理学工程力学学习资料21动能定理PPT学习教案

1、会计学1 理学工程力学学习资料理学工程力学学习资料21动能定理动能定理 F t v m d d rFr dd d d t v m 21-3 动能定理动能定理 一质点的动能定理：一质点的动能定理： d = d v mvdt t 左边 =mdv v 2 11 () 22 dv vd v vdv Fam Wmv 2 1 2 )d( 22 11 22 mdvdmv 第1页/共38页 l质点在运动的过程中，其动能改变量等于质点在运动的过程中，其动能改变量等于 作用在质点上的力在此过程中所作的功。作用在质点上的力在此过程中所作的功。 12 2 1 2 2 2 1 2 1 Wmvmv 积分形式积分形式 21

2、-3 动能定理动能定理 质点动能的增量等于作用在质点动能的增量等于作用在 质点上力的元功质点上力的元功 Wmv 2 1 2 )d( 微分形式微分形式 第2页/共38页 iii Wvm 2 1 2 )(d 二质点系的动能定理二质点系的动能定理 iii Wvm 2 1 2 )d( iii Wvm 2 1 d 2 设质点系由设质点系由n个质点组成，第个质点组成，第i个质点的质量为个质点的质量为mi， 速度为速度为vi ，根据质点的动能定理的微分形式，有，根据质点的动能定理的微分形式，有 dT i W 21-3 动能定理动能定理 第3页/共38页 质点系在某一段运动过程中，其质点系在某一段运动过程中，

3、其 动能改变量等于作用在质系上的所动能改变量等于作用在质系上的所 有力在运动过程中所作功的和有力在运动过程中所作功的和 i WTT 12 积分形式积分形式 i WdT 质点系动能的增量等于作用在质点系动能的增量等于作用在 质点系上所有力的元功之和质点系上所有力的元功之和 微分形式微分形式 21-3 动能定理动能定理 第4页/共38页 三三. 理想约束及内力作功理想约束及内力作功 （2）可动铰支座、固定铰支座可动铰支座、固定铰支座 )d(0drFrFW NN （1）光滑固定面约束光滑固定面约束 1 1、理想约束：、理想约束： FN AxF AyF NF 其约束力作元功为零的约束。其约束力作元功为

4、零的约束。 21-3 动能定理动能定理 第5页/共38页 （3 ) 中间铰链中间铰链 （4 ) 柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索） rFrFWAA dd 0ddrFrFAA FT AF AF rd 0rdFWT 21-3 动能定理动能定理 第6页/共38页 FN FS （5 ) 纯滚动纯滚动 纯滚动的接触点为理想约束纯滚动的接触点为理想约束 rd 0drFW N drFW s dtvF Ps 0 P 21-3 动能定理动能定理 第7页/共38页 O x y zA B rA rB drBA F F 一般情况下，内力作功之和不为零。一般情况下，内力作功之和不为零。 2、 内力做功

5、内力做功 FF BA rdFrdFW BA rdFrdF BABA rdFrdrdF)( 刚体：刚体： ，内力作功之和为零。，内力作功之和为零。 0 BA rd 21-3 动能定理动能定理 第8页/共38页 例题：例题：均质圆盘均质圆盘A A：m m，r r, ,滑块滑块B B：m m；杆；杆ABAB： 质量不质量不计，平行于斜面。斜面倾角计，平行于斜面。斜面倾角 ，摩擦，摩擦 系数系数f f，圆盘，圆盘A A作纯滚动，系统初始静止。求：作纯滚动，系统初始静止。求： 当圆盘当圆盘A A沿斜面下滑距离沿斜面下滑距离S S时，滑块时，滑块B B的加速的加速 度。度。 第9页/共38页 解：选系统为

6、研究对象解：选系统为研究对象 运动学关系：运动学关系： BA vv 2 2 2 22 2 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 B B B mv r v mrmvT 圆盘圆盘A作平面运动作平面运动 滑块滑块B作平移作平移 初始时刻： 22 2 2 1 2 1 AA JmvT 2 2 1 B mv r vA 圆盘圆盘A作纯滚动作纯滚动 r vB 2 4 5 B mv 0 1 T 时：下滑距离S NAF NBF A F B F 第10页/共38页 Smgsin gfaB)cos 5 2 sin 5 4 ( )cossin2(fmgs 由动能定理由动能定理： )cossin2(0 4 5 2 fm

7、gSmvB 对对求导，得求导，得 WTT 12 dt ds fmg dt dv vm B B )cossin2(2 4 5 B B a dt dv BA vv dt ds NAF NBF Smgsin W Sfmgcos 第11页/共38页 例题例题: :均质圆柱质量为均质圆柱质量为m, ,半径为半径为r，绳，绳 绕在圆柱体上，固定于绕在圆柱体上，固定于A A点，若圆柱体点，若圆柱体 与斜面的摩擦系数与斜面的摩擦系数 , ,求质心求质心C C 沿斜面沿斜面 下落的加速度。下落的加速度。 C A B f 第12页/共38页 S C A B 解：选圆柱体为研究对象解：选圆柱体为研究对象 mg NF

