专题05 圆锥曲线与方程（同步练习）（文）（原卷版）附答案

1、专题05 圆锥曲线与方程（同步练习）考点一、判断曲线和方程的定义、求轨迹方程例1-1如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,那么以下正确的命题是( )。A、曲线上的点的坐标都满足方程B、坐标满足方程的点有些在上,有些不在上C、坐标满足方程的点都不在曲线上D、一定有不在曲线上的点,其坐标满足方程例1-2说明过点且平行于轴的直线和方程所代表的曲线之间的关系。例1-3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程所表示的直线之间的关系。例1-4已知两个定点、的距离为,动点满足条件,求点的轨迹方程。例1-5将曲线上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,所得曲线的方程是( )。A、B、C、D、例1-6设点是

2、圆上的任一点,定点的坐标为,若点满足。当点在圆上运动时,求点的轨迹方程。例1-7在中,、边上的中线长之和等于,求的重心的轨迹方程。考点二、椭圆的定义、方程及一般性质例2-1判断：(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 ( )(2)在椭圆定义中,将“大于”改为“等于”的常数,其它条件不变,点的轨迹为线段。 ( )(3)到两定点和的距离之和为的点的轨迹为椭圆。 ( )例2-2椭圆的焦点在 轴上,焦距为 ；椭圆的焦点在 轴上,焦点坐标为 。例2-3一动圆与已知圆：外切,与圆：内切,求此动圆圆心的轨迹方程。例2-4如图,为圆：上一动点,点的坐标为,线段的垂直平分线交直线于点,求点

3、的轨迹方程。例2-5求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为和,且椭圆经过点；(2)焦点在轴上,且经过两个点和；(3)经过点和点。例2-6在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点、在轴上,离心率为。过的直线交于、两点,且的周长为,求椭圆的标准方程。例2-7椭圆的焦点为、,点在椭圆上,若,则 ,的大小为 。例2-8已知、是椭圆：()的两个焦点,为椭圆上的一点,且。若的面积为,则( )。A、B、C、D、例2-9已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为( )。A、B、C、D、考点三、双曲线的定义、方程及一般性质例3-1已知点的坐标满足下列

4、条件,试判断下列各条件下点的轨迹是什么图形？(1)；(2)。例3-2已知双曲线,点、为其两个焦点,点为双曲线上一点,若,则的值为 。例3-3已知定点,以为一个焦点作过、的椭圆,求另一个焦点的轨迹方程。例3-4已知双曲线的焦点在轴上,并且双曲线过点和,求双曲线的标准方程。例3-5求与双曲线有大众焦点,且过点的双曲线方程。例3-6已知动圆与圆：外切,与圆：内切,求动圆圆心的轨迹方程。例3-7双曲线：(,)的离心率为,焦点到渐近线的距离为,则的焦距为( )。A、B、C、D、例3-8已知双曲线的方程是,点在双曲线上,且到其中一个焦点的距离为,点是的中点,求的大小(为坐标原点)。例3-9已知、两地相距,

5、在地听到炮弹爆炸声比在地晚,且声速为,求炮弹爆炸点的轨迹方程。考点四、求椭圆和双曲线离心率例4-1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率( )。A、B、C、D、例4-2若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则该椭圆的离心率( )。A、B、C、D、例4-3椭圆()的左焦点到过顶点,的直线的距离等于,则该椭圆的离心率( )。A、B、C、D、例4-4在中,如果一个椭圆通过、两点,它的一个焦点为点,另一个焦点在上,则这个椭圆的离心率( )。A、B、C、D、例4-5从一块短轴长为的椭圆形玻璃中划出一块面积最大的矩形,这个矩形的面积的取值范围是,则这一椭圆离心率的取

6、值范围是( )。A、B、C、D、例4-6设、分别为双曲线(,)的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,则双曲线的离心率为( )。A、B、C、D、例4-7已知双曲线(,)的左右焦点分别为、,点在双曲线上,且轴,若,则双曲线的离心率等于( )。A、B、C、D、例4-8已知双曲线()的左、右焦点分别为、,点在双曲线的左支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为( )。A、B、C、D、例4-9已知、为双曲线的左、右顶点,点在上。为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为( )。A、B、C、D、考点五、抛物线例5-1抛物线的焦点坐标为( )。A、B、C、D、例5-2若抛物线上一点到其准线的距离为,则抛物线的标准方程是

7、( )。A、B、C、D、例5-3斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求线段的长。例5-4正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线()上,求这个正三角形的边长。例5-5已知、是抛物线()上的两点,满足(为坐标原点)。求证：(1)、两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值；(2)直线经过一个定点。例5-6定长为的线段的两端点在抛物线上移动,设点为线段的中点,求点到轴的最小距离。例5-7已知抛物线(),点,为焦点,若抛物线上的动点到、的距离之和的最小值为,求抛物线方程。例5-8已知抛物线与直线相交于、两点。(1)求证：；(2)当的面积等于时,求的值。例5-9已知点直线：,为平

