故 2y+z=0, 2x+4 z=0 .令 y二 1,贝 U z = 一2 x=4 n= (4, 1, 一 2). (n ,AC)等于二面角ADEB的平面角， H cos AC,； n AC所以二面角A, - DE - B的的余弦值为 山4214.【解析】(1 ) ABCD 为菱形， AC 丄 BD.连接AC, BD,交于点0.以0为原点，0B为x轴正方向，0C为y轴方向，建立空间直角坐标系O-xyz,则z轴和BE平行.可设ABCD边长为2, DF=h(h 0).则 A(0, 73

12、,0) , E (1, 0, 2h), C03 丁F (- 1, 0, h).T T 4AE 丄 EC, AE EC =0.而 AE=(1,73, 2h), EC 二(一1,73,2h),2-一 1+3 4h 二0,卄申.AC 二(0,273,0), AE 二(1,73)，A? =(-1,73,亚).2设面AEC的法向量为m = (Xi, yi, z,),而AFC法向量为n二化皿卫),A冲 Im ” AC =0 则耐T呻m ” AE 二 0Jn ” AC =0 in ” AF =0求得 m = (J2, 0,二(逅 0, 2). 面 AEC 丄面 AFC.(2)AE =(1,73,72), C

13、?=(_l,_73,返ICO屁乱器二弓所以直线AE和CF所成角的余弦值为鱼。3(ffi) AC 二(0, 73,1) ,DA = (1,0, 1),4设平面ACD的法向量为n二(x, y,z),H Tx + z冲In DA =0即-n如-Z roil 5 M=0,令y二 0二1,得半二(-73,1,73).点E到平面ACD的距离h72?715【解析】(I)证法一:连接GF,在三 棱台AB=2DECD,设 CDn GF=O,连接DEF- ABC 中, G为AC的中点， 可得 DF/ GC, DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边 形，则0为CD的中点，又HOH为BC的中点，所以0H / BD

14、, 又OHU平面FGHBDH平面FGH,所以BD/平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中,BH=EF所以 在ABC由BC二2EF H为BC的中点，可得BH/ EF, 四边形BHFE为平行四边形，可得BE/ EF, 中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH / AB, 又GHn HF二H,所以平面FGH/平面ABED,因为BCU平面 ABED所以BD/平面FGH(II)解法一:设 AB=2,则 CF=1,在三棱台DEF-ABC屮,G为AC的屮点，1由 DF 二AC 二GC ,2可得四边形DGCF为平行四边形,因此 DG / FC,又FC丄平面ABC,所以DG丄平面ABC,在八ABC中，

15、由AB丄BC,/ BAC=45 , G是AC中点，所以 AB=BC GB 丄 GC,因此GB, GC, GD两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz,所以 G (0, 0,0) , B (V2, 0, 0), C(0, 72, 0), D(0, 0, I)可得H咅，孚0), Fg,0)-72L故加二亍 ) ,GF (, ,2,0),设门二(x, y, z)是平面FGH的一个法向量，贝I由小吕“可得.X + y =0丄 GF =072y + z 二0可得 平面FGH的一个法向量n二(1,1,J2),因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB二(J2, 0, 0)所以 coSGB, n=GB* n 72 1|GB n 2 ifiL 2所以平面FGH与平面A