数列在日常经济生活中的应用(2)ppt课件

1、4 数列在日常经济生活中的运用 1.1.了解银行存款的种类及存款计息方式；了解银行存款的种类及存款计息方式； 2.2.领会领会“零存整取、零存整取、“定期自动转存等日常经济定期自动转存等日常经济 生活中的实践问题；生活中的实践问题； 3.3.了解了解“教育储蓄教育储蓄. . 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模 型型. .例如存款、贷款、购物房、车分期付款、保险、资例如存款、贷款、购物房、车分期付款、保险、资 产折旧等问题都与其相关产折旧等问题都与其相关. . 以银行存款为例，它是老百姓日常生活中最根本的经以银行存款为例，它是老百姓日常生

2、活中最根本的经 济活动济活动. .银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别 以等差数列和等比数列为数学模型以等差数列和等比数列为数学模型. .下面分别举例阐明下面分别举例阐明. . 例例1.1.一个热气球在第一分上升了一个热气球在第一分上升了25m25m的高度，在以后的的高度，在以后的 每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的 80%.80%.这个热气球上升的高度能超越这个热气球上升的高度能超越125m125m吗？吗？ 等比数列的实践运用等比数列的实践运用 4 25 1 ( ) 4 5 125

3、1 ( ) 125. 4 5 1 5 n n 答：这个热气球上升的高度不能够超越答：这个热气球上升的高度不能够超越125m.125m. 单利单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息单利的计算是仅在原有本金上计算利息, ,对本金对本金 所产生的利息不再计算利息所产生的利息不再计算利息. .其公式为其公式为 利息利息= =本金利率存期本金利率存期 以符号以符号P P代表本金代表本金,n,n代表存期代表存期,r,r代表利率代表利率,S,S代表代表 本金与利息和本金与利息和( (以下简称本利和以下简称本利和),),那么有那么有 S=P(1+nr). S=P(1+nr). 复利复利 把上期末的本利和作为

4、下一期的本金把上期末的本利和作为下一期的本金, ,在计算时每在计算时每 一期本金的数额是不同的一期本金的数额是不同的. .复利的计算公式是复利的计算公式是 S=P(1+r)n . S=P(1+r)n . 例例2.2.零存整取模型零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务银行有一种叫作零存整取的储蓄业务, , 即每月定时存入一笔一样数目的现金即每月定时存入一笔一样数目的现金, ,这是零存这是零存; ;到商定日到商定日 期期, ,可以取出全部本利和可以取出全部本利和, ,这是整取这是整取. .规定每次存入的钱不规定每次存入的钱不 计复利计复利( (暂不思索利息税暂不思索利息税).). (1)(

5、1)假设每月存入金额为假设每月存入金额为x x元元, ,月利率月利率r r坚持不变坚持不变, ,存期为存期为n n个月个月, ,试试 推导出到期整取时本利和的公式；推导出到期整取时本利和的公式； (2)(2)假设每月初存入假设每月初存入500500元元, ,月利率为月利率为0.3%,0.3%,到第到第3636个月末整取时个月末整取时 的本利和是多少的本利和是多少? ? (3)(3)假设每月初存入一定金额假设每月初存入一定金额, ,月利率是月利率是0.3%,0.3%,希望到第希望到第1212个月个月 末整取时获得本利和末整取时获得本利和2 0002 000元元. .那么每月初应存入的金额是多那么

6、每月初应存入的金额是多 少少? ? 分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即 按单利计息：利息按单利计息：利息= =本金利率存期本金利率存期 解：解：1 1根据题意根据题意, ,第第1 1个月存入的个月存入的x x元元, ,到期利息为到期利息为x xr rn n 元元; ; 第第2 2个月存入的个月存入的x x元元, ,到期利息为到期利息为x xr rn-1n-1元元 第第n n个月存入的个月存入的x x元元, ,到期利息为到期利息为xrxr元元. . (1) (12)(, 2 n nr xrnx 元) (1) ( 2 , n nr

7、ynxx 元) 不难看出不难看出, ,这是一个等差数列求和的问题这是一个等差数列求和的问题. .各月利息之和为各月利息之和为 而本金为而本金为nxnx元元, ,这样就得到本利和公式这样就得到本利和公式 (1) (); 2 n nr yx n + 即元)(nN 2 2每月存入每月存入500500元元, ,月利率为月利率为0.30.3, ,根据式根据式, ,本利和为本利和为 36 37 ;500 (360.3%)18999() 2 y元 3 3依题意依题意, ,在式中在式中,y=2 000,y=2 000，r=0.3%,n=12,r=0.3%,n=12, 答：每月应存入答：每月应存入163.481

8、63.48元元. . 2 000 (1) 126 13 0.3% 2 163.48() y x n n nr 元 ， 例例2.2.定期自动转存模型定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存银行有另一种储蓄业务为定期存 款自动转存款自动转存. .例如例如, ,储户某日存入一笔储户某日存入一笔1 1年期定期存款年期定期存款,1,1年后年后, , 假设储户不取出本利和假设储户不取出本利和. .那么银行自动办理转存业务那么银行自动办理转存业务, ,第第2 2年年 的本金就是第的本金就是第1 1年的本利和年的本利和. .按照定期存款自动转存的储蓄按照定期存款自动转存的储蓄 业务业务( (暂不思索利息

9、税暂不思索利息税),),我们来讨论以下问题我们来讨论以下问题: : (1)(1)假设储户存入定期为假设储户存入定期为1 1年的年的P P元存款元存款, ,定期年利率为定期年利率为r,r, 连存连存n n年后年后, ,再取出本利和再取出本利和. .试求出储户试求出储户n n年后所得本利和年后所得本利和 的公式的公式; ; (2)(2)假设存入假设存入1 1万元定期存款万元定期存款, ,存期为存期为1 1年年, ,年利率为年利率为2.79%,2.79%, 那么那么5 5年后共得本利和多少万元年后共得本利和多少万元( (准确到准确到0.001)?0.001)? 解：解：1 1记记n n年后得到的本利

