抛物线习题精选精讲

1、.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中 丽的篇章.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华【例1】P为抛物线y2 2Px上任一点,F为焦点，则以PF为直径的圆与丫轴()A.相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为F90p .二.作PHL l于H,交y轴于Q,那么2PF且QHOFp.作MNLy轴于N则MN梯形PQOF勺中位线,MNOFPF为直径的圆与2y轴相切，选PQB.1一 PH21-PF .故以2抛物线(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合【评注】相似的问

2、题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.(2)焦点弦一一常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的【例2】过抛物线y22Px P0的焦点F作直线交抛物线于x1,y1 ,B x2,y2 两点，求证:(1) ABx2(2)AFBF【证明】(1)如图设抛物线的准线为AA1l A1, BB1l于1则AFAAXiBFBB1X2p.两式相加即得:2ABx1x2(2)当ABx轴时，有AFABBFP,AFx轴不垂直时，BF2一成立;P设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程:k222 px.化简得:2 2 2. 2p , 2k

3、x p k 2 x k4方程（1）之二根为X1,AFBFAABB1X PX1一1 2x2X1X2P2 X1 X22P_4X1 X2 PX1X22P_4X1X2P-x1X2P故不论弦1AB与X轴是否垂直，怛有 一AFBF2 、成立.P（3）切线一一抛物线与函数有缘.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关【例3】证明：过抛物线 y22 Px上一点M 0，V。）的切线方程是：VN=P（X+X0）【证明】对方程y23.设抛物线y2Px过焦点的弦两端分别为 A x1, y1 , B x2,y2 ，那么：yy P以下再举一例2【例4】设抛物线y 2 Px

4、的焦点弦AB在其准线上的射影是 AB,证明：以AB为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么AB1=AB=2p,而AB1与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 2Px两边取导数：2y y 2p, y E切线的斜率V例如：1.一动圆的圆心在抛物线y2 8x上，且动圆恒与直线xP . , 一 、一Pk y X X0 .由点斜式万程：y y0x x0y。y011 2v y02px0,代入（）1 即得：y0y=P（x+X0）（4）定点与定值一一抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为

5、人疏忽的定点和定值（ ）A. 4,0B, 2,0C. 0,2显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2_2.抛物线y 2 Px的通径长为2P；2y y px PX0 y01.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.20相切，则此动圆必过定点D. 0, 2设AB的中点为M （Xo, y。），则x0XiX22从而m y x 1.直线ab的方程为:y x 1.方程（1）成为：x2 x 2 0 .解得:【证明】如图设焦点两端分别为A x1, y1 , B x2, y2那么：V1V2 p2|CA| CBi |yi| y2 p2.设抛物线的准线交x轴于C,那么CF p.2AFB1 中 CF|

6、CA1| CB1 .故 A1FB1 90 .这就说明：以AB为直径的圆必过该抛物线的焦点 . 通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则 |AB|等于（）A.3B.4C.3 . 2D.4 . 2【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点 A B关于直线x+y=0对称，：设直线 AB的方程y x m .由y x m 22x2x m 3

7、01yx2 3设方程（1）之两根为Xi , x2,则Xi x21 .1.11 1一.代入 x+y=0： y0=.故有 M ,一222 2AB 3拒，选C.x 2,1 ,从而 y 1,2,故得：A (-2 , -1), B (1, 2)（2）几何法一一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线y24X的焦点为F ,准线为l ,经过F且斜率为J3的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点 A, AK

8、H ,垂足为K ,则zAKF的面积（A. 4B. 3也C. 473【解析】如图直线 AF的斜率为 J3时/AFX=60 AFK为正三角形.设准线l交x轴于M则FM p 2,且/ KFM=60 , KF4,Sakf 424m.选 C.4【评注】（1）平面几何知识：边长为 a的正三角形的面积用公式S93 a2计算.4（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的 几何法简单.（3）定义法一一追本求真的简单一着用最原始的定义去做，反而特别简单许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真, 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线2C1：x2a0

9、,0）的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F1和F2 ；抛物线C2的线为l ,焦点为F2; C1与C2的一个交点为F1F2MF1MF1MF2等于（）A.1B.C.【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂, 寻找出路吧.而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c,离心率为e,作MH l于H ,令MF1MH1, MFr2；,点m在抛物线上,MF1MF1MF22,故MHMF21e,这就是说： 库的实质是离心率e.IMF2 |其次,IF1F2IIMF1 |与离心率e有什么关系？注意到:E 2cMF11e 2a1这样，最后的答案就自然

10、浮出水面了：由于IF1F2IIMF1 | MF1 | |MF2|e 1.二选 a.(4)三角法一一本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然 后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算【例8】(07.重庆文科.21题)如图，彳i斜角为a的直线经过抛物线2_ .v 8X的焦点F,且与抛物线交于 A、B两点。(I )求抛物线的焦点 F的坐标及准线l的方程；(口)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为

