等腰三角形的性质 (2)

1、 有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形 叫做叫做等腰三角形等腰三角形. . 等腰三角形中，相等的两边都叫做等腰三角形中，相等的两边都叫做腰腰，另一边叫做，另一边叫做底底 边边，两腰的夹角叫做，两腰的夹角叫做顶角顶角，腰和底边的夹角叫做，腰和底边的夹角叫做底角底角. . A C B 腰腰腰腰 底边底边 顶角顶角 底角底角底角底角 探索新知：折一折、剪一剪探索新知：折一折、剪一剪 ( (课本第课本第7575页页) )如图，把一张长方形的纸按图如图，把一张长方形的纸按图 中的虚线对折中的虚线对折, ,并剪去阴影部分并剪去阴影部分, ,再把它展开再把它展开, ,得得 ABC. . 问题问题1 1：

2、 得到的得到的ABC 有什么特点？有什么特点？ A C D B 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对沿折痕对 折，找出其中重合的线段和角折，找出其中重合的线段和角. 问题问题2：等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形吗？ 等腰三角形是轴对称图形，。 重合的线段重合的角 A C B D ABAC BDCD ADAD B C. BAD CAD ADB ADC 大胆猜想大胆猜想 . （1 1）、）、 B = C B = C （2 2）、）、BD = CD BD = CD ，ADAD 为底边上的中线为底边上的中线 （3 3）、）、ADB = ADC = 90ADB = ADC

3、= 90，ADAD为底边上的高为底边上的高 （4 4）、）、BAD = CAD BAD = CAD ，ADAD为顶角平分线为顶角平分线 问题问题3、结论（、结论（1）用文字如何表述？）用文字如何表述？ 等腰三角形的两个底角相等（简写等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角等边对等角”） C A B D 等腰三角形的性质等腰三角形的性质1： (2)要注意是哪三线要注意是哪三线? 等腰三角形等腰三角形的的顶角平分线、底边上的中线顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高和底边上的高互相重合互相重合，简称简称“三线合一三线合一” (1)“等腰三角形等腰三角形”是是三线合三线合 一一的前提条件。的前提条

4、件。 C A B D 问题问题4、结论（、结论（2）、（）、（3）、（）、（4）用一句话可以归纳吗？）用一句话可以归纳吗？ 为什么？为什么？ 等腰三角形的性质等腰三角形的性质2： 验证结论验证结论 结论结论等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。 已知：已知：ABC中，中，AB=AC 求证：求证：B= C 分析：分析：1.如何证明两个角相如何证明两个角相 等？等？ 2.2.如何构造两个全等的如何构造两个全等的 三角形？（由以上折一折剪三角形？（由以上折一折剪 一剪中，你可以得到什么启一剪中，你可以得到什么启 发？）发？） A BC A BC D 12 证明：作顶角的平分线证明：作顶角

5、的平分线AD. 在在BAD和和CAD中中, AB=AC, 1=2, AD=AD, BAD CAD B=C 还有其它的还有其它的 证明方法吗？证明方法吗？ 第二种方法第二种方法第三种方法第三种方法 A BCD A BC D 作作ABC的高线的高线AD， 垂直底边垂直底边BC于于D。 作作ABC的中线的中线 AD，交底边，交底边BC于于 D。 如图，等腰如图，等腰 ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20A=20. .线段线段ABAB的垂直平的垂直平 分线交分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E，连接，连接BEBE，则，则CBECBE等于等于( )( ) A.80A.80 B

6、. 70 B. 70 C.60 C.60 D.50 D.50 【解析解析】选选C. C. 因为因为AB=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC= ABC= （180180-A-A）=80=80，因为，因为DEDE垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以 ABE=A=20ABE=A=20，所以，所以CBE=ABC-ABE=80CBE=ABC-ABE=80- - 2020=60=60. . 2 1 等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7575, ,它的另外两个它的另外两个 角为角为_ _； 等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为_； 等腰三

7、角形一个角为等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角它的另外两个角 为为_ _ _。 4 4、已知、已知: :等腰三角形的两边长分别为等腰三角形的两边长分别为5cm,8cm.5cm,8cm. (1) (1)则第三边长为则第三边长为_cm_cm (2) (2)若周长是偶数若周长是偶数, ,则第三边的长为则第三边的长为_cm_cm 75, 30 70,40或或 55,55 35, 35 5 或或 8 5 5 5、如图，等腰、如图，等腰 ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20A=20. .线段线段ABAB的垂的垂 直平分线交直平分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E

8、，连接，连接BEBE，则，则CBECBE等于等于( )( ) A.80A.80 B. 70 B. 70 C.60 C.60 D.50 D.50 【解析解析】选选C. C. 因为因为AB=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC= ABC= （180180-A-A）=80=80，因为，因为DEDE垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以 ABE=A=20ABE=A=20，所以，所以CBE=ABC-ABE=80CBE=ABC-ABE=80- - 2020=60=60. . 2 1 A BC D x 2x 2x 【解析解析】AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD， ABC=C=

9、BDCABC=C=BDC，A=ABD A=ABD （等边对等角（等边对等角) ) 设设A=x,A=x,则则BDC=A+ABD=2x,BDC=A+ABD=2x, 从而从而ABC=C=BDC=2x,ABC=C=BDC=2x, 于是在于是在ABCABC中，有中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180A+ABC+C=x+2x+2x=180， 解得解得x=36x=36， 在在ABCABC中，中，A=36A=36， ABC=C=72ABC=C=72. . 例例1 1：如图，在：如图，在ABCABC中中 ，AB=ACAB=AC，点，点D D在在ACAC上，且上，且 BD=BC=ADBD=BC=AD，求，

10、求ABCABC各角的度数各角的度数. . 通过等腰三角形的性质通过等腰三角形的性质1的证明，你能证明的证明，你能证明 等腰三角形的性质等腰三角形的性质2吗？怎样证明？有哪几吗？怎样证明？有哪几 种证明方法？种证明方法？ 例例2：如图，在：如图，在ABC中，中，AB = AC，D是是BC边上的中点，边上的中点， B = 30，求，求 1 和和 ADC的度数。的度数。 A BC 12 D 解：解： 等腰三角形且有等腰三角形且有“三线合一三线合一”的性质，的性质， 所以所以AD是是ABC的顶角平分线、的顶角平分线、 底边上的高，底边上的高， ADC = ADB= 90 1 =180 - ADB -

11、B = 60 1 =60 1 1、已知：如图，在已知：如图，在ABC ABC 中，中，1=31=3，2=2=4 . 4 . 求求证：证：ADBCADBC A BC D 1 2 3 4 证明证明: 延长延长AD交交BC于于E. E 2= 4 BD=CD(等角对等边等角对等边) 1= 3 1+ 2= 3+ 4 即即 ABC=ACB 在在 ABD与与 ACD中中 AB=AC AD=AD BD=CD ABD ACD(SSS) BAE= CAE 又又AB=AC AD BC(三线合一三线合一) 1、等腰三角形的性质：、等腰三角形的性质：等边对等角等边对等角 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合和底边上的高互相重合（三线合一）（三线合一