《固体物理基础教学》第3章ppt课件

1、第第3 3章章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 3-1 一维单原子链模型一维单原子链模型 3-2 一维双原子链模型一维双原子链模型 3-3 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 3-4 晶体热容的量子实际晶体热容的量子实际 3-5 非谐作用产生的晶体热学性质非谐作用产生的晶体热学性质 u 掌握掌握 u 了解了解 3-1 3-1 一维单原子链模型一维单原子链模型 一维单原子链模型一维单原子链模型 格涉及其色散关系格涉及其色散关系 简约布里渊区简约布里渊区 长波极限下的格波长波极限下的格波 声子声子 3-1 3-1 一维单原子链模型一维单原子链模型 一一维单维单原子原

2、子链链：最：最简单简单的晶格模型的晶格模型 晶格具有周期性，晶格的振晶格具有周期性，晶格的振动动具有波的方式具有波的方式 格波格波 格波的研格波的研讨讨方法：方法： 计计算原子之算原子之间间的相互作用力的相互作用力 根据牛根据牛顿顿定律写出原子运定律写出原子运动动方程，并求解方程方程，并求解方程 一一维单维单原子原子链链模型：模型： 平衡平衡时时相相邻邻原子原子间间距距为为a 即原胞体即原胞体积为积为a 原子原子质质量量为为m 原子限制在沿原子限制在沿链链方向运方向运动动 原子原子n分开平衡位置位移分开平衡位置位移n 原子原子n和原子和原子n+1间间相相对对位移位移1nn 平衡位置平衡位置 非

3、平衡位置非平衡位置 3-1 3-1 原子作用力的处置：简谐近似原子作用力的处置：简谐近似 忽略高忽略高阶项阶项， ，简谐简谐近似思索原子近似思索原子 振振动动，相，相邻邻原子原子间间相互作用相互作用势势能能 相相邻邻原子原子间间作用力作用力 只思索相只思索相邻邻原子的作用，第原子的作用，第n个原个原 子遭到的作用力子遭到的作用力 第第n个原子的运个原子的运动动方程方程 2 2 2 1 ()() 2 a d v v a dr 2 2 ,()a dvd v f ddr 平衡位置平衡位置 非平衡位置非平衡位置 2 11 2 (2) n nnn d m dt 11 ()() nnnn 11 (2) n

4、nn V O ar 3-1 3-1 格波的物理意义格波的物理意义 上式的解原子振上式的解原子振动动位移具有平面波的方式位移具有平面波的方式 naq是第是第n个原子的振个原子的振动动位相因子位相因子 A是原子振是原子振动动振幅，振幅，为为常数常数 是格波的角是格波的角频频率，率，为为常数；常数；q是格波的波数是格波的波数 和和q满满足以下的色散关系足以下的色散关系 延延续续介介质质中的波如声波可表示中的波如声波可表示为为，那么可看出，那么可看出 格波和延格波和延续续介介质质波具有完全波具有完全类类似的方式似的方式 一个格波表示的是一切原子同一个格波表示的是一切原子同时时做做频频率率为为的振的振动

5、动 aq取取值值恣意加减恣意加减2的整数倍的整数倍对对一切原子的振一切原子的振动动没有影响，所没有影响，所 以可将波数以可将波数q取取值值限制限制为为 ()it naq n Ae 22 4 sin () 2 aq m (2) x it Ae q aa 3-1 3-1 简约布里渊区简约布里渊区 aq取值恣意加减2的整数倍对 一切原子的振动没有影响 红线：q=/2a 绿线：q=5/2a 将波数q取值限制为 即波数q取值在简约布里渊区 第一布里渊区中 第一章内容： 简约布里渊区内的全部波矢代 表了晶体中一切的形状，区外 的波矢都可经过平移倒格矢在 该区内找到等价形状点；讨论固 体性质时，可以只思索第

