【精品】导数讲义(学生新版)(2)

1、导数f (XoX)f (Xo)。X例、假设lim血X 。X)f(X。)Xk，那么 limX 。f(x。2 x) f(x。)等于X、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量 x，那么函数y相应地有增量 y=f(Xo+ x ) -f (x。)，比值 丄叫做函数y=f (x)在X。到Xo+ x之间的平均变x化率，即 丄=x) f(x。)。如果当X 。时，有极限，我们就说函XXX数y=f(x)在点Xo处可导，并把这个极限叫做f (x)在点Xo处的导数，记作f(X。)或 y丨 X X。f (x 0)= limX 。1A . 2k B . k C .丄k D .以上都不是2变式训练：设函数f

2、(x)在点x0处可导，试求以下各极限的值.X 23假设 f(X。)2，那么 lim f(X k)仏)=?k 02k二、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0) 处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f (x)在点p(x0，f (x0)处的切线的 斜率是f(X。)。切线方程为 y-yo=fz (x。) (x-x。)。三、导数的运算1 .根本函数的导数公式：C 0; ( C为常数)Xnn 1 nx (sin x) cosx ; (cosx) si nx; (ex)ex； (ax) axlna; In x -; I oga X1 lo

3、gae.x(1)f(x)( 2)f(x)4 x3f(x),x(4)f (x) sin x(5)f (x)cosx6f(x)3x7f(x) ex(8) f (x) log2 x(9)f (x) ln x10f(x)111y31cosxx4 4(12y产13) ylg xx e14y3x cosx1 x习题：求以下函数的导数:8分钟独立完成2、导数的四那么运算法那么:f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x)g2(x)练习:求以下函数的导数：1y2xx 2 ；2y

4、、x ln x ；3y.xsin x ；4yxln x o5ysin x6y2xoxln x3、复合函数求导:如果函数x在点x处可导，函数f u在点u= x处可导，那么复合函数y f ( u) =f (x)在点x处也可导，并且(例、求以下函数的导数(1) y= 1 2xcos x 练习：求以下函数的导数(1)y=(3x 1)f (x) / = f (x)(x)(2) y=ln ( x+ . 1 x2 )(2)y=sin (3x+)4常考题型：类型一、求导数相关问题例1、假设曲线y二ex上点P处的切线平行于直线2X+ y+ 1二0,那么点P的坐标是例2、曲线y = xexT在点(1 , 1)处切

5、线的斜率等于()A. 2e B . eC. 2 D . 1例3、2021 新课标全国卷U 设曲线y = ax- ln( x + 1)在点(0 , 0)处的切线方 程为y = 2x，那么a=()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3类型二、求切线方程(一) 切点坐标，求切线方程例1.曲线y x3 3x2 1在点(1, 1)处的切线方程(二) 切点斜率，求切线方程例2.与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程(三) 曲线外一点，求切线方程例3.求过点(2,0)且与曲线y丄相切的直线方程.x(四) 曲线上一点，求过该点的切线方程例4.求过曲线y x3 2x上的点(1, 1)的切线

6、方程.变式训练：1、 2021 广东卷曲线y二一5ex+ 3在点(0，- 2)处的切线方程为 .b2、2021 江苏卷在平面直角坐标系xOy中，假设曲线y = ax2 +-(a, b为常数)x过点P(2 , - 5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x + 2y+ 3= 0平行，那么a+ b的值是.23、与直线x y 1= 0平行,且与曲线y= 1相切的直线方程3类型三、求单调区间及极值、最值考点一求不含参数的函数的单调区间例1.求函数y=x2(1 x)3的单调区间.变式训练：1. 函数y xlnx的单调递减区间是()A. (e 1,) B. ( ,e 1)C. (0,e 1)D. (e,)2.

7、 (05年广东高考题)函数f (x) x3 3x2 1是减函数的区间为()(A) (2,) (B)(,2) (C)(,0) (D)(0,2)考点二 求含参数的函数的单调区间1考例1、函数f(x) - x2 ml nx (m 1)x , m R .当m 0时，讨论函数f (x)的单调性.例 2、设函数 f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中 a 1.求f(x)的单调区间；例3、设函数f(x)=ax (a+1)ln( x+1)，其中a -1 ,求f (x)的单调区间。变式训练：x 一 11、2021 山东卷设函数f (x) = aln x+ ,其中a为常数.x十I(1) 假设a= 0,求曲

8、线y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2) 讨论函数f(x)的单调性.2、【2021 安徽卷】设函数 f (x) = 1 + (1 + a)x x2 x3,其中 a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；考点三：利用单调区间求未知参数取值范围：例1、2021 新课标全国卷U 假设函数f (x) = kx ln x在区间(1 , +)单调递增，贝U k的取值范围是()A. ( x, 2 B . ( x, 1C. 2 , +x) D . 1 , +x)例2、2021 全国新课标卷I 函数f (x) = ax3 3x2 + 1,假设f (x)存在唯一的零点xo,且x0,那么a的取

