自动控制原理控制系统的数学模型PPT学习教案

1、会计学1 自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理控制系统的数学模型 第1页/共61页 有关术语有关术语 （1 1）支路支路：二端元件：二端元件 （2 2）节点节点：元件的端点：元件的端点 （3 3）回路回路：电路中任一闭合路经：电路中任一闭合路经 （4 4）网孔网孔：内部不含组成回路以外支路的回路：内部不含组成回路以外支路的回路 （5 5）网络网络：含元件较多的电路：含元件较多的电路 第2页/共61页 1 ( )0 n k k i t KCL反映了电路中会合到任一节点的各电反映了电路中会合到任一节点的各电 流间相互约束关系。流间相互约束关系。 第3页/共61页 KCLKCL的实质是电流连续

2、性原理在集中参数电路中的的实质是电流连续性原理在集中参数电路中的 表现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间表现。所谓电流连续性：在任何一个无限小的时间 间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的间隔里，流入节点和流出节点的电流必然是相等的 ，或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上，或在节点上不可能有电荷的积累，即每个节点上 电荷守恒。电荷守恒。 第4页/共61页 KCLKCL的也适用于广义节点的也适用于广义节点 ，即适合于一个闭合面。，即适合于一个闭合面。 右图所示电路，根据右图所示电路，根据KCLKCL 设流入节点的电流为负，设流入节点的电流为负， 则：则： -i-i1 1-i-i

3、2 2-i-i3 3=0=0 第5页/共61页 1 ( )0 n k k v t KVL反映了回路中各支路电压间的相互约束反映了回路中各支路电压间的相互约束 关系。关系。 第6页/共61页 对右图所示电路，取支路对右图所示电路，取支路 电压方方向与回路方向一电压方方向与回路方向一 致时为正，否则为负，则致时为正，否则为负，则 有有 回路回路 v4-v5+v6=0 回路回路 -v1+v5-v4-v3=0 KVL实质上是能量守恒定律在集中参数电路实质上是能量守恒定律在集中参数电路 中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任中的反映。单位正电荷在电场作用下，由任 一点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出一

4、点出发，沿任意路经绕行一周又回到原出 发点，它获得的能量（即电位升）必然等于发点，它获得的能量（即电位升）必然等于 在同一过程中所失去的能量（即电位降）。在同一过程中所失去的能量（即电位降）。 第7页/共61页 KVL的重要性和普遍性也体现在该定律的重要性和普遍性也体现在该定律 与回路中元件的性质无关。与回路中元件的性质无关。 KCL 、KVL只对电路中各元件相互连接只对电路中各元件相互连接 时，提出了结构约束条件。因此，对电时，提出了结构约束条件。因此，对电 路只要画出线图即可得方程。路只要画出线图即可得方程。 例：例：右图所示电路中右图所示电路中Ec=12V，Rc=5k，Re=1 k，Ic

5、=1mA，Ib=0.02mA， 求：求：Vce及及c点、点、e点的电位。点的电位。 解：解：KCL：Ie=Ib+Ic=0.02+1=1.02mA KVL：RcIc+Vce+ReIe-Ec=0 Vce=5.98V c=Ec-RcIc=7V(或c=vce+e=7V) ，e=ReIe=1.02V 第8页/共61页 第9页/共61页 1 1 2 2 数数学学模模型型的的定定义义 建建立立数数学学模模型型的的基基础础 第10页/共61页 1 1 2 2 3 3 数数学学模模型型的的定定义义 建建立立数数学学模模型型的的基基础础 提提取取数数学学模模型型的的步步骤骤 第11页/共61页 恒温箱自动控制系统

6、恒温箱自动控制系统 第12页/共61页 系统框图系统框图 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。 物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态-稳定运动 第13页/共61页 数学模型：数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能动态性能的运动方运动方 程程 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为 建立数学模型的方法： 第14

7、页/共61页 时间域：时间域：微分方程 差分方程 状态空间模型 冲激响应函数模型 频率域：频率域：传递函数模型 频率响应函数模型 第15页/共61页 数学模型的 准确性和简 化 差分方程差分方程 （离散系统）（离散系统） 线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性 ( ), dy y t dt (), ()y kTy kTT 第16页/共61页 电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。 第17页/共61页 划分环节 写出每或一环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式 注：列写微分方程的关键要了解元件或系统所属学科 领域的有关规律，而不是数学本身 第18页/共61页 负载效应 根据元件的工作原理