6、一布 里渊区。 q aa 3-1 3-1 边境条件边境条件 一一维单维单原子晶格看作无限原子晶格看作无限长长，一切原子是等价的，每个原子，一切原子是等价的，每个原子 的振的振动动方式都一方式都一样样 实实践的晶体践的晶体为为有限，构成的有限，构成的链链不是无不是无穷长穷长， ，链链两两头头的原子不的原子不 能用中能用中间间原子的运原子的运动动方程来描画方程来描画 但假但假设设用与其它原子不同的运用与其它原子不同的运动动方程描画两端的少数原子，方程描画两端的少数原子， 那么会那么会导导致相互致相互联联立的方程求解更加复立的方程求解更加复杂杂 采用玻恩卡曼周期性采用玻恩卡曼周期性边边境条件防止境条

7、件防止这这种情况种情况 含含义义：原子：原子链链首尾的振首尾的振动动情况必需复原情况必需复原 玻恩卡曼周期性玻恩卡曼周期性 边边境条件限制波数境条件限制波数 在在简约简约布里渊区内布里渊区内 取均匀分布的取均匀分布的N个个 分立分立值值 3-1 3-1 格波的色散关系格波的色散关系 取正取正值值，那么有，那么有 频频率是波数的偶函数率是波数的偶函数 色散关系曲色散关系曲线线具有周期性，具有周期性， 仅仅取取简约简约布里渊区的布里渊区的结结果即可果即可 由正弦函数的性由正弦函数的性质质可知，只需可知，只需满满足的格波才干在足的格波才干在 一一维单维单原子原子链链晶体中晶体中传传播，其它播，其它频

8、频率的格波将被率的格波将被剧剧烈衰减烈衰减 22 4 sin () 2 aq m 2sin() 2 aq m 02/ m a - a 0 2 a 2 a - q (q) 3-1 3-1 格波取值的长波极限格波取值的长波极限 长长波极限情况波极限情况 一一维单维单原子格波相当于波速原子格波相当于波速为为的延的延续续介介质质波波 相相邻邻两个原子之两个原子之间间的位相差的位相差 趋趋于于0，晶体内一切原子振，晶体内一切原子振动动 情况一情况一样样 (0,)qa sin(), 22 aqaq aq m /am 3-1 3-1 声子声子 晶格振晶格振动动 可可经过经过引入引入简简正坐正坐标进标进展量子

9、化展量子化处处置，其置，其结论结论可可 用用“ “声子描画声子描画 振振动动能量的本征能量的本征值为值为，其中，其中为为nq声子数声子数 声子含声子含义义：晶格振：晶格振动动格波的能量量子格波的能量量子 声子是一种元激声子是一种元激发发，可与，可与电电子或光子子或光子发发生作用生作用 声子具有能量、声子具有能量、动动量，看作是量，看作是“ “准粒子准粒子 晶格振晶格振动动的的问题转问题转化化为为声子系声子系统问题统问题的研的研讨讨 1 () 2 q nqq nh 20赫兹-20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波 声子 能量(eV) 1 100 10000 0.01 0.1 3-2 3-2

10、 一维双原子链模型一维双原子链模型 一维双原子链模型一维双原子链模型 声学波与光学波声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性长光学波的特性 3-2 3-2 一维双原子链模型一维双原子链模型 两种原子两种原子m和和M (M m) 构成一构成一维维复式格子复式格子 M原子位于原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 m原子位于原子位于2n, 2n+2, 2n+4 晶格常数、同种原子晶格常数、同种原子间间的的间间隔：隔：2a 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程 解也具有平面波解也具有平面波 的方式的方式 两种原子振两种原

11、子振动动的的 振幅振幅m取取A， ， M取取B普通来普通来说说 是不同的是不同的 2 21 21222 2 (2) n nnn d M dt 2 2 22121 2 (2) n nnn d m dt 3-2 3-2 声学波与光学波声学波与光学波 色散关系有不同的两种色散关系有不同的两种 即一即一维维复式晶格中存在两种复式晶格中存在两种 独立的格波：独立的格波： 声学波声学波频频率率较较低低 光学波光学波频频率率较较高高 命名主要根据两种格波在命名主要根据两种格波在长长 波极限波极限 ( q0 ) 的性的性质质 1 2 22 2 ()4 11sin () mMmM aq mMmM 1 2 22