11、定值，并求此定值。【解析】(I )焦点F (2, 0),准线l ； X 2 .（口）直线 ab ： y tan x 21 .2 y2.x J代入（1）,整理得：y tan 8y 16tan 0288设方程（2）之二根为y1, y2,则 y1 y2 tan-.V1 V2 16设ab中点为M x0,y0 ,则 y0Xoy y22cotyo4cot tan-2_2 4cot 2AB的垂直平分线方程是：y 4COt2cot x 4cot 22令 y=o,则 x 4cot6,有 P 4cot26, 0故 FP OP OF 4cot26 2 4 cot221 4cos一 224csc 2sin 8,故为定

12、值.(5)消去法一一合理减负的常用方法 .避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.AB被2【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l ： (1) l与抛物线y8x有两个不同的交点 A和B; (2)线段直线l1 : x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 l的方程.【解析】假定在抛物线y于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc1 cos28x上存在这样的两点Ax1,y1, Bx2,y2.则有：y2 8为y2 8x2yV2yV2 8 x1x2y V2XiX2必 V2线段AB被直

13、线11 : x+5y-5=0垂直平分，且 凡kAB5,即一8 5yy2设线段ab的中点为M x0, y0 ,则y0yiy224一.代入x+5y-5=0得x=1.于是:5AB中点为M4,，入 J，1,4 .故存在符合题设条件的直线,其方程为:5 x 1 ,即：25x 5y 21（6）探索法一一奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手” 证明一一再猜想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想一一【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点 A,将线段OA的n等分点从左至右依次记 为P1

14、,P2,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1,Q2,，Qn-1,从而得到n-1个直角三角形 Q1OP1, Q2P1P2,，Qn-1Pn-1Pn-1,当n-8时，这些三角形的面积之和的极限为 .1,1图中每个直角三角形的底边长均为 -设OA上第k个分点为k,0 .代入y n1： yk2-2 . n第k个三角形的面积为:akk2n1Sn 1- n2n12221 4n 12n2故这些三角形的面积之和的极限S limnn 1 4n12n2lim 112 n对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考, 一、求轨迹（或方程）抛物线定义的妙用常能化繁为简，优化解题思路,提高思

15、维能力。现举例说明如下。例1.已知动点M的坐标满足方程3收+/=| + 4-12|则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解：由题意得:即动点的距离等于它到原点（由抛物线定义可知：动点 M的轨迹是以原点（0, 0）为焦点，以直线 故选C。0, 0）的距离- T 2 = 0为准线的抛物线。二、求参数的值，仆A M陶3)1一 _例2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上，抛物线上一点 I到焦点距离为5,求m的值。解：设抛物线方程为1=-2抄心0), 准线方程：y 2点M到焦点距离与到准线距离相等把M耀，一引代入得：掇二士2而三、求角例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、

16、B两点，若A B在抛物线准线上的射影分别为 % 81 ,则/=A. 45 B. 60 C. 90 D. 120PQ为过焦点的弦, 点小刀)、求 OPQ勺面积解：如图1,由抛物线的定义知：BF= BBr AF=AAX由题意知：I/胆/叱即：.4/0叫+ /0叫= 180。即/画=9叫故选Co 四、求三角形面积 例4.设。为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且解析：如图2,不妨设抛物线方程为 J - L图2则由抛物线定义知：匚 下一丁 I .+-/又庐。|=上则修+工厂Is应呸:+川-20即X+月=甸6-明,又PQ为过焦点的弦，所以尸仍二Aa,厂用卜业 +刃一匕必 =J4T0-2公4-4iz*) =

17、2/ab耳核二点。尸I , g -既| 二 口与所以，飞点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。五、求最值 例5.设p是抛物线y1 = 4K上的一个动点。(1)求点P到点A (-1 ,1)的距离与点P到直线工二-1的距离之和的最小值；若B (3, 2),求四1+|尸修的最小值。解：(1)如图3,易知抛物线的焦点为 F (1, 0),准线是工二一1由抛物线的定义知：点 P到直线A = -1的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点 P,使点P到点A (-1 ,1)的距离与点P到F (1, 0)的距离之和最小显

18、然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为1男区即为J5。图3(2)如图4,自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点片，则 出a二I甲1则有归功+但可之用可+ K0=忸0= d 即陷+1尸修的最小值为4图4从而构造出“两点间线段距离最短”点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离, 使问题获解。六、证明例6.求证：以抛物线=Z曾汽过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5,设抛物线的准线为i，过A、B两点分别作ACBD垂直于？，垂足分别为C、Q取线段AB中点M,彳MH直?卜H。由抛物线的定义有:Mc|二MM，忸必二囚日C图5,|留=附+|即 ABDC

