2021年微积分1章微商

1、重点：极限的计算重点：极限的计算 难点：两个重要极限的运用难点：两个重要极限的运用 等价无穷小的运用等价无穷小的运用 分段函数在分段点处的性质分段函数在分段点处的性质 1.1 微积分研究什么？微积分研究什么？ 1.1.1 微积分与初等数学研究对象的比较微积分与初等数学研究对象的比较 1.1.2 微积分研究的两类典型问题微积分研究的两类典型问题 1.2 预备知识预备知识 : : 1.2.4 数列极限数列极限 数列极限的精确定义数列极限的精确定义(P6),(P6),用数列极限的精确用数列极限的精确 定义可以证明后面的运算法则和性质及以下结论定义可以证明后面的运算法则和性质及以下结论. . 数列极限

2、的运算法则数列极限的运算法则 数列极限的性质数列极限的性质 定理定理( (唯一性唯一性) ) 收敛数列的极限是唯一的收敛数列的极限是唯一的. . 定理定理( (有界性有界性) ) 收敛数列是有界的收敛数列是有界的. . 判断一个有界数列是发散的方法：设法找出判断一个有界数列是发散的方法：设法找出 它的两个极限不同的收敛子序列它的两个极限不同的收敛子序列. . 数列极限存在的法则数列极限存在的法则 单调有界法则单调有界法则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. . 用单调有界法则可以证明用单调有界法则可以证明 存在存在. . 1.3 函数函数 1.3.1 函数概念函数概念 基本初等函数基本

3、初等函数 三角函数：三角函数：y = sinx, ,cosx, , tanx, ,cotx, , secx, ,cscx 反三角函数：反三角函数：y = arcsinx, ,arccosx, , arctanx, ,arccotx 其它函数其它函数 符号函数符号函数：sgn x = 分段函数分段函数：自变量在不同的范围内时：自变量在不同的范围内时, ,函数关函数关 系由不同的解析式子给出系由不同的解析式子给出. .如如sgn x. . 整变量函数整变量函数(数列数列)：y = f (n). . 隐函数隐函数：y = f (x)由方程由方程F(x, y) = 0确定确定. . 参数方程函数参数方

4、程函数：y = f (x)由由确定确定. . 注意注意: :一般不要去将隐函数或参数方程函数表一般不要去将隐函数或参数方程函数表 示为示为显函数显函数 y = f (x). . 1.3.2 函数的运算函数的运算 1.3.4 复合运算复合运算复合函数复合函数 1.3.5 函数的几种特性函数的几种特性 1.3.6 函数模型函数模型 指数增长模型指数增长模型 N(t) = N0ert tO N N0 经济管理中的函数模型经济管理中的函数模型 O pp0 需求函数需求函数 D(p) 供给函数供给函数 S(p) 均衡价格均衡价格 O xx0 C0 成本函数成本函数 C(x) 收益函数收益函数R(x) 保

5、本点保本点 收益函数收益函数R(x) = xp(x) = pD(p) 利润利润函数函数P(x) = R(x) C(x) 1.4 函数的极限函数的极限 函数极限的精确定义函数极限的精确定义(P29),(P29),用函数极限的精用函数极限的精 确定义确定义, ,可以证明后面的运算法则和性质及以下可以证明后面的运算法则和性质及以下 结论结论. . 左右极限左右极限 定理定理 函数在某点极限存在的充分必要条件函数在某点极限存在的充分必要条件 是它在该点左右极限都存在且相等是它在该点左右极限都存在且相等. . 无穷大量与垂直渐近线无穷大量与垂直渐近线 1.4.2 函数极限的运算与性质函数极限的运算与性质

6、 四则运算中的不定式极限四则运算中的不定式极限 ( (-型不定式型不定式) ) ( (x1近乎近乎x = 1) ) 对于对于-型不定式极限型不定式极限, ,先通分变型后再求解先通分变型后再求解. . 四则运算法则的应用四则运算法则的应用 函数极限的基本性质函数极限的基本性质 定理定理( (唯一性唯一性) ) 函数有极限则必唯一函数有极限则必唯一. . 两边夹法则也是计算函数极限的一种重要方法两边夹法则也是计算函数极限的一种重要方法. . 1.4.3 第一个重要极限第一个重要极限 ( (这里这里x以弧度为单位以弧度为单位) ) 练习练习 证明证明 第一个重要极限的应用第一个重要极限的应用 证证

7、令令 t = arcsinx, ,则则 x = sint, , 1.5 函数的连续性函数的连续性 1.5.1 连续与间断的直观描述连续与间断的直观描述 1.5.2 连续与间断的定义连续与间断的定义 间断点的分类间断点的分类 1.5.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 严格单调连续函数的反函数必存在严格单调连续函数的反函数必存在, ,而且也而且也 是严格单调连续的是严格单调连续的. . 连续函数的复合函数仍然是连续函数连续函数的复合函数仍然是连续函数. . 基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的. . 任何初等函数在其任何初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内

8、都是连续的. . 初等函数连续性的应用初等函数连续性的应用 因此因此 a = 3. 1.5.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定理定理( (最值定理最值定理) ) 闭区间上的连续函数必有闭区间上的连续函数必有 最大值和最小值最大值和最小值. . 定理定理( (介值定理介值定理) ) 闭区间上连续函数可以取闭区间上连续函数可以取 其最大值与最小值之间的一切值其最大值与最小值之间的一切值. . 根的存在定理的应用根的存在定理的应用 例例 利用根的存在定理证明介值定理利用根的存在定理证明介值定理. 1.6 函数在无穷远处的极限函数在无穷远处的极限 1.6.2 第二个重要极限第二个重要

9、极限 根据根据两边夹法则两边夹法则, , 第二个重要极限的应用第二个重要极限的应用 幂指函数的极限幂指函数的极限 ( (1 型不定式 型不定式) ) 1.7 无穷小量及其比较无穷小量及其比较 1.7.1 无穷小量无穷小量 1.7.2 无穷小量的比较无穷小量的比较 常用的等价无穷小常用的等价无穷小 1.8 微商微商 1.8.1 微积分的典型问题之一微积分的典型问题之一 切线问题切线问题 1.8.2 微商概念微商概念 微商函数微商函数( (或导函数或导函数) ) sinx的微商的微商 lnx, ex的微商的微商 左右微商左右微商 定理定理 函数在某点微商存在的充分必要条件函数在某点微商存在的充分必

10、要条件 是它在该点左右微商都存在且相等是它在该点左右微商都存在且相等. . 曲线的切线曲线的切线 1.8.3 可微性与连续性可微性与连续性 定理定理 若函数若函数 f (x)在点在点 x0可微可微, ,则函数则函数 f (x)在在 点点 x0必连续必连续. 在点在点x0连续但不可微的函数连续但不可微的函数. . x0 x O y x0 x O y 左右微商法的应用左右微商法的应用 1.8.4 科赫科赫(Koch)雪花曲线雪花曲线 科赫科赫(Koch)(Koch)雪花曲线是一条处处连续但处处雪花曲线是一条处处连续但处处 不可微的曲线不可微的曲线.(P74).(P74) 第第1章章 重要概念与公式重