奥数夏令营讲义之平面几何(11)调和点列、线束

1、卜一、调和点列、线束调和点列1. 设A、B、C、D四点共圆，射线 AD、BC相交于点E,对角线AC、BD交于点F, M 为CD的中点，平面上一点 N满足 A、M、B、N四点共圆，且 AM BN=BM AN.证明: E、F、N三点共线.（2018年全国高中数学联赛模拟题四川省成都七中肖志良）【答案】设EF与CD、AB、9MB的外接圆分别交于点 T、R、N （ N 在劣弧AB上） 如图，延长BA、CD,交于点S.V -V-l则S、T、D、C成调和点列.又M为CD 的中点，.ST SM=SD SC=SA SB. .点 T、M、A、B、N、N 共圆.AR AS由S、R、A、B成调和点列，. 4 = 7

2、.RB SB一 AS AS AT TB又 : =U_, / AHC SATsCMB , ASAMATMB.SB ST TB -BS.ANAT S atn, _ ar . . BN LBT Stbn， RBAN _ ANBN - BNAS AS AT TB _ SM AT MA AT MA _ AT AN SB - STLTB法一 MB-TB-MS - BT-MB - BT-N又./ANB = /ANB ,得，NABs，NAB ./ NAB =/ N AB. . . N 与 N 重合.即 N、E、F 三点共线.2.如图，在ABC中，ABAC , I是其内心，D是I在BC边上的垂足.过A作AH B

3、C , 与直线BI、CI分别交于点P、Q.设。是IPQ的外心，延长AO交BC边于点L.设点N是直线BC与 AIL的外接圆的第二个交点.证明：BD=BN. （2016年第15届中 CD CN国女子数学奥林匹克）证明：首先可以证明 AI是/IPQ外接圆在I处的切线，故/AIO =90，如图，设M是PQ的中点，易知OM，PQ ,故 / AMO =901 . A、I、O、M 四点共圆./IMO =/IAO=/INL.由于OM、LN都与AH垂直，OM / LN .又 / IMO =INL, IM、IN平行或重合.故它们重合，即I、M、N三点共线.考虑线束 旧、ID、IC、IN和截线PQ ,由于ID /

4、PQ ,且IN与PQ的交点M恰好是IB、IC与PQ的交点P、Q两点为端点的线段的中点，故IB、ID、IC、IN为调和线束，BD BNDCNC. B、D、C、N为调和点列，即=3. 对于平面上的凸四边形 ABCD ,设直线l交直线AB于X ,交直线CD于X ,交直线BC 于Y ,交直线DA于Y,交直线AC于Z ,交直线BD于Z .已知以上六点在l上按照X、 Y、Z、X、Y、Z 的顺序排列.证明：以XX、YY、ZZ为直径的三个圆共点.（2017 年中国国家集训队测试姚一隽）证明：我们利用调和四边形的各种性质 .记AB和CD交点为M ,记AD和BC交点为N , 记AC和BD交点为P .设直线NP交l

5、于点O , MP交l于点O, MN交l于点O”.记以 XX为直径的圆和以 YY为直径的圆的一个交点为 I . MA、MP、MD、MN是一个调和线束，O和O”调和分割线段 XX,这样IX 是/O1O”的（内角或外角）平分线，于是我们入 oi ox有=.o i ox同理OIOIOYOY两式相乘,得到OIOIOX OY OXLOY而分别对，XAY （相应地，YAZ、，ZAX）考虑截线 MN （相应地NP、PM ）由 梅涅劳斯定理，我们得到MX NA, OYMA NY OXMA PZ OXMX PA-OZ=1 ，呼-=1 ,当PAgn.NA PZ OY把二式相乘，得到 叱里=1OX OY OZ七 OI

6、 OZ从而有二OI OZ即得IZ是/O1O”的（内角或外角）平分线，同理，IZ是/O1O”的（外角或内角）平分线，即得/ZIZ是直角，从而I也在ZZ以为直径的圆上.4. 如图所示，在ABC, AB AC, /BAC所对的旁切圆 OJ在直线上 AB、BC、CA的 切点分别为 D、E、F . EZ是。J的直径.点B1、C1是直线上DF两点，使得BB, XY ,CCi XY ,直线ZB、ZCi分别与直线 BC交于点X、Y .设DF、EZ相交于XYZ的 垂心H , ZK，DF于点K.证明：X、H、K、Y四点共圆.（2017年中国国家集训队 测试熊斌）证明：我们先证明一个引理引理：如图所示，在 /XYZ

7、中，XZ YZ, ZE是高，H是垂心，ZM是中线.点L是 XE XL线段YX延长线上一点，使得 L、X、E、Y成调和点列，即 =，则有：（1）EY LYLH ZM （记垂足为K ）;（2） X、H、K、Y四点共圆.引理的证明：我们先证明 EM LEL=EX_EY设LX=l, XE=m, EY = n,由调和点列的定义：ln=m(l+m+n)于EM EL = MX -XE _EL =n_m l mln m n -l -m2m l m n)m n -l -m2=mn = EXLEY又不难得到，XEH和，ZEY相似，LEH和，ZEM相似，于 lhLlk =le_lm是 LH，ZM .exLey =e