10、和为年后得到的本利和为an,an,根据题意，第根据题意，第1 1年年 存入的本金存入的本金P P元，元，1 1年后到期利息为年后到期利息为Pr,1Pr,1年后本利和为年后本利和为 a1=P+Pr=P(1+r)(a1=P+Pr=P(1+r)(元元);); 2 2年后到期利息为年后到期利息为P(1+r)rP(1+r)r元，元，2 2年后本利和为年后本利和为 a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(a2=P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2(元元); ); 各年的本利和是一个以各年的本利和是一个以a1=P(1+r)a1=P(1+r)为首项，公比为首项，公比q=1+rq=1+r的等

11、的等 比比 数列数列an,an,故故n n年后到期的本利和年后到期的本利和 an=a1qn-1an=a1qn-1 =P(1+r)(1+r)n-1=P(1+r)(1+r)n-1 =P(1+r)n(=P(1+r)n(元元) )复利公式复利公式. . (2)(2)根据上式，根据上式，5 5年后本利和为年后本利和为 a5=1a5=1(1+0.027 9)51.148(1+0.027 9)51.148(万元万元).). 答：答：5 5年后得本利和约为年后得本利和约为1.1481.148万元万元. . 分期付款的有关规定：分期付款的有关规定： 1.1.分期付款分假设干次付款分期付款分假设干次付款, ,每次

12、付款额一样每次付款额一样, ,各次付款的各次付款的 时间间隔一样时间间隔一样. . 2.2.分期付款中双方的每月分期付款中双方的每月( (年年) )利息均按复利计算利息均按复利计算, ,即上月即上月 ( (年年) )的利息要计入本金的利息要计入本金. . 3.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和, , 等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和, ,这在市这在市 场经济中是相对公平的场经济中是相对公平的. . 例例3.3.分期付款模型分期付款模型 小华预备购买一台售价为小华预备购买一台售价

13、为5 0005 000元的元的 电脑电脑, ,采用分期付款方式采用分期付款方式, ,并在一年内将款全部付清并在一年内将款全部付清. .商场商场 提出的付款方式为提出的付款方式为: :购买后购买后2 2个月第个月第1 1次付款次付款, ,再过再过2 2个月第个月第2 2 次付款次付款购买后购买后1212个月第个月第6 6次付款次付款, ,每次付款金额一样每次付款金额一样, , 商定月利率为商定月利率为0.8%,0.8%,每月利息按复利计算每月利息按复利计算. .求小华每期付的求小华每期付的 金额是多少金额是多少? ? 分析分析1:1:思索小华每次还款后思索小华每次还款后, ,还欠商场的金额还欠商

14、场的金额. . 解：设小华每期还款解：设小华每期还款x x元元, ,第第k k个月末还款后的本利欠款个月末还款后的本利欠款 数为数为AkAk元元, ,那么那么 2 2 5 0001 0.008;Ax 2 42 4 2 1 0.008 5 0001 0.0081.008; AAx xx 2 64 6 42 1 0.008 5 0001 0.0081.0081.008; AAx xxx 2 1210 12 108 642 10.008 5 00010.0081.0081.008 1.0081.0081.008; AAx xx xxxx 由题意年底还清由题意年底还清, ,所以所以 12 0.A 解得

15、解得: : 12 2410 5 000 1.008 1 1.0081.0081.008 880.8() x 元 答答: :小华每期付款的金额为小华每期付款的金额为880.8880.8元元. . 分析分析2:2:小华在小华在1212月中共付款月中共付款6 6次次, ,它们在它们在1212个月后的本个月后的本 利和的累加与一年后付款总额相等利和的累加与一年后付款总额相等. . 解解: :设小华每期还款设小华每期还款 元元, ,那么那么 x 购买购买2 2个月后第个月后第1 1次付款次付款 元元, ,此此 元到元到1010个月后个月后 本利和为本利和为 元元. . 10 10.008x x x 购买

16、购买4 4个月后第个月后第2 2次付款次付款 元元, ,此此 元到元到8 8个月后个月后 本利和为本利和为 元元. . 8 1 0.008x xx 购买购买1212个月后第个月后第6 6次付款次付款 元元, ,此此 元当月的元当月的 本利和为本利和为 元元. . 0 10.008x xx 又小华一年后应还给商场的总金额增值为又小华一年后应还给商场的总金额增值为: : 12 5 0001 0.008元 241012 1 1.0081.0081.0085 000 1.008x 12 2410 5 0001.008 1 1.0081.0081.008 880.8() x 元 答：小华每期付款的金额为

17、答：小华每期付款的金额为880.8880.8元元. . “教育储蓄教育储蓄, ,是一种零存整取的定期储蓄存款方式是一种零存整取的定期储蓄存款方式, ,是国家是国家 为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式为了鼓励城乡居民以储蓄存款方式, ,为子女接受非义务教育为子女接受非义务教育 积存资金积存资金, ,从而促进教育事业开展而兴办的从而促进教育事业开展而兴办的. .某同窗依教育储某同窗依教育储 蓄方式从蓄方式从20042004年年1111月月1 1日开场日开场, ,每月按时存入每月按时存入250250元元, ,延续存延续存6 6 年年, ,月利率为月利率为0.30.3. .到期一次可支取本利共多少元到期一次可支取本利共多少元? ? 解：由例解：由例3 3到期一次可支取本利和公式可知到期一次可支取本利和公式可知 答：到期一次可支取本利和共为答：到期一次可支取本利和共为20 118.620