高二数学矩阵的概念2

1、上海八中上海八中 许颖许颖 刘艳娥刘艳娥 用加减消元法解下列二元一次方程组：用加减消元法解下列二元一次方程组： . 83 , 52 yx yx 步骤步骤方程组方程组 1 . 83 , 52 yx yx 813 521 2 矩形数表矩形数表 77 52 y yx 770 521 3 . 1 , 52 y yx 110 521 4 . 1 , 3 y x 110 301 方程组方程组 的解的解 我们把上述矩形数表叫做我们把上述矩形数表叫做矩阵矩阵， 其中矩阵其中矩阵 叫做方程组的叫做方程组的系数矩阵系数矩阵， 13 21 它是它是2行行2列的矩阵，记做列的矩阵，记做A2 2; 矩阵矩阵 叫做方程组

2、的叫做方程组的增广矩阵增广矩阵， 813 521 它是它是2行行3列的矩阵，记做列的矩阵，记做A2 3 . 1. 矩阵矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的矩阵中的每个数叫做矩阵的元素元素。 2. 系数矩阵和增广矩阵系数矩阵和增广矩阵 1行行2列的矩阵列的矩阵(1,-2)，(3,1)叫做系数矩阵的叫做系数矩阵的 两个两个行向量行向量； 2行行1列的矩阵列的矩阵 叫做系数矩阵的叫做系数矩阵的 两个两个列向量列向量。 1 2 3 1 ， 3. 行向量与列向量行向量与列向量 我们把对角线元素为我们把对角线元素为1，其余元素为，其余元素为0 的方阵叫做的方阵叫做单位矩阵单位矩阵，如，如 。 10 01 当行数

3、与列数相等时，该矩阵称为当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵方矩阵， 简称简称方阵方阵。 13 21 如如 是是2阶方阵。阶方阵。 请大家阅读书本第请大家阅读书本第74页，了解矩阵的这些概念。页，了解矩阵的这些概念。 4. 方阵与单位矩阵方阵与单位矩阵 三元一次方程组三元一次方程组 15225 723 6 zyx zyx zyx 方程组的系数矩阵：方程组的系数矩阵： 是是3阶方阵，记为阶方阵，记为A3 3 方程组的增广矩阵：方程组的增广矩阵： 15225 7213 6111 5 3 1 2 1 1 2 2 1 记为记为A3 4 3阶单位矩阵阶单位矩阵: 100 010 001 一般地，由一般地

4、，由m n个数个数aij R(i=1,2,m，j=1,2,n) 排成的排成的m行行n列矩阵的形式：列矩阵的形式： mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 叫做叫做m n阶矩阵，记做阶矩阵，记做Amn， 其中其中aij(i=1,2,m，j=1,2,n) 叫做矩阵第叫做矩阵第i行第行第j列的元素。列的元素。 2 矩阵是一个数学符号。矩阵是一个数学符号。 1 矩阵是一个矩形数表。矩阵是一个矩形数表。 3. 常用记号常用记号Am n或或Amn来表示一个矩阵。来表示一个矩阵。 例例1：某公司销售部门一季度四名销售员的销售：某公司销售部门一季度四名销售员的销售 成绩如下表所

5、示：成绩如下表所示： 姓名姓名一月一月 份份 二月二月 份份 三月三月 份份 小李小李453770 小王小王504866 小张小张776088 小陈小陈282950 将四名销售员的业绩用矩阵来表示：将四名销售员的业绩用矩阵来表示： 502928 886077 664850 703745 其中行向量表示：其中行向量表示： 列向量表示：列向量表示： 某位销售员的销售业绩。某位销售员的销售业绩。 某个月的销售业绩。某个月的销售业绩。 1. 通过矩阵，可将涉及众多变量的通过矩阵，可将涉及众多变量的“大大”问题问题 组织起来并进行分析、研究。组织起来并进行分析、研究。 2. 矩阵是表示数量关系的一种有效

6、工具矩阵是表示数量关系的一种有效工具 。 例例2：已知某线性方程组的增广矩阵是：已知某线性方程组的增广矩阵是 ， 试写出其对应的线性方程组。试写出其对应的线性方程组。 30 2 1 1 1210 0172 解：满足条件的线性方程组为：解：满足条件的线性方程组为： 072zyx 12 zy 3 2 1 yx 用加减消元法解下列二元一次方程组：用加减消元法解下列二元一次方程组： . 83 , 52 yx yx 步骤步骤方程组方程组 1 . 83 , 52 yx yx 813 521 2 矩阵数表矩阵数表 77 52 y yx 770 521 3 . 1 , 52 y yx 110 521 4 .