12、2 ()4 11sin () mMmM aq mMmM 3-2 3-2 声学波的长波极限声学波的长波极限 频频率率 两种原子振幅比两种原子振幅比值值 两种原子的振幅和位两种原子的振幅和位 相相趋趋于一致，运于一致，运动动方方 式没有差式没有差别别 长长声学波代表原胞声学波代表原胞质质 心原胞整体振心原胞整体振动动 22 0,sin()qaqaq mMmM 1 B A 3-2 3-2 光学波的长波极限光学波的长波极限 频频率率 两种原子振幅比两种原子振幅比值值 同种原子振同种原子振动动位相一致，位相一致， 相相邻邻原子振原子振动动相反相反 长长光学波代表原胞光学波代表原胞质质心心 坚坚持不持不变

13、变的振的振动动，原胞，原胞 中不同原子做相中不同原子做相对对运运动动 0,2 mM q mM Bm AM 3-2 3-2 长光学波的特性长光学波的特性 长长声学波的声学波的频频率正比于波数，相当于把一率正比于波数，相当于把一维维原子原子链链看做延看做延 续续介介质时质时的的弹弹性波，性波，类类似于声波似于声波 长长光学波代表晶格的高光学波代表晶格的高频频振振动动， ，实实践晶体中在践晶体中在10131014Hz， ， 对应对应于于远红远红外光波外光波 电电磁波只与波数一磁波只与波数一样样的格波的格波 发发生相互作用生相互作用 长长声学波的声学波的频频率太低，无法率太低，无法 与与电电磁波作用磁

14、波作用 长长光学波可与光学波可与远红远红外光作用外光作用 离子晶体中光学波的共振能引离子晶体中光学波的共振能引 起起对远红对远红外光的外光的剧剧烈吸收，可烈吸收，可 运用于运用于红红外光外光谱谱学学 c0 c q 3-3 3-3 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 中子的非弹性散射中子的非弹性散射 可见光的非弹性散射可见光的非弹性散射 拉曼光谱拉曼光谱 X射线的非弹性散射射线的非弹性散射 3-3 3-3 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 晶格振晶格振动谱动谱可以利用中子、可可以利用中子、可见见光光子或光光子或X光光子受晶格的光光子受晶格的 非非弹弹性散射来性散射来

15、测测定。定。 中子或光子与晶格的相互作用即中子或光子与晶体中中子或光子与晶格的相互作用即中子或光子与晶体中 声子的相互作用。中子或光子受声子的非声子的相互作用。中子或光子受声子的非弹弹性散射表性散射表现现 为为中子吸收或中子吸收或发发射声子的射声子的过过程。程。 以下只以下只讨论单讨论单声子声子过过程。程。 3-3 3-3 中子的非弹性散射中子的非弹性散射 中子的非中子的非弹弹性散射是确定晶格振性散射是确定晶格振动谱动谱最有效的最有效的实验实验方法方法 中子中子经经晶格散射后，能量德布晶格散射后，能量德布罗罗意波意波频频率和率和动动量德布量德布罗罗 意波数意波数发发生生变变化，分化，分别满别满

16、足能量守恒和准足能量守恒和准动动量守恒量守恒 “ “+：吸收声子的散射：吸收声子的散射过过程；程；“ “-：发发射声子散射射声子散射过过程程 准准动动量守恒：晶格周期性的平移量守恒：晶格周期性的平移对对称性不如空称性不如空间间均匀性高，均匀性高， 所以所以发发生在晶格中的中子散射的生在晶格中的中子散射的变换规变换规那么不如那么不如动动量守恒量守恒 严厉严厉，允，允许许相差相差，其中，其中Gn为为某一倒格子矢量。某一倒格子矢量。 慢中子的能量：慢中子的能量：0.020.04 eV，与声子的能量同数量，与声子的能量同数量级级；中子；中子 的德布的德布罗罗意波意波长长： ：2310-10 m 23

17、，与晶格常数同数，与晶格常数同数 量量级级；可直接准确地；可直接准确地给给出晶格振出晶格振动谱动谱的信息的信息 局限性：不适用于原子核局限性：不适用于原子核对对中子有中子有强强俘俘获获才干的情况才干的情况 2121 EE qhhh n Gh 21n 21 ppkkqGhhhh 3-3 3-3 典型晶格振动谱典型晶格振动谱 Pb Cu 3-3 3-3 典型晶格振动谱典型晶格振动谱 Si GaAs 3-3 3-3 典型晶格振动谱典型晶格振动谱 金刚石金刚石 NaI 3-3 3-3 可见光的非弹性散射可见光的非弹性散射 发发射或吸收光学声子的散射称射或吸收光学声子的散射称为为拉曼散射拉曼散射 发发射