8、面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且。(1)求动点的轨迹方程；(2)、是轨迹上异于坐标原点的不同两点,轨迹在点、处的切线分别为、,且,、相交于点,求点的纵坐标。专题05 圆锥曲线与方程（同步练习）考点一、判断曲线和方程的定义、求轨迹方程例1-1如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,那么以下正确的命题是( )。A、曲线上的点的坐标都满足方程B、坐标满足方程的点有些在上,有些不在上C、坐标满足方程的点都不在曲线上D、一定有不在曲线上的点,其坐标满足方程【参考答案】D【解析】原命题是错误的,即坐标满足方程的点不一定都在曲线上,易知参考答案为D。例1-2说明过点且平行于轴的直线和方程所代表

9、的曲线之间的关系。【解析】过点且平行于轴的直线的方程为,因而在直线上的点的坐标都满足,所以直线上的点都在方程表示的曲线上,但是以这个方程的解为坐标的点不会都在直线上,因此方程不是直线的方程,直线只是方程所表示曲线的一部分。说明：本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性。例1-3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程所表示的直线之间的关系。【解析】方程所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等,但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程,例如点到两坐标轴的距离均为,但它不满足方程,因此不能说方程就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方

10、程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程所表示的轨迹。说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性。只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线。例1-4已知两个定点、的距离为,动点满足条件,求点的轨迹方程。【解析】以、所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,设,则,由,得,整理得。例1-5将曲线上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,所得曲线的方程是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】在所得曲线的方程上取点,则点在曲线,故选B。例1-6设点是圆上的任一点,定点的坐标为,若点满足

11、。当点在圆上运动时,求点的轨迹方程。【解析】设点的坐标为,点的坐标为,由得：,即、,点在圆上,即,即,这就是动点的轨迹方程。评析：本题中的点与点相关,我们得到、是关键,利用点在上的条件,进而便求得点的轨迹方程,此法称为代入法。例1-7在中,、边上的中线长之和等于,求的重心的轨迹方程。【解析】如图,以线段所在直线为轴、线段的中垂线为轴建系。设为的重心,是边上的中线,是边上的中线,由重心的性质知,于是,根据椭圆的定义知,点的轨迹是以、为焦点的椭圆,又,故所求的椭圆方程为()。评析：有一定长线段,两边上的中线长也均与定点、和的重心有关,因此需考虑以的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点不能在的所

12、在的直线上。在求点的轨迹时,要特点注意所求点轨迹的几何意义,在本题中,所求的椭圆方程为()。考点二、椭圆的定义、方程及一般性质例2-1判断：(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 ()(2)在椭圆定义中,将“大于”改为“等于”的常数,其它条件不变,点的轨迹为线段。 ()(3)到两定点和的距离之和为的点的轨迹为椭圆。 ()例2-2椭圆的焦点在 轴上,焦距为 ；椭圆的焦点在 轴上,焦点坐标为 。【参考答案】 和【解析】由可判断椭圆的焦点在轴上,由,可得,故其焦距为；由,可判断椭圆的焦点在轴上,由,焦点坐标为和。例2-3一动圆与已知圆：外切,与圆：内切,求此动圆圆心的轨迹方程。

13、【解析】两定圆圆心和半径为：,和：,设动圆圆心为,半径为,则,在以、为焦点的椭圆上,且,其轨迹方程为。注意：两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件。涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题,可直接用椭圆定义求解。例2-4如图,为圆：上一动点,点的坐标为,线段的垂直平分线交直线于点,求点的轨迹方程。【解析】连接,由三线合一得,且大于,即为、为焦点的椭圆,其轨迹方程为。总结：(1)求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法；(2)对定义法求轨迹方程的认识：如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这

14、种求轨迹方程的方法称为定义法；(3)代入法(相关点法)：若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线：上的动点存在着某种联系,可以把点的坐标用点的坐标表示出来,然后代入已知曲线的方程,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)。例2-5求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为和,且椭圆经过点；(2)焦点在轴上,且经过两个点和；(3)经过点和点。【解析】(1)由于椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为(),故所求椭圆的标准方程为；(2)由于椭圆的焦点在轴上,设它的标准方程为()。,故所求椭圆的标准方程为；(3)设椭圆方程为(,且),则得,所求椭圆的标准方程为。例2-

15、6在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点、在轴上,离心率为。过的直线交于、两点,且的周长为,求椭圆的标准方程。【解析】焦点在轴上时,设其方程为(),所求椭圆方程为。例2-7椭圆的焦点为、,点在椭圆上,若,则 ,的大小为 。【参考答案】 【解析】,又,又由余弦定理,得,。例2-8已知、是椭圆：()的两个焦点,为椭圆上的一点,且。若的面积为,则( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】依题意有,可得,即, ,则,故选B。例2-9已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为( )。A、 B、C、 D、【参考答案】D【解析】周长为,故选D。考点三、双

