数形结合思想在高中教学中的运用

1、 数形结合思想在高中教学中的运用 摘要：数学是一门研究现实世界的数量关系与空间形式的科学.数学的基本研究对象是数和形，数和形之间存在着对立辩证统一的关系。在数学发展历史长河中数形结合是一条贯穿始终的主线，并且在数学在实践中的运用更加广泛和深入。关键词：高中数学 数形结合在高中的数学教学中，教师向学生渗透数形结合思想的目的是更好地理解和掌握基础知识，提高分析问题、解决问题的能力，培养数学思维和数学素养。笔者将从函数、三角函数、解析几何、向量和统计概率五个方面，用范例解析来阐释“数”和“形”的关系，表现数形结合思想的优越性。1. 运用数形结合解决函数问题例1设函数 的图像关于直线 对称，若当 时

2、，求函数的解析式。【分析】 当 时 的图像是顶点为(0,1)的抛物线，则其关于直线 对称的图形也为抛物线。设解析式为 ，又过点(1,2)代入得 =1代数中有些问题只给一些间接条件，要求其解析式，若单纯地从代数角度来思考，很难找到解决问题思路，也很难将问题中条件与结论联系起来，此时根据数形结合思想，可由数向形思考，根据代数关系挖掘其月、何特性，再根据待定系数法就可以求出解析式。二、运用数形结合思想解决三角函数问题例3 已知，求证：【分析】将原式变形为 ，在单位圆中分别作出角 他们与单位圆的交点分别为 ， ， ，再分别作出角 的正弦、余弦线及 分别在 及 轴上的射影 ，如图所示， ， ， ， ，即

3、可得证。由此题可知，有些三角不等式的证明并不能直接通过三角公式的应用与转化来解决，这时如果巧用单位圆中的三角函数线及扇形弧长或面积等进行转化或适当放缩，则能在赋予含蓄、复杂的条件以几何意义的同时，达到简洁、直观证明问题的目的。三、运用数形结合思想解决向量问题在数学中向量是一个基本的重要数学概念。它既是代数的载体，又是几何的载体，因此，是数形结合的充分体现。在利用向量法解决几何问题时，可以体会到向量法的简洁性和准确性。例5证明:直角三角形斜边中线长等于斜边长的一半。证明：在直角三角形 中，点 是斜边 的中点，由向量的加法可知， ，有 ，即 ，从而得到 ，得证。4. 运用数形结合思想解决解析几何问

4、题华罗庚把解析几何称作“数学中数形结合的宠儿”它的产生，使数形结合思想方法具有了可操作性的工具。解析几何不仅为数学提供了新方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解，更重要的是为几何学发展注入了新的活力，增添了崭新的内容，把几何推到了一个新的阶段。例7 已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点 的坐标为（）【分析】因为在抛物线中， 点到焦点的距离等于 点到准线的距离，所以点 到抛物线焦点的距离与点 到点 的距离之和就转化为点 到抛物线的准线的距离与点 到点 的距离之和。解：点 在抛物线 的内部，要使点 到点 的距离与点 到抛物线焦点的距离只和取最小值，

5、根据抛物线的定义知，需使点 到点 的距离与点 到抛物线准线距离之和取得最小，如图所示，即 准线 时最小，则 ，故选a。4. 运用数形结合思想解决统计问题数形结合数学思想在统计中的应用也是很广的，以下内容是笔者通过从回归分析的内容出发，阐述数形结合思想的应用。回归分析研究的对象是具有相关关系的两个变量，是对其进行统计分析的常用的一种方法。相关关系是一种非确定关系，而函数关系是一种确定关系，这也是它们的区别所在。在高中数学中，我们只对具有线性相关关系的两个变量进行了统计分析和研究。例8研究女大学生身高和体重的关系，随机抽样了8个个体。画出散点图可以得到身高和体重之间确实具有一定的线性相关关系。但是

6、变量之间的关系性到底有多强，我们有没有研究的价值呢?这就是“形”的不足之处，而“数”的精确性就能弥补这一不足。统计学中引入了相关系数r，利用r的计算公式，可以得到r的值。当相关系数r的绝对值越大时，关系性越强，反之，关系性越差。回归分析第四步，利用残差衡量回归方程拟合好坏时，用到了残差图。残差图是把每组数据的残差反应到图形上，利用图形的直观，判断数据是否有错误以及回归方程拟合的精度的高低。画出其对应的残差图可以看出第1个和第6个样本点的残差是比较大的，因此，需要确定采集这两个数据时是否出现人为的错误。如果数据的采集确实有错误，那应该重新测量，及时更正，再求出回归方程并判断其拟合的精确度;如果数

7、据的采集没有错误，必须分析其他的影响因素。如果残差图上的点均匀地落在一个水平的带状区域内，说明回归方程比较好。这个带状区域越窄，说明回归方程拟合的精度越高。为了弥补图形的缺点，统计中引入了相关指数 ，它是从数据上反应回归方程拟合的程度。 越小，回归方程模型拟合的效果就越差; 越接近于1，说明回归方程模型拟合的越好。在研究身高和体重的回归方程时，利用上例中的数据，代入公式计算得到 ，表明女大学生的身高可以解释体重变化的 ， 或者身高对体重的贡献率是64%。在高中教学中，教师往往忽视对数形结合思想的渗透，其原因有两个方面，一是教材也没有给出严格的数学定义，学生只能根据教师零碎的讲解或自身的实践经验形成自身的感性认识。另一方面是在激烈的高考竞争使得很多教师疲于展示解题过程，忽视了思想方法的渗透。在实际的数学教学工作中，如何将“数形结合”思想方法潜移默化到学生的思想意识中，培养学生的思维能力，对我们数学教学研究者来说要做的事情还很多，要探索的道路还很曲折而漫长。参考文献1孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用d.辽宁师范大学，2012.2申玉丽.新课标下对高一学生数形结合思想理解的研究d.华东师范大学，2006.