8、和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。 由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程） 按功能（测量、放大、执行） 第19页/共61页 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确 定反映这种内在联系的物理规律。 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性 化，考虑忽略一些次要因素）。 第20页/共61页 例如微分方程中， 将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。 第21页/共61页 入变量的运动方程。 (t)为输输入电压U(t)为输出变量和以压U 试求出以输出电成的电路，如图所示. 和

9、电阻R组设有由电感L，电容C 例1 io L i(t) Uo(t) Ui(t) R C 第22页/共61页 io oo oo oi Co L R CLRi UU dt dU RC 2 dt U 2 d LC 代入（3）并整理得 dt dU Ci(t) 即 i(t) C 1 dt dU 对（2）式求导得 （3） U dt di LRi(t)U （2） idt C 1 UU dt di LU Ri(t)U （1） UUUU 有解：根据基尔霍夫定律 L i(t) Uo(t) Ui(t) R C 第23页/共61页 解： 系统的运动方程作用产生位移Y，求该 物体受到外力系统，图中质量为m的如图所示为一

10、弹簧阻尼 例2， y m m 0 dt dy f F K）yfP 2 （mP 则有： 2 dt 2 d 2 P dt d P 记 FKy dt dy f 2 dt y 2 d m dt dy f f F Ky s F f F s FFFma 根据牛顿定律 输出量：位移y 输入量：外力F y K 第24页/共61页 解： 试建立其数学模型已知二串联液体储罐， 例3， 数阀1，阀2的阻力系 2 ，R 1 R 数储罐1，2的容量系 2 ，C 1 C 间）流出量的变化（单位时阀2开度改变引起的 f Q （单位时间）的变化引起的流量变化 2 液位h h Q 1 h 1 k 1 1 Q 2 h 2 k 1

11、 h Q dt 2 dh 2 C） f Q h （Q- 1 Q dt 1 dh 1 C 1 Q in Q f ，Q IN ，输入量Q 2 输出量h 第25页/共61页 dt f dQ 2 R 1 T f Q 2 R in Q 2 R 2 h dt 2 dh ） 2 T 1 （T 2 dt 2 h 2 d 2 T 1 T dt f dQ 2 R 1 R 1 C- f Q 2 R- in Q 2 R 2 h dt 2 dh ） 2 R 2 C 1 R 1 （C 2 dt 2 h 2 d 2 R 2 C 1 R 1 C 之间的关系式： 2 输出参数h （干扰作用）与 f （调节参数）和Q in 参数

12、Q消去中间变量可得输入 第26页/共61页 Ua 4 解：解： 的系统运动方程的系统运动方程 为输出量时为输出量时及角位移及角位移动机输出轴角速度动机输出轴角速度为输入变量和分别以电为输入变量和分别以电 以电枢电压以电枢电压统，如图所示，试列写统，如图所示，试列写设有带载直流电动机系设有带载直流电动机系例例 消去中间变量得：消去中间变量得： 磁力矩为磁力矩为在恒定磁场中产生的电在恒定磁场中产生的电电枢电流电枢电流 ，当电动机空载时，当电动机空载时， 成正比，即成正比，即而电动机的反电动势与而电动机的反电动势与 运动方程为：运动方程为： 流电动机电枢回路的流电动机电枢回路的根据基尔霍夫定律，直根

13、据基尔霍夫定律，直 iCMi 0M CeE UEiR M L aa fM dt d J dt di La 第27页/共61页 可得相应运动方程。可得相应运动方程。为输出量，则根据关系为输出量，则根据关系若以若以 ）（）（ ，则由牛顿定律有，则由牛顿定律有时，时，当电动机输出轴带负载当电动机输出轴带负载 ）（）（ dt d MR dt dM LUCCCfR dt d fLJR dt d JL dt La L aaMeMaaaa 2 2 L L aMeMaaa 2 2 a M-f-M dt d J 0M UCCCfR dt d fLJR d JL 第28页/共61页 第29页/共61页 ）处展开，

14、进行线性化，在预期工作点（ ），（的非线性函数和，将具有两个自变量例 00 1 YX YXFZYX Y YY XX Y F X YY XX X F YXF Y YY XX Y F X YY XX X F YXFYXF YX Y YY XX Y F YX YY XX YX F Y YY Y F X XX X F YXFYXFZ YX 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 2 2 0 0 2 2 1 0 | 0 | 00 00 ）（）（），（ ）（ ）（），（），（ 项有的二阶及二阶以上高阶，忽略 ）（）（ ）（ ！ ），（），（ ）邻域有，在（ 第30页/共61页 XXfX dx d