16、曲线的定义、方程及一般性质例3-1已知点的坐标满足下列条件,试判断下列各条件下点的轨迹是什么图形？(1)；(2)。【解析】(1),其表示点到两定点、的距离之差的绝对值,故点的轨迹是双曲线。(2)表示点到两定点、的距离之差,故点的轨迹是双曲线的右支。例3-2已知双曲线,点、为其两个焦点,点为双曲线上一点,若,则的值为 。【参考答案】【解析】,。例3-3已知定点,以为一个焦点作过、的椭圆,求另一个焦点的轨迹方程。【解析】由椭圆定义可知,又,则,的轨迹是双曲线的一支,其中,所求轨迹方程为()。例3-4已知双曲线的焦点在轴上,并且双曲线过点和,求双曲线的标准方程。【解析】设(),则,解得,方程为。例3

17、-5求与双曲线有大众焦点,且过点的双曲线方程。【解析】方法一：设双曲线方程为,由题意易求得,又双曲线过点,又,。故所求双曲线的方程为。方法二：设双曲线方程为(),将点代入得,故所求双曲线方程为。总结：常见双曲线设法：(1)已知的双曲线设为()；(2)已知过两点的双曲线可设为()；(3)已知离心率为e的双曲线方程可设为或；(4)已知渐近线的双曲线方程可设为()。特殊双曲线的标准方程的求法：(1)双曲线()共渐近线的双曲线方程为()。(2)双曲线()共焦点的圆锥曲线方程为(且)。例3-6已知动圆与圆：外切,与圆：内切,求动圆圆心的轨迹方程。【解析】设动圆的半径为,由于动圆与圆相外切,又动圆与圆相内

18、切,有,于是,且,动圆圆心的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,设方程为(,),有,即,又,于是动圆圆心的轨迹方程为()。例3-7双曲线：(,)的离心率为,焦点到渐近线的距离为,则的焦距为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,取,即,则,焦点到渐近线的距离为,即,解得,则焦距为,故选C。例3-8已知双曲线的方程是,点在双曲线上,且到其中一个焦点的距离为,点是的中点,求的大小(为坐标原点)。【解析】连接,是的中位线,或,或。例3-9已知、两地相距,在地听到炮弹爆炸声比在地晚,且声速为,求炮弹爆炸点的轨迹方程。【解析】如图,建立直角坐标系,使、两点在轴上,并且坐标原点与线段的中点重合,

19、设爆炸点的坐标为,则,即,又,且。炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为()。考点四、求椭圆和双曲线离心率例4-1若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】由题意知,又,即或(舍),故选B。例4-2若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则该椭圆的离心率( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,即,成等比数列,则有,那么利用,解得离心率,故选B。总结：求离心率的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下：(1)若已知、可直接代入求得；(2)若已知、,则使

20、用求解；(3)若已知、,则求,再利用(1)或(2)求解；(4)若已知、的关系,可转化为关于离心率的方程(不等式)求值(范围)。例4-3椭圆()的左焦点到过顶点,的直线的距离等于,则该椭圆的离心率( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】设直线的方程为,左焦点,则,又,代入化简得,得或(舍),故选B。注意：应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义。若本题题面改为“双曲线()”,则由“”这个隐含条件可知离心率的范围限制,即,从而。例4-4在中,如果一个椭圆通过、两点,它的一个焦点为点,另一个焦点在上,则这个椭圆的离心率( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】设另一个

21、焦点为,如图所示,则,设,则,故选D。例4-5从一块短轴长为的椭圆形玻璃中划出一块面积最大的矩形,这个矩形的面积的取值范围是,则这一椭圆离心率的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】设椭圆方程(),设矩形在第一象限的顶点坐标为,根据对称性知该矩形面积为,即划出的矩形最大面积为,即,即,故,故选D。例4-6设、分别为双曲线(,)的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,则双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】由于双曲线有对称性,则可设点在双曲线右支上,则,而,两式左右平方后相减得,得,该双曲线的离心率,故选B。例4-7已知双曲线(,)的左右焦点分别

22、为、,点在双曲线上,且轴,若,则双曲线的离心率等于( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,故双曲线的离心率为,故选C。例4-8已知双曲线()的左、右焦点分别为、,点在双曲线的左支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】作图,设,则有、且,解得,故选A。例4-9已知、为双曲线的左、右顶点,点在上。为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】设双曲线的方程为(,),为等腰三角形,且顶角为,过点向轴做垂线,交轴于点,则,在中,故,故点坐标为,代入双曲线方程得,整理得,故该双曲线的离心率为,故选A。考点五、抛物线例5-1抛物线的焦点坐标为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,焦点坐标,故选C。例5-2若抛物线上一点到其准线的距离为,则抛物线的标准方程是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】由题意知,则准线为,即,则,故选C。例5-3斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求线段的长。【解析】抛物线的焦点坐标为,直线方程为,设、,则由抛物线焦点弦长公式得：,又、是抛物线与直线的交点,由得,则,。例5-4正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线()上,求这个正三角形的边长。【解析】设正三角形的顶