7、1 , 3 y x 110 301 方程组方程组 的解的解 问题情境中矩形数表的变化特点是什么？问题情境中矩形数表的变化特点是什么？ 如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？ 1. 第第1步，把二元一次方程组的系数和常数步，把二元一次方程组的系数和常数 写成一个增广矩阵；写成一个增广矩阵； b a 10 01 . , by ax 第第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成 的形式，则方程组的解就是的形式，则方程组的解就是 （注意：方程要写成（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）的形式。） 2. 一般地，矩阵变换有三种：一般地，

8、矩阵变换有三种： (1) 互换两行互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上某一行乘以一个数加到另一行上 例例3：九章算术九章算术中有一个问题：今有牛五羊二中有一个问题：今有牛五羊二 直金十两，牛二羊五直金八两直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？问牛羊各直金几何？ 解：设每头牛值解：设每头牛值x两金，每只羊值两金，每只羊值y两金，则两金，则 852 1025 yx yx 此方程组的增广矩阵为：此方程组的增广矩阵为： 852 1025 矩阵变换如下，矩阵变换如下，（分别表示矩阵的第分别表示矩阵的第1、2行）行） 852 1025

9、(-5) 402510 1025 2加到上加到上 20210 1025 (-21)(-21) 21 20 10 1025 (-2-2)加到加到上上 21 20 10 21 170 05 5 21 20 10 21 34 01 金。金。金，每只羊值金，每只羊值答：每头牛值答：每头牛值 21 20 21 34 用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组：用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组： 解：解： yx yx 38 022 方程组变为方程组变为 83 22 yx yx 212 831 互换互换 矩阵矩阵 两行两行 1470 831 把一行把一行 的倍数的倍数 加到另加到另 一行上一行上 210 83

10、1 用非零数用非零数 乘某一行乘某一行 210 201 方程组的解为方程组的解为 2 2 y x 矩阵的有关概念矩阵的有关概念 4. 用矩阵求解方程组的方法：通过矩阵变换把用矩阵求解方程组的方法：通过矩阵变换把 增广矩阵中的系数矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵中的系数矩阵变为单位矩阵，此时 增广矩阵的最后一列即为方程组的解增广矩阵的最后一列即为方程组的解. 3. 矩阵有三种基本变换矩阵有三种基本变换. 2. 知道矩阵与线性方程组的关系知道矩阵与线性方程组的关系. 1.必做题：练习册：必做题：练习册：P45/1，3(1) P46/2(1) 2.思考题：在网上查阅数学符号的发展史，谈谈你思考题：在网

11、上查阅数学符号的发展史，谈谈你 对数学符号的认识。对数学符号的认识。 3.选做题：选做题：利用矩阵变换解三元一次方程组利用矩阵变换解三元一次方程组 15225 723 6 zyx zyx zyx Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 ； :/umo7/ 有魔气历史 mqx37jop 知道你们这些年是怎么过来的呢！当然啦，你们也不知道爹的情况！”耿兰听爹这样说话，那双好看的丹凤眼立马就瞪圆了，奇怪地 问：“怎么，爹和哥哥姐姐们后来这七年多的时间里不在一起哇？”耿老爹故作轻松地说：“当然啦，要不你哥哥姐姐们怎么会拉回 来这么一个寿喜呢！”不成想郭氏一听这话就哭出声来了。她吃力

12、地扭头看着丈夫结结巴巴地说：“他爹你，你说什么，你们爷 儿们，怎么，怎么会不在一起？这，这，这七年多之前，小直子才，才多大啊！还，还有这个，寿，寿什么，都，都是怎么” 耿正、耿英和耿直都强忍着眼泪。耿英对娘说：“娘，你看啊，俺们三个和爹现在不都好好的嘛！这就行了。而且啊，爹还给你带回 来这么好的一个老儿子呢！至于俺们以前都受了什么苦，那又有什么关系呢！再说啦，这人啊，要想活出个样子来，那里有不受苦的 道理呢！”看娘慢慢止住眼泪了，耿英看看哥哥和弟弟，他俩都微微点点头。耿英就对爹、娘和妹妹说：“那就让俺来说说俺们这边 哇！俺们先是去了景德镇，在那里，在那里俺们开了一个小饭铺，哥哥给起的名字是南北

13、小饭庄，做得还不错，赚了一些银子呢！ 三年多之后，俺们认识了稷山的一个姓李的老乡。后来这近四年，俺们三个是在杭州做丝绸生意来着。这个生意做得好极了，俺们赚 了不少银子。算算时间该回家了，俺们就在去年的腊月初九动身，一路赶回来了！巧的是爹和尚武也正好是那天回来了，俺们是在咱 们家南面的五道庙前会合的，这不就一起回来了！”郭氏又开始掉眼泪了，说：“英子啊，你就挑拣好听的说哇，你当娘是傻子啊， 你还没有和娘说，你们和你爹是怎么分开的啊！”耿兰也说：“你们托张伯伯带回来的书信中，不是说在汉口镇上开粮油零售店的吗？ 怎么你们三个又给跑景德镇去了啊？还有，爹呢？爹怎么没有和你们一起去哇？”耿英怔一怔，故意轻松地说：“啊，是了，俺怎么 忘了说之前的事儿了呢！那，俺还是再补上之前的发生的事情哇！”想一想，耿英又将汉口镇遭遇洪灾，父子们无奈过江，在武昌镇 白家暂住大致述说一番。说到半年之后，爹爹带着他们离开白家继续沿江南下时，耿英的言词表情明显不自然起来