15、f XFXF X dX fd X dx df XFXFY YXXFY XX XXXX ）（）（）（）（ ）（）（ ！ ）（）（）（ ），）线性化，工作点为（）线性化，工作点为（将将例例 ， 00 2 2 2 0 00 0 00 2 1 . 2 几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的 曲线。 说明： A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或 偏导数存在,如图所示的继电器特性， 的各界导数 处处不存在，本质非线性； B.必须明确工作点的参数； C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性化运 动方程对于变量的增量在较大范围适用，反之，只 能适用于变量的微小变化。 1 X 第31页

16、/共61页 )( 1 ) 1 1 10 ( )( 2 ) 1 2 1 1 0 ( : tx m bp m b m pb m pb tx n ap n a n pa n pa n p 为为设描述系统的微分方程设描述系统的微分方程 第32页/共61页 解： 网络的传递函数，试求例CLR1 1 2 1 1 2 12 1 2 12 1 2 LCP RCSLCS SU SU SG SUSURCSLCP tUtURCP ）（）（ 条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始 ）（）（）（由前面知 n aS n a n Sa n S m b m Sb m Sb SX SX SG 1 1 1 1 10 )( 1 )

17、( 2 则其传递函数为则其传递函数为 第33页/共61页 第34页/共61页 ).( 2 )( 1 P-(S ).( 2 )( 1 Z-(S kG(S) n PSPS m ZSZS 3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分 母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次 数N大于等于分子多项式的次数M， 。MN 4.传递函数写成 的形式，则 和 为 G(S)的零点和极点。 m ZZZZ 321 , n PPPP 321 , 5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。 第35页/共61页 G(S) X1(S) X2(S) X(S)X(S) X(S) (S)G(S)X(S)X 12 三.方块图

18、1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示 ； (3).分支点:信号分出的一点,称为分支点,通过分 支点的信号都是相同的； (4).方框:对信号进行的数学变换； (S)X-(S)XE(S) 21 2.常用符号及术语 E(S)X1(S) X2(S) (2).相加点(比较点） (1).信号线:带箭头的直线,箭头表示信号方向； 第36页/共61页 G1(S) G2(S) X1(S) X3(S) X2(S) G1(S) G2(S) + + X3(S) X1(S) X2(S) X4(S) G2(S) G1(S) + Y(S) X1(S) E(S) X2(S) （5）.方框图的串联、并联、反馈连接。 第

19、37页/共61页 G1(S) G2(S) X1(S) X3(S) X2(S) (S)(S)GGG(S) )()()(X )()()(X 21 113 322 SXSGS SXSGS 结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。 推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传 函之积。 第38页/共61页 G1(S) G2(S) + + X3(S) X1(S) X2(S) X4(S) )(.)()()( 21 SGSGSGSG n )()( )( )()( (S)X (S)X G(S) 21 1 43 1 2 SGSG SX SXSX 结论：二环节并联，其等效传函等于二环节传 函之和。 推广：N环节并联，

20、其等效传函等于各环节传 函之和。 第39页/共61页 G2(S) G1(S) + Y(S) X1(S) E(S) X2(S) )()(1 )( )( (S)X (S) (S)(S)X(S)GG-(S)(S)XG(S)X (S)(S)XG-(S)(S)XG(S)X (4)(3) (4) Y(S)-(S)(S)XG(S)X (1)(2) (3) (S)(S)XGY(S) (2) Y(S)-(S)X(S) (1) )()()( 21 1 1 2 221112 22112 112 22 1 12 SGSG SG SX E SESGSX 代入 代入 第40页/共61页 反馈通道传函前向通道传函 前向通道

21、传函 闭环传函 1 当为正反馈时 )()(1 )( )( 21 1 SGSG SG S 结论： 第41页/共61页 ) 1 ( :1递函数试求如图所示系统的传例 G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) (S)(S)G(S)GG(S)(S)G(S)GG )()()()()( 431421 4321 SGSGSGSGSG )()()()(1 (S)(S)GG (S) 4321 21 SGSGSGSG (2) G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) 第42页/共61页 )( )()()(1 )( )( )()()(1 )()( )( )()()( )()()( )()()( )()(

