理学拉普拉斯变换的应用及综合举例PPT学习教案

1、会计学1 理学拉普拉斯变换的应用及综合举例理学拉普拉斯变换的应用及综合举例 ,0)()0()0()( 22 sYysysYs .)( 22 s sY 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，有变换，有 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(tysY 解解 (1) 令令 )()( 1 sYty .sint 代入初值即得代入初值即得 ,0)()( 22 sYsYs P218 例例9.6 第1页/共25页 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(txsX 解解 (

2、1) 令令 , 1 6 )()(3)(3)( 23 s sXssXsXssXs . )1( ! 3 )( 4 s sX 求解此方程得求解此方程得 )()( 1 sXtx .e 3t t 第2页/共25页 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY , 1 1 )()(1)( s sYsXssX . 1 2 )(2)(31)( s sYsXssY , 1 1 )( s sX. 1 1 )( s sY 求求解得解得 整理得整理得 , 1 )()()1( s s sYsXs . 1 1 )()2(

3、)(3 s s sYssX P229 例例9.19 第3页/共25页 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY , 1 1 )( s sX. 1 1 )( s sY 求求解得解得 .)()(ettytx (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 第4页/共25页 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,)()(e 2s sYsssX . 2 )()(2e 3s s sYssX 求求解得解得 .0)( sY, 1 )(e s s sX , )1()( tu

4、tx.0)( ty (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 第5页/共25页 )1()1()()1()( tuttuttf , )1()1()()( tuttuttu 如图，如图， 解解 , 1 )( s tu 由于由于 , 1 )( 2 s tut 利用利用线性性质线性性质及及延迟性质延迟性质有有 . 111 )(e 22 s sss tf 1 1 )(tf t )()1(tut ) 1()1( tut )(tf 函数函数 可写为可写为 二、二、综合举例综合举例 P231 例例9.21 第6页/共25页 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有变换，并代入初值

5、有 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , 1 1 )(31)(41)( 2 s sXssXssXs )3()1( 66 )( 2 2 ss ss sX. )3(4 3 )1(2 1 )1(4 7 2 sss (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 . 4 3 2 1 4 7 )( 3 eee ttt ttx 第7页/共25页 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换有变换有 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , 1)1( )1(2 2)(2)( 2 2 s s sXssXsXs . 1)1( )1(2 )(

6、22 s s sX .sinett t )()( 1 sXtx e 22 1 )1( 2 s s t )( e 1 1 2 1 s t e 1 1 2 1 s t t 第8页/共25页 , 2 1 1 )()()()( 22 ss sYssXsXssYs . 1 )()(2)()(2 2 22 s sXssYsXssYs , )1( 2 )()()1( 2 ss s ssXsYs . )1( 1 )()1()(2 2 ss sXsssY 整理得整理得 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tys

7、Y 求解得求解得 . )1( 1 )( 2 ss sY, )1( 12 )( 22 ss s sX 第9页/共25页 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY . )1( 1 )( 2 ss sY 求解得求解得 , )1( 12 )( 22 ss s sX .1)(ee tt tty ,)(ettttx (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 , )1( 11 22 ss . )1( 1 1 11 2 sss 第10页/共25页 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )

8、()(tysY , 1 1 2)(2)( 2 1 2 3 )( 2 s ssYsXssXs . 2 )(2 2 1 )( 2 3 )( 3 2 s sYssYsssX , 2 )1(2 3 )( 2 ss sX , 2 31 )1(2 1 )( 3 sss sY 第11页/共25页 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY , 2 )1(2 3 )( 2 ss sX , 2 31 )1(2 1 )( 3 sss sY (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 . 2 3 2 1 2 1 )( 2 e tty t ,2 2 3 )(ettx t 第12页/共25页

9、 (2) 令令 , )()(tfsF . 6 )( 3 ta tatf (3) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 解解 (1) 由于由于 ,d)sin()(sin)( 0 t xxtxfttf 因此原方程为因此原方程为 .sin)()(ttftatf 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 sin)()(tsFtasF , 1 1 )( 22 s sF s a .)( 42 s a s a sF P232 例例9.24 ( (跳过跳过?)?) 第13页/共25页 , )()( 0 tFtxm .0)0()0( xx ,)( 0 2 FsXms . 1 )( 2 0 s