8、 SF TF 圆柱体作平面运动圆柱体作平面运动 初始时刻： 0 1 T 时：下滑距离S 22 2 2 1 2 1 cc JmvT 2 22 2 1 2 1 2 1 r v mrmvT c c D为圆柱体的速度瞬心为圆柱体的速度瞬心 D r vc 2 4 3 c mv 第13页/共38页 S C A B mg NF SF TF D WSmgsin rdFWs f f W Sfmgcos2 )cos2(sinfmgSW WTT 12 动能定理： 2 3 (sin2cos ) 4 c mvmgSf 将上式两端对时间求一阶导数得到：将上式两端对时间求一阶导数得到： dt ds fmg dt dv vm

9、 c c )cos2(sin2 4 3 cc c v dt ds a dt dv , cos2sin 3 2 f g ac c a rd (cos ) () B fmgv dt dtvfmg c 2cos 第14页/共38页 例题例题: :长同为长同为 l 的两根均质杆用铰链的两根均质杆用铰链B B 相连，相连，C C端沿光滑铅直墙壁下滑，当端沿光滑铅直墙壁下滑，当ABAB 由水平位置到达铅直位置时，由水平位置到达铅直位置时，BCBC到达到达 水平位置，求该瞬时水平位置，求该瞬时C C点的速度，系统点的速度，系统 初始静止。初始静止。 B C B A C 第15页/共38页 B C B A C

10、 2 12 2 1 B JT vB vC BC杆速度瞬心为杆速度瞬心为B点，即点，即 0 B v 则则AB杆瞬时静止，杆瞬时静止， 0 解解：取整个系统为研究对象取整个系统为研究对象 0 1 T初始时刻： 22 21 11 22 AP BC TJJ 到达水平时： AB杆作定轴转动杆作定轴转动 BC作平面运动作平面运动 2 2 2 6 1 ) 3 1 ( 2 1 c c mv l v ml mg mg AxF AyF NcF NBF 第16页/共38页 B C B A C vB vC W mglmvc20 6 1 2 glvc32 WTT 12 由由 得得 AxF AyF mg mg2 l mg

11、 NcF NBF 2 3l mg mgl 2 第17页/共38页 例：例： 在对称连杆的在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常点，作用一铅垂方向的常 力力F，开始时系统静止，如图。求连杆，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动运动 到水平位置时的角速度。设连杆长均为到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量，质量 均为均为m，均质圆盘质量为，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。，且作纯滚动。 O a A F B vB 第18页/共38页 解：以系统为研究对象解：以系统为研究对象,受力如图受力如图 0 1 T初始时刻： O a A F B OA杆定轴转动，杆定轴转动，AB、圆盘、圆盘B平面运动平面运动

12、oxF oyF mgmg NF SF 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 222 02 BBB AB Jvm JmvJT 运动学关系运动学关系： 点杆的速度瞬心为BAB 0 B v 0 B l l l vA AB lv 2 1 22 3 1 ml gm1 OA运动到水平位置时：运动到水平位置时： vB vA O A B 第19页/共38页 在运动过程中所有的力所作的功为在运动过程中所有的力所作的功为 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 22 1 () sin 3 mlmgF la 解得解得 3()sinmgF lm a 1212 WT

13、T 由由 得得 vB oyF mgmg NF SF O a A F B 12 2 (1 2) WmhMhf mgh Mfm hg 12 2(sin )sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a oxF mg 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 第20页/共38页 作业：作业：2111，15，16 第21页/共38页 质点系动量定理的投影形式质点系动量定理的投影形式 (e)(e)(e) d dd ddd y xz p pp XYZ ttt )(e F dt Pd 质点系动量定理质点系动量定理 (e) C m aF 质心运动定理质心

14、运动定理 动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用 第22页/共38页 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 定轴转动微分方程定轴转动微分方程 )( d d )(e iO O FM t L )( d d )(e ix x FM t L )( d d )(e iz z FM t L )( d d )(e iy y FM t L )(FMJ zz a ( ) , () e CCC maFJmF 刚体的平面运动刚体的平面运动 微分方程微分方程 )(FMJ cC a 质点系动量矩定理投影式质点系动量矩定理投影式 第23页/共38页 质点系的动能定理：质点系的动能定理： 微分形式微分形式 i WdT i

