【精品】抛物线及其性质知识点大全,推荐文档

1、抛物线及其性质1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质：图形4参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔开口方向右左上下标准方程2y 2px(p o)2y 2px(p 0)2X 2py(p 0)2X2py(p 0)焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标(f.o)(,o)2(0昴(0, )2准线方程pX2Px 2Py 2Py 2范围x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x R对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e 1通径2p焦半径A(Xi,yJAF x0,由方程可知x 0,所以抛物线在

2、 y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点(0，0)，离心率：e 1，焦点F(E,0)，准线x，焦准距p.2 22 焦点弦：抛物线 y 2px(p 0)的焦点弦 AB , A(xi, yj , B(X2,y2),那么 | AB | Xi X2 p .弦长|AB|=x 1+X2+P，当Xi=X2时，通径最短为 2p。4.焦点弦的相关性质:焦点弦AB , A(xi，yi), B(x2,y2)，焦点F(-,0)22(1)假设AB是抛物线y2 2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A,%) , B(x2, y

3、2)，那么：xp2 ,42yy2p。假设AB是抛物线 寸2pp 0)的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为a,贝U AB直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F ,丄AF1BFAF BFAF ?BF2 P (aM 0)。 sin 2AB 2AF ?BF p焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5 弦长公式：A(x1, y1) , B( x2, y2)是抛物线上两点，那么AB.(X1 X2)2 (y1 y2)2、1 k2|x1 X2 | .

4、1 1 I y1 y2 I6. 直线与抛物线的位置关系直线-，抛物线 丫 一：,厂y -kxb，消 y 得.E +2礙宀 0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k工0时， 0,直线I与抛物线相交，两个不同交点； =0，直线l与抛物线相切，一个切点； v 0，直线l与抛物线相离，无公共点。(3) 假设直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线必相切吗？(不一定)7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l : y kx b 抛物线-/， (p 0)联立方程法：y kx b y2 2pxk2x22(kb p)x b20设交点坐标为A(xi, yi)

5、, B(X2, y2),那么有 0 ,以及Xi X2, X1X2 ,还可进一步求出2 2y1y2kX1b kx2 bk(Xrx2)2b ,y1y2(kX1b)(kx2b) kx-|X2巾(为x2)b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.相交弦AB的弦长J/ABVi k2XiX2Ji k2J(xX2)2 4XiX2vi k2 -11i/;Aal或ABJi k2yiy2J 2 * (yi丫2)2 4yiy2 Vi k2匚1 1 k飞k同b.中点 M(xo，yo), xoXx2，yoyiy222点差法：设交点坐标为A(Xi，yi)， B(X2, y2)，代入抛物线方程，得2yi2p

6、xi2cy2 2px2将两式相减，可得(yiy2)(yi y2)2p(xi x?)yiy22pXiX2yiy2a.在涉及斜率问题时，k2 pkAByiy2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M (xo, yo)，yiy22p2ppX-Ix2yi y2 2yo yo即 kAB 土，同理，对于抛物线x22py(p 0)，假设直线I与抛物线相交于A、B两点，点M(xo,y)是弦AB的中点，那么有kAB2XoXo2p2p p(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在, 且不等于零)【经典例题】(1) 抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可

7、抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华美的篇章【例1】P为抛物线y22 px上任一点,F为焦点，那么以PF为直径的圆与y轴(A相交B.相切C.相离D.位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是且QH中位线,p2.作卩心于H,交y轴于Q那么PFPH，OFMNp.作MNLy轴于N那么MN是梯形PQOF的212OFPQ2ph丄|PF|.故以2PF为直径的圆与【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论那么 分别是相离或相交的.y轴相切，选B.(2)

8、焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线y2 2px p0的焦点F作直线交抛物线于A X1,y1 ,B X2, y2两点，求证:(1) ABX1X2(2)亦1_ 2BF p【证明】(1)如图设抛物线的准线为 I，作AA I A,BB1 I于B1,那么 AF |AA| XBF BB1 X2 .两式相加即得：2AB X-! x2 p(2) 当AB丄x轴时，有AFBFP,1 1AF BF成立;p当AB与x轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为:y k X卫.代入抛物线方程:22k2 X子2px化简得:k2x2

9、22P 2p k 2 x k 04方程1之二根为X1 ,X2,.X X1 =1 1 1AF BF 両BB1X1X2X2PPX1X2X1X22P24X1X2pX1X22P4为X2pX1X2P故不管弦AB与X轴是否垂直，恒有1AF1BF一成立.P3切线一一抛物线与函数有缘.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关 根本功【例3】证明：过抛物线 y22pX上一点MX0，yo的切线方程是:yoy=p X+X0-切线的斜率y【证明】对方程y2 2pX两边取导数：2y y 2 p， yk y X Xo P.由点斜式方程：y y0 yoP2xXoyypx pxo