10、m F sX .)( 0 t m F tx 求求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为逆变换，得物体的运动方程为 根据根据 Newton 定律有定律有 解解 设物体的运动方程为设物体的运动方程为 , )(txx 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 , )()(txsX P230 例例 9.20 第14页/共25页 ,)()( s E ssILsIR )( )( sLRs E sI . 11 L R s sR E 求解此方程得求解此方程得 .1)()e( t L R R E ti 求求Laplace逆变换，得逆变换，得 设有如图所示的设有如图所示的 R 和和 L

11、串联电路，在串联电路，在 时刻接到直流时刻接到直流 0 t . )(ti 例例 K E L R 电势电势 E 上，求电流上，求电流 由由 Kirchhoff 定律知，定律知， )(ti 解解 满足方程满足方程 .0)0( i,)()(EtiLtiR 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 , )()(tisI P233 例例9.25 第15页/共25页 解解 (1) 由由 Newton 定律及定律及 Hooke 定律有定律有 . )()()(txktftxm 即物体运动的微分方程为即物体运动的微分方程为 , )()()(tftxktxm .0)0()0( xx 位置位置

12、处开始运动，处开始运动， 的外力为的外力为 。 例例 质量为质量为 m 的物体挂在弹簧系数为的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端的弹簧一端( (如图如图) ) )(tf 0 x . )(tx 若物体自静止平衡若物体自静止平衡 求该物体求该物体 的运动规律的运动规律 ，作用在物体上，作用在物体上 ( (跳过跳过?)?) 第16页/共25页 解解 (1) , )()()(tftxktxm .0)0()0( xx 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX (2) 令令 , )()(tfsF , )()()( 2 sFsXksXsm 记记

13、 , 2 0 m k , )( 1 )( 2 0 2 0 0 sF sm sX 有有 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 )(tf. )(tx 并利用卷积定理有并利用卷积定理有 ,sin 0 2 0 2 01 t s (3) 由由 .)(sin 1 )()( 0 0 1 tft m sXtx 第17页/共25页 解解 ,sin 0 2 0 2 01 t s 利用卷积定理有利用卷积定理有 .)(sin 1 )()( 0 0 1 tft m sXtx 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 )(tf. )(tx (3) 由由 此时此时 .

14、sin)( 0 0 t m A tx 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动， 振幅为振幅为 , 0 m A 角频率为角频率为 , 0 称称 为该系统的为该系统的自然频率自然频率或或固有频率固有频率。 0 设物体在设物体在 时受到冲击力时受到冲击力 , )()(tAtf 0 t 例如例如 A 为常数。为常数。 第18页/共25页 在数学软件在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行来进行 Laplace 变换与变换与 Laplace 逆变换。逆变换。 (1) F = laplace ( f )

15、对函数对函数 f ( t ) 进行进行 Laplace 变换，变换， 三、三、利用利用 Matlab 实现实现 Laplace 变换变换 * 对并返回结果对并返回结果 F ( s )。 (2) f = ilaplace ( F ) 对函数对函数 F ( s ) 进行进行 Laplace 逆变换，逆变换， 对并返回结果对并返回结果 f ( t )。 补补 ( (跳过跳过?)?) 第19页/共25页 解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = t*exp( 3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)； F=4/(s+3)2+4)2*(s+3) 输出输出 求函

16、数求函数 的的 Laplace 变换。变换。 例例 tttf t 2sin)( 3 e 即即 . 4)3( )3(4 )( 22 s s sF 第20页/共25页 解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = sin(t)/t; F = laplace(f); 其中，其中， atan 为为反正切函数。反正切函数。 F=atan(1/s) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。 例例 t t tf sin )( 即即 .arccot 1 arctan)(s s sF 第21页/共25页 解解 Matlab 程序程序 clear; syms s; F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3); f = ilaplace(F); 其中，其中， exp为为指数函数。指数函数。 f = 2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 逆变换。逆变换。 例例 )3( )52( 12 )( 2 2 sss ss sF 即即 .2sin2cos2)(eee3ttt