9、值范围是()A. (2 ,+x)B . (1 ,+x)C. ( x, 2) D . ( x, 1)例3、2021 辽宁卷当x 2, 1时，不等式ax3 x2 + 4x + 30恒成立， 那么实数a的取值范围是()9A. 5, 3 B. 6, 8C. 6, 2 D 4, 3变式训练：(山东省烟台市2021届高三上学期期末考试试题(数学文)函数f (x) ax3 bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x 9y 0垂直.(I)求实数a,b的值；(U)假设函数f (x)在区间m, m 1上单调递增，求m的取值范围.考点四：结合单调性求极值问题求函数的极值的步骤：(1)确定函数的定

10、义域，求导数f(x).求方程f(x)0的根.用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成假设干小开区间，并列成表 格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值.注：可导函数y f(x)在x X。处取得极值是fix。)0的充分不必要条件.例1、函数f(x) 2ax b 4lnx在x 1与x 1处都取得极值.x3(1)求a、b的值；变式训练：设x 1,x 2是f x al nx bx x函数的两个极值点.(1) 试确定常数a和b的值；(2) 试判断x 1，x

11、 2是函数f x的极大值点还是极小值点，并求相应极值.例 2、(06 安徽卷)设函数 f x x3 bx2 cx(x R)， g(x) f (x) f (x)是奇函数。(I)求b、c的值。(U)求g(x)的单调区间与极值。例3、函数f (x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如下图.(I )求c,d的值；(II )假设函数f(x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0，求函数f(x)的解析式;例4、2021 江西卷函数f(x)=1-f (x) 5x m的图象有三个不同3(III )在(II )的条件下，函数y f(x)与y 的交点，求m的取值范围. R).(2)假设f(x)在区

12、间0，3上单调递增,(1)当b= 4时，求f(x)的极值;变式训练：1、函数f(x) x b的图象与函数g(x) x2 3x 2的图象相切，记 F(x) f(x)g(x).(I)求实数b的值及函数F(x)的极值；(U)假设关于x的方程F(x) k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围322、(2021 全国U文 20)函数 f(x) x 3ax (3 6a)x 12a 4(a R)(I )证明：曲线y f (x)在x 0的切线过点(2,2);(U)假设f(x)在x xo处取得极小值，xo (1,3),求a的取值范围考点五：结合单调性求最值问题求函数在a,b上最值的步骤：(1)求出f(x)在(

13、a,b)上的极值.(2) 求出端点函数值f(a), f(b).(3) 比拟极值和端点值，确定最大值或最小值. 例1、(2021年重庆卷)函数f(x) = ax3 + x2+ bx(其中常数a，b R)，g(x)=f(x) + f (x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式； 讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.例2、设函数f(x) = ax3 + bx+ c(a工0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切 线与直线x 6y 7= 0垂直，导函数f (x)的最小值为12.(1)求a，b，c的值； 求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小

14、值.1例 3、函数 f (x)x2 aln x, g(x) (a 1)x ,a 1 .2(I )假设函数f (x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(II )假设 a (1,e(e 2.71828L )，设 F(x) f (x) g(x)，求证：当 x,x2 1,a 时，不等式| F(xJ F(X2)| 1成立.例 4、2021 安徽卷设函数 f(x) = 1+ (1 + a)x-x2 x3，其中 a 0.(1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2) 当x 0 , 1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.四、导数与不等式恒成立问题：可将恒成

15、立问题转化成函数的最值问题求解。两个根本思想解决“恒成立问题思路1、mf (x)在x D上恒成立mf ( x) max思路2、mf (x)在x D上恒成立mf (x) min例1.设函数f (x)2x3 3ax2 3bx 8c 在 x1及x 2时取得极值.求a、b的值；假设对于任意的x0,3，都有 f(x) c成立,求c的取值范围.例2、函数fa 33 2.xxx a 132x 1,其中a为实数。不等式f xx2 x a 1对任意a0,都成立，求实数x的取值范围例3、设函数f xx4 ax3 2x2 b, (xR),其中a,b R。假设对于任意的a2,2，不等式f x1在1,1上恒成立，求b的

16、取值范围。例4、假设实数a 0且a 2，函数f x1 3 ax31 2a 2 x22x1。2(1)证明函数f x在x 1处取极值，并求出函数f x的单调区间(2)假设在区间0,上至少存在一点X。，使得f X。 1，求实数a的取值范围变式训练：1、(2021辽宁文)函数 f (x) (a 1)lnx ax2 1.(I)讨论函数f (x)的单调性；(U)设 a 2，证明：对任意为风(0,)， | f (xj f (x2) | 4 | x1 x21.2、 函数f (x) = x + 3| x a|( a0).假设f (x)在1,1上的最小值记为g(a). (1)求 g(a)；证明：当 x 1，1时，恒有 f(x) g( a) + 4.3、设函数 f (x) (x a)2x, a R.(I)假设x 1为函数y f (x)的极值点，求实数a ；(U)求实数a的取值范围，使得对任意的x (,2，恒有f (x) 4成立.4、设函数f(x)-x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R). 3(I)求函数f x的单调区间和极值;(U)假设对任意的x a 1,a 2,不等式fx a成立，求a的取值范围存在性问题:x能成立a