18、或吸收声学声子的散射称射或吸收声学声子的散射称为为布里渊散射布里渊散射 入射光和散射光遵照能量守恒和准入射光和散射光遵照能量守恒和准动动量守恒量守恒 拉曼散射：入射光感拉曼散射：入射光感应产应产生的偶极矩将生的偶极矩将 向空向空间辐间辐射射电电磁波，构成散射光；而偶磁波，构成散射光；而偶 极矩会被晶格振极矩会被晶格振动动所所调调制，从而制，从而导导致致频频 率改率改动动的非的非弹弹性散射性散射 C.V.Rman (1888-1970), 印度物理学家，印度物理学家， 因研因研讨讨光的散射并光的散射并发现发现拉曼效拉曼效应获应获得得 1930年年诺贝尔诺贝尔物理学物理学奖奖 21n 21 ppk

19、kqGhhhh 2121 EE qhhh 3-3 3-3 各种光散射景象的比较各种光散射景象的比较 Rayleigh散射：散射：弹弹性散射光的性散射光的频频率不率不发发生生变变化化 Raman散射：入射光与晶格振散射：入射光与晶格振动动的光学波相互作用，的光学波相互作用，导导致非致非 弹弹性散射光的性散射光的频频率改率改动动 Stokes散射：原子内部的无散射：原子内部的无辐辐射射跃跃迁迁导导致散射光致散射光频频率减小率减小 Anti-Stokes散射：原子内部的散射：原子内部的热热激激发导发导致散射光致散射光频频率添加率添加 Brillouin散射：晶格振散射：晶格振动动的声学波使晶体的折射

20、率的声学波使晶体的折射率n发发生周生周 期性期性变变化，从而使入射光化，从而使入射光发发生非生非弹弹性散射性散射 3-3 X3-3 X射线的非弹性散射射线的非弹性散射 X光光子的波光光子的波长约为长约为10-8 cm的数量的数量级级，其波矢与整个布里，其波矢与整个布里 渊区的范渊区的范围围相当，原那么上相当，原那么上说说，用，用X光的非光的非弹弹性散射可以研性散射可以研 讨讨整个晶格振整个晶格振动谱动谱。 。 缺陷：一个典型缺陷：一个典型X光光子的能量光光子的能量约为约为104 eV，一个典型声子，一个典型声子 的能量的能量约为约为10-2 eV。一个。一个X光光子吸收或光光子吸收或发发射一个

21、声子射一个声子 而而发发生非生非弹弹性散射性散射时时， ，X光光子能量的相光光子能量的相对变对变化化为为10-6，在，在 实验实验上要分辨上要分辨这这么小的能量改么小的能量改动动是非常困是非常困难难的。相比的。相比较较而而 言，可言，可见见光的能量光的能量约为约为1eV，采用拉曼散射能量的相，采用拉曼散射能量的相对变对变化化 为为10-2，有利于降低，有利于降低误误差。差。 3-4 3-4 晶体热容的量子实际晶体热容的量子实际 晶体热容的经典实际晶体热容的经典实际 晶体热容的量子实际晶体热容的量子实际 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 德拜模型德拜模型 3-4 3-4 晶体热容的经典实际晶体热容的经典

22、实际 固体定容固体定容热热容的定容的定义义，其中，其中为为固体的平均内能固体的平均内能 固体内能包括晶格振固体内能包括晶格振动动的能量和的能量和电电子子热热运运动动的能量的能量 温度不是太低的情况，温度不是太低的情况，电电子子对对比比热热的奉献很小，可忽略的奉献很小，可忽略 根据根据实验结实验结果，只思索晶格振果，只思索晶格振动对动对比比热热的奉献，有的奉献，有 经经典典实际实际杜隆杜隆珀替定律：珀替定律： 一个一个简谐简谐振振动动平均能量平均能量为为 kBT N个原子个原子总总的平均能量的平均能量为为 热热容容 高温高温时时与与实验实验很好符合很好符合 实验阐实验阐明在低温明在低温时时， ，

