专题09 基本立体图形、直观图（知识精讲）（解析版）

1、专题九 基本立体图形、直观图 知识精讲一 知识结构图内 容考点关注点基本立体图形、直观图多面体的结构特征棱柱、棱锥、棱台之间的关系旋转体的结构特征 简单组合体的结构特征直观图直观图与立体图形之间的关系二.学法指导1.有关棱柱结构特征问题的解题策略：(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：两个面互相平行；其余各面是四边形；相邻两个四边形的大众边互相平行求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除2. 关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法棱锥棱

2、台定底面只有一个面是多边形,此面即为底面两个互相平行的面,即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点3多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推同一个几何体的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图4.简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构

3、特征是解决此类概念问题的关键(2)解题时要注意两个明确：明确由哪个平面图形旋转而成明确旋转轴是哪条直线5.旋转体形状的判断方法：(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹,应利用空间想象能力,或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征6.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想7与圆锥有关的截

4、面问题的解决策略(1)画出圆锥的轴截面(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系,求解便可8.画平面图形的直观图的方法技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段9.画空间几何体时,首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图,然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变,画出几何体的各侧面,所以画空间多面体的步骤可简单总结为：

5、10.直观图的还原方法技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段,且平行于x轴的线段还原时长度不变,平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可11直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S,则有SS或S2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积三.知识点贯通知识点1 棱柱的结构特征1.棱柱的结构特征定义一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的大众边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱图示及相关概念底面：两个互相平行的面；侧面：底面以外

6、的其余各面；侧棱：相邻侧面的大众边；顶点：侧面与底面的大众顶点分类按底面多边形的边数分：三棱柱,四棱柱,2.棱柱的分类直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱例题1.(1)下列命题中,正确的是()A有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C棱柱的侧面是平行四边形,但底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形(2)如图所示,长方体ABCDA1B1C1D1.这个长方体是棱柱吗？如果是,是几棱柱？为什么？用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何

7、体还是棱柱吗？若是,请指出它们的底面（1）【参考答案】D【解析】由棱柱的定义可知,只有D正确,分别构造图形如下： 图中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等,故A错；图中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是底面,B错；图中直四棱柱底面ABCD是平行四边形,C错,故选D.(2)【解析】长方体是四棱柱因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的大众边互相平行,这符合棱柱的定义用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分,有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并

8、且每相邻两个四边形的大众边互相平行,这符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1MCC1N.同理,另一部分也是棱柱,可以用符号表示为四棱柱ABMA1DCND1.知识点二 棱锥、棱台的结构特征1.棱锥的结构特征定义有一面是多边形,其余各面都是有一个大众顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥图示及相关概念底面：多边形面；侧面：有大众顶点的各三角形面；侧棱：相邻侧面的大众边；顶点：各侧面的大众顶点分类按底面多边形的边数分：三棱锥,四棱锥,其中三棱锥又叫四面体,底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥2.棱台的结构特征定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,

9、底面和截面之间的部分叫做棱台图示及相关概念上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：除上下底面以外的面；侧棱：相邻侧面的大众边；顶点：侧面与上(下)底面的大众顶点分类由几棱锥截得,如三棱台、四棱台、例题2：(1)下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；棱锥的侧面只能是三角形；由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是 (2)判断如图所示的几何体是不是棱台,为什么？（1）【参考答案】【解析】正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形；正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

10、错误,如图所示,四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥（2）【解析】都不是棱台因为和都不是由棱锥所截得的,故都不是棱台,虽然是由棱锥所截得的,但截面不和底面平行,故不是棱台,只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分才是棱台知识点三 旋转体的结构特征1.圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置,平行于轴的边；柱体：圆柱和棱柱统称为柱体2.圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两

11、边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边；锥体：棱锥和圆锥统称锥体3.圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间部分叫做圆台图示及相关概念轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体4球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：连接球心和球

12、面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径例题3 .(1)下列说法不正确的是()A圆柱的侧面展开图是一个矩形B圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D圆台平行于底面的截面是圆面(2)给出下列命题：圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以组成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的其中正确的是()ABCD(1)【参考答案】C【解析】由圆锥的概念知,直角三角形绕它的一条直角边所在

13、直线旋转一周所围成的几何体是圆锥强调一定要绕着它的一条直角边,即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线,因而C错(2)【参考答案】D【解析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知正确,错误知识点四 平面图形的直观图1斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图斜二测画法是一种特殊的平行投影画法2平面图形直观图的画法及要求例题4用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图【解析】画法：在下图中作AGx轴于G,作DHx轴于H.在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy45.在图中的x轴上取OBOB,OGOG,OCOC,OHOH,y轴上取OEOE,分别过G和H作y轴

14、的平行线,并在相应的平行线上取GAGA,HDHD；连接AB,AE,ED,DC,并擦去辅助线GA,HD,x轴与y轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图)知识点五 画空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,直观图中与之对应的是z轴；(2)平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变(4)成图：去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线例题5.画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为2

15、 cm)【解析】画法：(1)画轴画x轴、y轴、z轴,使xOy45(或135),xOz90.(2)画底面根据x轴,y轴,画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱过A、B、C、D、E、F各点分别作z轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA、BB、CC、DD、EE、FF都等于侧棱长2 cm.(4)成图顺次连接A、B、C、D、E、F,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图五 易错点分析易错一 多面体的判断例题6.如图所示,观察以下四个几何体,其中判断正确的是 ()A是棱台B是圆台C是棱锥 D不是棱柱【参考答案】C【解析】图中的几何体不是由棱锥截来的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是棱台；图中的几何体上、下两个面不平行,所以不是圆台；图中的几何体是棱锥图中的几何体前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的大众边平行,所以是棱柱故选C误区警示多面体的判断,要熟记它们的定义。易错二 多面体的展开图例题7.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()【参考答案】A