19、1直角梯形加I为圆的半径，而准线过半径 MH的外端且与半径垂直，故本题得证。抛物线与面积问题抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。例1.如图1,二次函数尸二口/+以+双口井0)的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(一1, 0)。点C (0,5）、点D (1, 8)在抛物线上,（1）（2）解：y = ax 十占近+c,根据题意得求抛物线的解析式；求 MCB勺面积。(1)设抛物线的解析式为（7=5 ki.;所求的抛物线的解析式为y- -x +4彳 +5

20、（2） C点坐标为（0, 5） , ： OC= 5令 解得B点坐标为（5, 0） , OB= 5./ = _1+4耳+5=-（彳-2尸+9;顶点M的坐标为（2,9）过点M作MNLAB于点N,则 ON= 2, MN= 9耳阴3 = $福后(?5(而 十且i曲配 一222=15OAB勺一条直角边 OA在x轴上，二次函数，=曰/+8+5口卢。）的图像例2.如图2,面积为18的等腰直角三角形 过原点、A点和斜边OB的中点M图2（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。（2）在坐标轴上是否存一点 P,使 PMM PA= PM如果存在，写出 P点的坐标，如果不存在，说明理由 解：（1） ;等腰直角 OAB的

21、面积为18,OA= OB= 6,M是斜边OB的中点，.DM 二好:点A的坐标为（6, 0）点M的坐标为（3, 3）.抛物线=订工+上工+二（鼻声0）36“十砧十c = 09口 +至+右=3L,解得:解析式为对称轴为-（2）答：在x轴、y轴上都存在点 P,使 PAM中PA= PMP点在x轴上，且满足PA= PM时，点P坐标为（3, 0） c P点在y轴上，且满足 PA= PM时，点P坐标为（0, 3）。例3.二次函数尸二1二十启十的图像一部分如图3,已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1,0）和点B （0, 1）图3（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。5（2）设此二次函数的图像与 x轴的

22、另一个交点为c,当4AMC勺面积为乙ABC面积的4倍时，求a的值。 解：（1）由图象可知：口I;图象过点（0, 1）,所以c=1;图象过点（1, 0）,则以+上十仁二口 ； 当X二一1时，应有二口，则+ 0当”1, 口+方+-0代入小0得+3*】）+1 口，即|八-1所以，实数a的取值范围为一1 UR口。(2)此时函数 一 J 要使4 2a ,-3 4 75a -可求得例4.如图4,在同一直角坐标系内，如果 x轴与一次函数1y二丘十4的图象以及分别过 C (1, 0)、D (4, 0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形 ABDC勺面积为7。图4D E(1)求K的值；(2)求过F、O D三点

23、的抛物线的解析式；(3)线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合于点C),过P点作直线PQ LCD交EF于Q当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC勺面积S与t之间的函数关系式，并确定 t的取值范围。解：(1) .点A、B在一次函数的图象上,典，+4)，5(4, 4t+4),四边形ABDC勺面积为7H(fc+4) + (4Jt-F4)* 3=7222k v =五 +43/3 o(2)由 F (0, 4) , C (1, 0) , D (4, 0)得y =- 5方十4(3) PD= 1 Xt =tOP= 4-t224FQ= -C4-n+4 = -i+-03、

24、/33X =心四出府一口ft? 一即即抛物线= / + , 0 / 3333已知抛物线D : y2=4x的焦点与椭圆Q：在椭圆Q2y2-1(a b 0)的右焦点Fi重合，且点P(42,b2上。(I)求椭圆Q的方程及其离心率；(口)若倾斜角为45的直线l过椭圆Q的左焦点F2,且与椭圆相交于 A, B两点，求 ABF1的面积。0)解：（1）由题意知，抛物线 y2 4x的焦点为（1,:椭圆Q的右焦点Fi的坐标为（1,2o) 0 ab2 16、又点P（ J2,）在椭圆Q上,2.(-2)232b、一一 1一 2由，解得 a2 c4,b3：椭圆Q的方程为1 b22a（n）由（1）知 F2（一1,0）:直线l的方程为 y 0tan 45(x 1),即y设 A(x, yj,B(X2, y 2)由方程组x 1y2消13y 整理7x2 8x 80,Xi8X27, X1X2|AB| 2|Xi X2|2 (X1 X2)2 4x1X212 2又点Fi到直线l的距离d J1 1|1 ( 1)2V2 SABF11-|AB|d21 12 227122如图所示，抛物线y2=4x的顶点为。，点A的坐标为（5, 0）,倾斜角为 一4的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且的最大面积交抛物线于 M、N两点，求 AMN面积最大时直线l的方程，并求 AMN解法一；由题意，可设l的方程为y=x+m,其中