15、 WTT 12 积分形式积分形式 第24页/共38页 动量定理和动量矩定理是矢量动量定理和动量矩定理是矢量 形式形式，因质点系的内力不能改变，因质点系的内力不能改变 系统的动量和动量矩，应用时只系统的动量和动量矩，应用时只 需考虑质点系所受的外力；需考虑质点系所受的外力；动能动能 定理是标量形式定理是标量形式，在很多问题中，在很多问题中 约束力不作功，因而应用它分析约束力不作功，因而应用它分析 系统速度变化是比较方便的。系统速度变化是比较方便的。 第25页/共38页 下面就只用一个定理就能求解的题目，如下面就只用一个定理就能求解的题目，如 何选择定理，说明如下：何选择定理，说明如下： (1 1

16、 )与路程有关的问题用动能定理，与路程有关的问题用动能定理，与时与时 间有关的问题用动量定理或动量矩定理。间有关的问题用动量定理或动量矩定理。 (2 2 )已知主动力求质点系的运动用动能定已知主动力求质点系的运动用动能定 理，理，已知质点系的运动求约束力用动量定理或已知质点系的运动求约束力用动量定理或 质心运动定理或动量矩定理。质心运动定理或动量矩定理。 第26页/共38页 (3) 如果问题是要求加速度或角加速如果问题是要求加速度或角加速 度，度，可用动能定理求出速度可用动能定理求出速度(或角速或角速 度度) ，然后再对时间求导，求出加速，然后再对时间求导，求出加速 度度(或角加速度或角加速度

17、) 。也可用动量定理或。也可用动量定理或 动量矩定理求解。动量矩定理求解。在用动能定理，不在用动能定理，不 作功的未知力在方程中不出现，给问作功的未知力在方程中不出现，给问 题的求解带来很大的方便。题的求解带来很大的方便。 (4)(4) 对于定轴转动问题，可用定轴转动对于定轴转动问题，可用定轴转动 的微分方程求解。的微分方程求解。对于刚体的平面运对于刚体的平面运 动问题，可用平面运动微分方程求解动问题，可用平面运动微分方程求解 。 第27页/共38页 例题例题: 如图均质杆质量为如图均质杆质量为m，长为，长为l，可绕，可绕 距端点距端点l/3的转轴的转轴O转动，求杆由水平位置转动，求杆由水平位

18、置 静止开始转动到任一位置时的角速度、角静止开始转动到任一位置时的角速度、角 加速度以及加速度以及O处处的约束力。的约束力。 j C O mg 第28页/共38页 1 :0T 初始时刻 转动到任一位置时的动能为转动到任一位置时的动能为 22222 2 18 1 ) 32 ( 12 1 2 1 2 1 ml ll mmlJT O 在此过程中所有的力所作的功为在此过程中所有的力所作的功为 jsin 6 1 mglmghW 解法解法1：用动能定理求运动：用动能定理求运动 FOy FOx 以杆为研究对象。以杆为研究对象。 作定轴转动作定轴转动 j C O mg 第29页/共38页 22 11 0sin

19、 186 mlmglj 2 3 sin g l j 将前式两边对时间求导，得将前式两边对时间求导，得 d3d 2cos dd g tlt j j 3 cos 2 g l aj 3 sin g l j j C O mg j a dt d dt d , WTT 12 由 得 第30页/共38页 解法解法2：用微分方程求运动：用微分方程求运动 C O() OO JMa F mg 由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程 00 3 dcosd 2 g l j j j 即即 j j 00 2 sin 2 3 2 1 l g 所以所以jsin 3 l g 2 1 cos 96 l mlmgaj3 cos 2

20、g l aj 即即 dddd ddddtt j a jj d3 cos d2 g l j j 所所 以以 FOy FOx a dddd ddddtt j a jj 第31页/共38页 由质心运动定理由质心运动定理 , CxCy maXmaY 求约束力求约束力 j C O a aCx aCy at C an C C O mg FOy FOx tn 3 sincossincos 4 CxCC g aaajjjj a 6 l acjjcos 4 cos 2 3 6 g l gl 6 2 l a n c j j sin 26 cos3gl l g )sin31 ( 4 2 j g x y tn 3 s

21、incossincos 4 CxCC g aaajjjj jj sincos n cccy aaa 第32页/共38页 C O mg x y aCx aCy FOy FOx 3 sincos 4 Ox mg Fjj 得：得： 解得：解得： 3 sin2 8 Ox mg Fj , CxCy maXmaY mgF mg oy )sin31 ( 4 2 j )sin1 ( 4 3 2 j mg Foy )sin31 ( 4 2 j g acyjjcossin 4 3g acx 第33页/共38页 例例 均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m，静止直，静止直 立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而 倒下时，求杆刚刚到达地面时质心倒下时，求杆刚刚到达地面时质心C的的 速度和杆的角速度以及地面约束力。速度和杆的角速度以及地面约束