一道统考题的解答引发的思考

1、一道市统考题的解答引发的思考【摘要】本文通过一道函数小题的解答，联系近几年全国卷的相关高考原题，在题目、题型、教法、教材等方面进行了一些思考。力求举一反三， 窥一斑而见全豹，助力于高中数学教学。【关键词】函数；导数；高考试题；数学教学；教学反思1.试题解答 东莞市2016-2017学年度高二文科统考第12小题：已知函数若存在唯一的零点，且则的取值范围是( ) 此题目的两种常规解法如下，解法1：当时，有两个零点，舍去；当时，当时，在所以必存在正数零点，舍去；当时，在如果存在唯一的零点，且那么只须极小值即可，由解得， .解法2：函数存在唯一的零点，且等价于关于的存在唯一解，且等价于关于的存在唯一解

2、，且等价于研究如下：定义域，是奇函数，和，是增函数，极大值极小值根据以上信息，可以作出(如图所示)，数形结合，解得.2.试题及答卷分析此题目由2014年全国卷(卷)第12题改编而成，高考原题如下： 该题目以函数零点的存在性和唯一性问题为载体，以导数为工具解决函数的单调性和极值问题，考查学生分析和解决问题的能力。题目简洁、朴素，但是解题思路常规而丰富。解法1开门见山，直奔主题，但需要较强的分类讨论能力；解法2需要较强的转化和化归能力，但是利用“参变量分离”后，如果可以准确的作出图像，问题的理解就变得直观容易。由于题型具有代表性，解法常规，思想丰富，在章末小结和期末复习的过程中，2014年的高考原

3、题均作为典型例题被重点评讲。很多学生在统考结束后都感觉看到该题目是“记忆犹新”的，而且应当是手到擒来的，但是成绩出来后，该题目的成绩分析却让我们大跌眼镜。(成绩分析见下表)事后调研发现，学生在解答过程中存在诸多问题，以下问题具有代表性：审题不清。混淆理解“存在唯一的零点，且”和“存在唯一负数零点”；计算不对。求导后不能对导函数进行恰当的因式分解，不能准确求解单调区间和极值；分类不全。没有理解分类讨论的必要性，没有准确理解参数对导函数的开口方向和导函数零点的关系，导致原函数单调区间讨论错误；作图不准。忽视了定义域，忽略了和坐标轴的交点，对极限运算理解不正确导致值域讨论错误等原因而造成作图不准；对

4、“恒成立”和“能成立”问题理解混淆。古语云“书读百遍，其义自见”。而我们高中数学教学却时常陷入“题练多变，其利不见”的尴尬境遇，这促使我们对教学要做进一步的反思。3.教学反思数学教学必须重视数学语言的教学。前苏联数学教育家斯托利亚尔说过“数学教学也就是数学语言的教学”。 数学思维的发展是离不开数学语言的同步发展的，丰富数学语言系统，提高数学语言水平，对发展数学思维、培养数学能力和素养有着重要的现实意义。学生能否准确、迅速地理解课堂上教师用数学语言所阐述的数学内容、思想、方法，是衡量学生数学课堂学习效率高低的重要标准。在本题目的解答过程中，对于“存在唯一的零点，且”的理解错误很大程度上导致了思考

5、方向的错误。教学实践也表明，数学语言发展水平低的学生的数学理解力也差，理解问题时常发生困难和错误。在数学问题的表述中， “或、且、非”“任意与存在”“有解与恒成立” “单调区间与区间单调”等等语言表述，不要小看只是只言片语或者叙述顺序的调整，有时正是这些关键语言在作祟，才导致学生对于问题束手无策。所以只有很好地把握数学语言，透彻的理解关键语句，才能很好地去分析问题、思考问题。多用变式教学，区别易混概念。数学是基于概念的科学，相同的概念或者类似的概念必然产生容易混淆的题目。如果在平时的教学中不注意区别和针对性的训练，学生往往就会被这种“貌合神离”的问题迷惑，只关注形似，不关注本质。例如本题的解答