10、yoyo2Q y0 2 pX0，代入1 即得：y oy=p x+xo抛物线中存在许多不不易发现, 到的收获例如：1.一动圆的圆心在抛物线4定点与定值抛物线埋在深处的宝藏却容易为人疏忽的定点和定值掌握它们，在解题中常会有意想不y2 8x上，且动圆恒与直线 x 20相切，那么此动圆必过定点A 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0, 2显然此题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线y22px的通径长为2p；223.设抛物线y 2px过焦点的弦两端分别为 A x1,y1 ,B x2, y2，那么：yyP以下再举一例【例4】设抛物线y2 2px的焦点弦AB在其准线上的射影是 AB,证明：

11、以 AB为直径的圆必过_jh定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 AB=AB=2p而A1B1与AB的距离为p,可知该圆 必过抛物线的焦点由此我们猜测：一切这样的圆都过抛物线的焦点 以下我们对AB的一般情形给于证 明【证明】如图设焦点两端分别为A x1, Y ,B x2, y2 ，那么：yyp设AB的中点为 M X。，y。，贝U x0 |ca crp2.设抛物线的准线交 x轴于C,那么CF p.2AFBi中 CFCA CB 故 A,FBi 90这就说明：以 AiBi为直径的圆必过该抛物线的焦点 通法特法妙法1解析法为对称问题解困排难XCFBr解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能

12、解决纯几何方法不易解决的几何问题如对称问题 等y=-x2+3上存在关于直线 A、B，那么|AB|等于x+y=0对称的相异两点【例5】10.四川文科卷.10题抛物线A.3B.4C.3 - 2D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点 A、B关于直线x+y=0对称，设直线 AB的方程为, yxm2y x m.由2xx m 3 01yx3设方程1之两根为X1,X2,那么x1x21.1 11 1.代入 x+y=0 : y0=.故有 M ,2 22 2从而m y x 1.直线AB的方程为：y x 1方程1成为：x2 x 20 .解得:

13、x 2,1，从而 y 1,2，故得：A -2 , -1 , B 1, 2 . AB 3迈，选 C.2几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的开展，但伴之而来的却是难以防止的繁杂计算，这为、3的直线与抛物线在 x轴上方的局部相交于点 A , AK丄I，垂足为K ,那么AAKF的面积()A . 4B. 3 3C. 4.3D. 8【解析】如图直线 AF的斜率为-,3时/ AFX=60 . AFK为正三角形.设准线|交x轴于M那么FM p 2,J3且/ KFM=60 , KF 4,SAkf 匚43.选 C.4【评注】(1平面几何知识：边长为 a的正三角形的面积用公式S二3 a2计算.4(2)

14、此题如果用解析法， 需先列方程组求点 A的坐标，再计算正三角形的边长和面积 .虽不是很难，但决没有如上的几何法简单(3) 定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线2 2F1和F2;抛物线C2的线为G :笃y1(a0, b 0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为a bl，焦点为F2； C与C2的一个交点为M，那么MMF1等于MF2, , 1 1A .1B. 1C.D.-2 2【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从 最原始的定义方面去寻找出路吧如图，我

15、们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作MHI于H，令MF-i r1, MF2MH这就是说:点M在抛物线上,r2,故MF1MHMF1MF2|MFr|的实质是离心率|MF2|e.其次，1卩汗2 1与离心率e有什么关系？注意到:|MF1|FlF2 2c eia eiLA ei 1 e 1.MF1 *ri*e这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于I F1F2I |MFi| | MF1 | MF2 |e 1 e 1.选 A.(4)三角法一一本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比拟容易地将异名异角的三角函数转化为同名 同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九

16、九归一一一到达解题目的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算【例8】(09.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直线经过物线y2 8x的焦点F,且与抛物线交于 A、B两点。(I)求抛物线的焦点F的坐标及准线I的方程；(H)假设a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交 x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点F (2, 0),准线l;x 2 .抛(n)直线 AB: y tan x 22x 代入(1),整理得：y2 tan88y16ta n 0设方程(2)之二根为y1, y2,那么y2y1y28tan16设AB中点为M x0,

17、 y0，那么yoy2AB的垂直平分线方程是:2令 y=o，那么 x 4cot6,Xo2cot4cotyocot故FPOPOF4cot tan24cot224cot22有 P 4cot 6,2 24cot 6 2 4 cot1 4cos222于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc 1 cos2 4csc22sin 8,故为定值.(5)消去法一一合理减负的常用方法.防止解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题 不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而【例9】 是否存在同时满足以下两条件的直线I: (1) I与抛物线y2 8x有两个不同的交点 A和B

18、； ( 2)线段AB被直线l1 : x+5y-5=0垂直平分.假设不存在，说明理由，假设存在，求出直线 I的方程.【解析】假定在抛物线8x上存在这样的两点A Xi，yi，B X2，y2 .那么有:y18x1%Y282y1 y2*y28 人 X2kABy2 8x2x1x2* Y2线段AB被直线|1:x+5y-5=0垂直平分，且kh1?kAB5,即855y1 y28y1y25.设线段AB的中点为MX。，y，那么 yy1y24代入x+5y-5=0得x=1.于是：254AB中点为Mi,4 .故存在符合题设条件的直线，其方程为:55 x 1，即：25x 5y 210(6)探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜测一一证明一一再猜测一一再证明.终于发现“无限风光在险峰.【例10】(10.安徽卷.14题)如图，抛物线 y=-x2+i