22、)( )()()( 21 2 21 21 12 2 11 SF SHSGSG SG SR SHSGSG SGSG SC SFSXSX SXSGSC SCSHSY SYSRS SSGSX G1(S)G2(S) H(S) R(S) X1(S) X2(S) Y(S) - C(S)(S) F(S) 第43页/共61页 (1)若 则 定义：C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭 环传函，记为 ，即 开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积 称为开环传函，记为 G(S)。 单位反馈：若H(S)=1，则系统称为单位反馈系 统。 )(S )()()(1 )()( )( )( )( )()()(1 )()

23、( )( )( 21 21 21 21 SHSGSG SGSG SR SC S SHSGSG SGSG SR SC 0)(SF 第44页/共61页 (3) 令 称为误差 传函 (S)-1(S) (S) , )(1 )( )( )( )( )()( 2 )( 1 1 )()()( 2 (S)H(S) 2 (S)G 1 G1 R(S) (S) )( )()( 2 )( 1 1 )( 2 )( )( 0)( e e SG SR SR s S e SHSGSG SFSHSG S f SHSGSG SG SF SC SR )(S f 第45页/共61页 3. 按信号流向将函数方框一一 连接起来。 第46

24、页/共61页 : 1 解 源网络的结构图 试绘制如图所示无例 式有式有由由 (1) (4) )( CS 1 (S)IR c 1 (3) I(S)R(S)U (2) (S)U(S)RI(S)U (1) (S)I(S)II(S) 211112 2020 011i011 2121 SIiRdti iRu uRiui iii C i i1 i2 R1R2 Ui U0 I2(S) I1(S) I(S) + + 第47页/共61页 R1 CS I1(S) I2(S) R2 I(S) U0(S) )()( 1 )( )2( 0i1 SUSU R SI 式变换对 U0(S) UI(S) I1(S) 1/R +

25、 - )()( )4( 112 SCSIRSI 式变换对 式有对)3( Ui(S)U0(S)I1(S)I2(S)I(S) + - U0(S) 1/R R2CSR1 + 第48页/共61页 G(S) G(S) X1 X2 X2 X2 X1 X2 G(S) G(S) X2 X1 X1 (1)分支点前移 分支点等效移动规则 分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框 。 (2) 分支点后移 分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数 的方框。 G(S) 1/G(S) X1X2 X1 第49页/共61页 G(S) 1/G(S) X1 X2 X3 - G(S) X1 X2 X3 - x2 x

26、3 x1 G(s) G(s) G(s) x1x2 x3 (1) 相加点前移 2相加点等效移动规则 相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的 倒数方框 (2) 相加点后移 相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框 。 第50页/共61页 G1G2G3 G4 G5 G7 G6 - - - B A 并求其闭环传递函数。 试对其进行简化图所示设多环系统的方框图如例 , 1 (1) 前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变 ； (2) 各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变。 3.方框图的简化原则 第51页/共61页 处移至将分支点解BA: G1G2G3G4 G4G5 G7 G6 -

27、- - 点后移或者相加点后移另外亦可把 则得将系统的闭环传函 B GGGGGGGGGGG GGGG S 63254374321 1 4321 )( 第52页/共61页 x1 x4 x3 x2 ab c 1 节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用 “o”表示。 传输：两节点间的增益或传递函数称为传输。 支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段 支路的增益即为传输。 源点：只有输出支路而无输入支路的节点（与 系统的输入信号相对应）。 一.信号流图的常用术语 : 第53页/共61页 阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输 出节点，与输出信号相对应。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节

28、点。 通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径。 开通路：如通路与任意节点相交不多于一次，称为开通 路。 闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其 它节点相交次数不多于一次，则称为闭通 路或 回路。 回路增益：回路中各支路传输的乘积。 不接触回路：回路间没有任何共有节点，则称其为不接 触回路。 前向通路：从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多 于一次，称为前向通路，前向通路中各 支路传输的乘积，称为前向通路增益。 第54页/共61页 x1 x4 x3 x2 ab c 1 1以节点代表变量，源点代表输入量，阱点代表输 出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合 节点处，出支路的信号

29、等于各支路信号的叠加。 2以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号 只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经 过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表 示的环节。 3增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点 化为阱点。 4对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。 信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化 。 第55页/共61页 X1 X2 X3X4 a1 a2 a3 X1 X2 X4 a1a3 a2a4 a b X1 X2 X1X2 ab a 1 (1) 串联支路的总传输等于各支路传输之积; (2) 并联支路的总传输等于各支路传输之和; (3) 混合节点可以通过移动支路的方法消去; (4) 回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。 第56页/共61页 余子式。余子式。称为前向通道特征式的称为前向通道特征式的后的特征式后的特征式 路路条前向通道