6、过程中就体现出学生对“恒成立”和“能成立”问题理解混淆，那么我们可以改变条件表述，区别这两类问题，并结论性归纳。重视章节小结，提炼研究方法。在该题目的解答过程中，大多数学生采用方法2，即“参变量分离法”。但在转化为很多学生不能准确的作出其图像。除了计算问题，关键在于学生并没有掌握一套研究函数的系统化的方法。这其实也暴露了教学中重视概念，不重视思想方法；重视分析，不重视小结归纳的弊端。教材中其实是扎实充分的介绍了函数的研究方法的，只不过需要我们稍作提炼。在人教必修一第一章先介绍了函数的相关概念，概念的结构图如下图所示，函数函数的定义函数的性质函数的图像函数表示方法函数的定义域函数的周期性函数的奇

7、偶性函数的单调性函数的值域在第一章小结中可以完善总结这种方法，然后在必修一第二章利用这种方法研究了指数函数和对数函数，最后以探究的方式总结了幂函数的图像和性质，乃至后面的三角函数也是用这种方法研究的。而这种利用章节结构来研究的方法在数列，圆锥曲线等章节也有充分体现。这提醒我们对教学要提纲挈领，整体把握。补充极限结论，重视极限思想。本题目的两种解法在画图和分析解答的过程中都涉及到了极限的运算，而在现行的人教A版教材中，极限内容的体现犹如“雾里看花，水中望月”。极限在课本有体现，在导数的计算中直接利用极限的运算推导数了四个初等函数的导函数，在导数的概念中甚至有左、右极限的概念，并体现了以直代曲的极

8、限思想，在定积分的概念中也凸显了极限的核心思想，但是这些都是拿来主义，犹抱琵琶。这让学生对数学教材望而却步，对数学概念望文生义，对数学题目望而生畏。数学是逻辑的科学，更是确定的科学。数学的概念和问题要么不讲，一旦需要，就要历尽其能，讲到透彻。对于极限的运算，既然避免不了，就要系统的给定并讲解，更何况极限是数学的基本思想，高考也经常体现。例如下面两道高考原题：2016全国卷(卷)21题分析：参变量分离后需要讨论函数的极限以便求出值域，画出图像；2015全国卷(卷)16题在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_分析：需要利用极限思想将四边形转化为三角形求解完善知识体系，补充

9、多项式除法。在导函数问题的解答过程中，经常要对导数进行因式分解，以便求出原函数的单调性。但是由于运算能力的欠缺，不能恰当的提取公因式成为制约学生的一个重要因素。补充多项式除法，既是对运算技巧的补充，也是对知识体系的完善，很有必要。第一，初高中教材衔接在因式分解难度和能力的要求上存在较大的差异，补充多项式除法是对运算技巧的补充；第二，初中已经介绍了多项式的加法、减法和乘法运算，补充除法是完备知识体系；第三，多项式函数是高等数学的重要函数，补充多项式除法是为了做好高中数学和高等数学的衔接；第四，多项式除法在高考题中也有体现。例如2013全国卷(卷)第16题：若函数的图像关于直线对称，求的最大值.分

10、析：该题利用对称性求出函数解析式为，求导得到，此题必须利用原函数图像关于直线对称，分析得到导函数有一个因子为，再进行因式分解，而这其实本质就是多项式除法。渗透数学思想，提升数学能力。 数学思想是解题的航标。问题的解决能否清晰酣畅得心应手，主要是看解题的思想方法能否融会贯通。在本题的解决过程中，通过分类讨论，将复杂的问题分解为一个个具体的简单问题逐个击破；通过转化和化归将问题准确迁移，化难为易，化繁为简；通过数形结合将抽象的问题具体化，直观化。这都充分显示了数学思想的重要性。数学是概念教学下的思维运动。概念是死板的，但是思想是灵动的。只有在教学中始终将渗透思想作为重中之重，才能真正提升数学能力和数学素养。突出学生主体，指导学生反思。著名数学家弗赖登塔尔指出“反思是数学教学活动的核心和动力”。本题的解答之所以不尽人意，还有一个不能忽视的问题就是学生在日常的学习过程中不求甚解，缺乏对方法、思维的概括，致使掌握知识的系统性较弱，结构性较差。通过反思可以加深知识联系，促使知识内化和迁移；通过反思可以提高数学意识，优化思维品质。所以，教学中要始终如一的培养学生的反思习惯，强化反思意识。【参考文献】1人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书数学必修1.北京：人民教育出版社，2004，72人民教