23、热热容量随温度迅速容量随温度迅速趋趋于零，无法解于零，无法解释释！ V V CET E 3 V CT B 3ENk T VB V 3CETNk 3-4 3-4 晶体热容的量子实际晶体热容的量子实际 单单个振个振动动模的振模的振动动能量量子化能量量子化 子系子系处处于量子于量子态态 nj 的概率的概率 单单个振个振动动模的平均能量模的平均能量 单单个振个振动动模的模的热热容容 jjj 1 () 2 Enh jBjB j j /nk Tnk T n n Pee hh j jB j j jjj/ 1 21 nk T n EP E e h h h / 2 j/ 2 () (1) jB jB k T j

24、 VBk T V B e CETk k Te h h h 3-4 3-4 晶体热容的量子实际晶体热容的量子实际 对对于高温极限情况，于高温极限情况， 与与经经典典实际实际符合符合 对对于低温极限情况，于低温极限情况， 与与实验结实验结果相符合果相符合 量子量子实际阐实际阐明，晶体明，晶体热热容与晶格振容与晶格振动频动频率和温度有关系率和温度有关系 Bj k T? h jB jB / j2 B/ 2 () (1) k T Vk T B e Ck k Te h h h Bj k T= h 2 / 1 ()0 jB j VBk T B Ck k Te h h 3-4 3-4 爱因斯坦模型爱因斯坦模型

25、 爱爱因斯坦模型的晶格振因斯坦模型的晶格振动动假假设设方案：方案： N个原子构成的晶体，各原子的振个原子构成的晶体，各原子的振动视动视作相互独立作相互独立 一切的原子以一一切的原子以一样样的的频频率率0振振动动忽略了各格波忽略了各格波频频率差率差别别 每个原子可沿三个方向振每个原子可沿三个方向振动动，共有，共有3N个个频频率率0的振的振动动 直接得到直接得到 可以反映出温度下降可以反映出温度下降时热时热容容变变 化的化的趋势趋势右右图图：金：金刚刚石石 局限：低温局限：低温时时随温度呈指数下降随温度呈指数下降 与三次方关系不符与三次方关系不符 0 0 / 2 0 /2 3() (1) B B

26、k T VB k T B e CNk k Te h h h 0 2 0 3() B k T VB B CNke k T h h 3-4 3-4 德拜模型德拜模型 德拜模型的晶格振德拜模型的晶格振动动假假设设方案：方案： 以延以延续续介介质质的的弹弹性波来代表格波，即性波来代表格波，即 q 格波包含有格波包含有1个个纵纵波和波和2个独立的横波个独立的横波 三种格波的波矢三种格波的波矢 q 在倒易空在倒易空间间均匀准延均匀准延续续分布分布 假假设设晶体中只存在小于某一晶体中只存在小于某一m的的长长波以保波以保证结证结果收果收敛敛 得到得到 定定义义德拜温度德拜温度，并令，并令 有有 B m B /

27、 22 /32 0 mB 9 () (1) k T V k T Re Cd k Te h h h DmB kh B k Th 4 / 3 2 0 9 () (1) D T V D Te CRd e 3-4 3-4 德拜模型德拜模型 高温极限下高温极限下 晶体晶体总总的的热热容容 低温极限下低温极限下 晶体晶体总总的的热热容容 均与均与实验结实验结果符合果符合 温度愈低温度愈低时时，德拜模型近似，德拜模型近似计计算算结结果愈好，由于温度很低果愈好，由于温度很低时时， ， 主要的只需主要的只需长长波格波的激波格波的激发发，而，而对对于于长长波，晶格可被看作是波，晶格可被看作是 延延续续介介质质， ，这这正是德拜模型的假正是德拜模型的假设设之一之一 局限：局限：实验阐实验阐明德拜温度随温度明德拜温度随温度变变化而改化而改动动， ，对对同一种同一种资资料料 并不是一个常数并不是一个常数 4 33 12 () 15 V D T CRT 1, BBD k TTkh=? h 3 V CR 1, BBD k TTkh?= h 3-5 3-5 非谐作用产生的晶体热学性质非谐作用产生的晶