8、h_ez结合和就得到em|_el=eh_Ez,这样，H、E、M、K四点共圆，下证 leLlm =lx_ly事实上LELM = le_ LX XM = l m H3m n m m n22=l l m n = LX l_LY于是LH LLK = LX _Ly ,这样X、H、K、Y四点共圆.证明：如图所示，设直线 XY、DF相交于点L ,连接EB1、EC1由正弦定理及旁切圆性出右 BB1 BB /BDB1质,有=BE BD /BB1DCC /CFC1 .同理，有 一1 =L,注意到 / BDB1 =/ CFC1 =一 冗-Z BAC ,CE /CC1F2/ BB1D =/ CC1F =n，BBi C

9、Ci我们得到一1 二一1BE CE 这说明EH是/ BEC1的一条内角平分线，而EL就是相应角的外角平分线， 故L、B、H、 C1成调和点列，这样 ZL、ZB1、ZH、ZC1就是一个调和线束，而它们与 BC直线的交 点L、X、E、Y也成调和点列.记XY的中点为M .由引理的结论（1）, H是，XYZ的垂心， LH XZM，这说明Z、K、M三点共线且 K是垂线LH的垂足，再由引理结论，X、 H、K、Y四点共圆.5. 已知4ABC中，AC =BC , M是AB的中点，FG经过点M ,且4CFG与4ABC有 相同的内心.2 求证：AM =FM GM .证明：设 4CFG与4ABC相同的内心为I ,设

10、4ABC的/ACB内的旁心为 J ,则C、M、I、J构成一组调和点列，.点J也是4CFG的NFCG内的旁心.取 IJ 的中点 D ,连 BD , FD , AD , GD , IA , AJ ,7ZIAJ =90 : ADI =DJ =DA ,同理，DI =DB =DF =DG ,即A、F、I、B、G、J六点共圆,_2.FM MG =AM MB =AM .6. 已知AM、AL分别为不等边 ABC的中线和内角平分线，H为4ABC的垂心，过B、C分别作 ABC外接圆L|O的切线，两切线相交于T ,直线AT与1O的另一个交点为AM的另一个交点为P.求证:,APH =90 .K , AAKL的外接圆与

11、直线KM ，LP , LK ,延长AH交BC于D则 ZTBK =/BAT ,又/BTK =ZBTA, /.ATBKATAB ,，TBTKTA TBBK TKAB- TABK22 1AB2_2TK CK2同理， =-,二BK AC =CK AB ,即ABKC是调和四边形,TA AC2二 /BAM =/CAK , /AMC =/KMC ,又AL为/BAC的平分线，二/MAL =/KAL ，二 A、P、L、K 四点共圆，PL=LK ,即 PL=LK , .MPLWMKL ,，PM =KM ，又 /CAM =/BAK =/MCK , /AMC =/CMK ,.MAC smck ，：MA MCMC MK

12、2二MC2 .AM2aMK =AM MP=, 42 a 一 二bccosA ,4.AM AP=AM2-AM MP=1(2c2 2b2-a2)4O7.如图，设O、I分别为 AB分别相切于点D、 点M、N分别为线段又 AH AD =2RcosA csin B =bccosA =AP AM ,J. P、M、D、H 四点共圆，二/APH =/ADM =900 ABC的外心和内心， 4ABC的内切圆与内切圆边 BC、CA、 E、F ,直线 FD与CA相交于点 P ,直线 DE与 AB相交于点 Q , PE、QF的中点.求证：OI 1MN .证明：，；AC切I于E , I与BC、AB的切点D、F ,直线D

13、F与CA延长线交于点P ,一 2-ME =MA MC.P、E调和分割AC 又M为PE中点，则有 同理，NF2 =NA NB .设R、r分别为 ABC的外接圆和内切圆半径，则 IM 2 =ME2 +r2 , in 2 = NF 2 +r2.由圆哥定理，有 OM2 =MA MC +R2 , ON2=NA NB + R2 .二 IM 2 IN 2 =OM 2 ON2 , 由定差哥线定理，得 OI _MN .8.在直线4ABC中，/B=90*,它的内切圆分别切边BC、 CA、AB 于点 D、E、F ,连结AD ,与内切圆相交于另一点 P ,过P作内切圆的切线与直线 BC交于点Q .连结PC、PF ,且 PC _L PF .求证：D为QC的中点.证明：连接DE , DF ,则4BDF为等腰直角三角形,贝U/FPD =/FDB =45o，P PC _L PF , ,ZDPC =45,又/PDC =/PFD ,八人上PD PF.PDCspfd,，有=.DC FD连接AQ ,连接PE ,延长EP交AQ于点G ,由 ZADF =AFP， /ADE =/AEP，/. ADF AFP , ADEAEP ,PF ap ap P