高考专题：函数综合问题PPT

1、专题一 函数、导数与不等式 2 1() 1100 21 1 2,2 f xaxbxab fxf x f x xg xxf xkx k R设函数， 若，且对任意实数 均有成立，求 的表达式； 在的条件下，当时， 是单调递增函数，求实数 的取 例 值范围 考点考点1 函数内容本身的相互综函数内容本身的相互综 合合 100 2,202,2 1 2 ab ff xg x gxx 确定 ， 需要两个独立条件，关键用好 和恒成立这两个条件 切 在 上单调递增，可转化为对 恒成立进 入点： 行求解 2 2 2 101. 0 0 (0) 40 01 . 14 21 02 . 1fba f x a a ba a

2、a aab f xxx ，所以 又由恒成立可知 时不能成立 ， 所以， 因为 所 所 解 以 以 析 2 32 2 21 21 34102,2 2 3 12 11641 01. 12 1 ( 3 3 2 3 g xxf xkxx xxkx xxk x gxxxk xgx k kk k 因为 ， 所以在上恒成立 因为当时，取得取小值， 所以，所以， ， 即 故实数 的取值范围是 2 min (0)0 0 0 1 2 0 0 0 f xaxbxc af xx a f x f xDfxxD f xDfxxD R 恒成立问题可以转化为最值问题对于二次 函数，对恒成立 ，,与是等价的 在 上单调递增对恒

3、成 立；在 上单调 递对 减恒成立 2 2 2 0 . 2 1 0 1 2 xxx f x xxx f x kg xf xkx g x R 已知函数 试判断函数的奇偶性； 设，若，试讨论函 数的 变式 单调性 2 2 2 2 2 2 00 22 . 2 00 22 . 2 000 1 00 xxx fxxxxx f xxxfxf x xx fxxxxx f xxxfxf x xfff x fxf xf x R R 因为，当时， 所以 而，所以 当时， 所以 而，所以 当时，所以 综上所述，对于任意， 都有故为 解析 奇函数 2 02 2 . 2 2 02(0) 2 2 02(0) 2 22 (

4、0) 22 xg xxk xg x k x k kg x k kx kk g x 当时，则的图象 的对称轴是直线 当，即时，在 ，上递增； 当，即时，因为， (2) 所以在 ，上递减，在，上递增； 2 22 ( 02 2 . 2 2 02(0 0) 22 2 2 02(0 2 xg xxk x k kk g g xx k kg x k k x x 当时， 则图象的对称轴是直线 当，即时，在，上递增； 当，即时，因为， 在，上递增；在，所以上递减 22 2 1ln 1. 1 1 21e 1 e 30,2 2 f xxx f x xf xm m xf xxxa a 设函数 求函数的单调区间； 若当

5、，不等式恒成立，求实 数 的取值范围； 若关于 的方程在区间上恰好有 两个相异的实根，求实数 的取 例 值范围 考点考点2 函数与其他知识的综合函数与其他知识的综合 本题是一道函数与不等式、方程的综合 题，利用导数工具转化为求函数的最大值、最小 值问 切入点： 题即可 22 2 1ln 1 2 2 1. 1 21 2 12 10 11 2 0210 1 ( 21)(0) 1 f xxx fxx x fxxx xx xx xx x f x 因为， 所以 令 或， 所以的单 解析 调增区间为，和 ， 2 21 2 12 10 11 2 010 1,0(2) 2 1 fxxx xx xx xx x

6、f x 令 或， 所以的单调为和，减区间 2 2 2 2 2 01102() 1 11 (1)201e1e2 ee 1 1e1 e2 . 2 e2. e fxxxx f x fff xf x f xmm 令或舍 ， 由知，连续 因为， 所以，当，时，的最大值为 因此可得恒成立时， 2 2 1ln 1 0,2 1ln 1 2 1. 1 01. 3 0,10 0,1 axx g xxx gx x gxx xgx g x 原题可转化为：方程在 区间上恰好有两个相异的实根 令， 则 令，解得 当时， 所以在上单调递减； 1,20 1,2 02 0112ln423ln9 2ln43ln91 12ln4

7、2ln4, . 0, 3 2 ln9 xgx g x g xxx ggg g xg x a 当时， 所以在上单调递增 因为在和点处连续， 又因为， 且， 所以的最大值是 ，的最小值是 所以在区间上原方程恰有两个相异的实根 时实数 的取值范围是 1不等式f(x)f(x)max是常用的方法； 2方程有实根问题常常转化为两个函 数图象交点问题，进而转化为平行于y轴的 直线与曲线交点问题，这时只需考察相应曲 线对应的函数的最值了 3 0,1 1 1,1 2 1173 A. B. C. D. 8484 abf x xaxb 在区间上任意取实数 ， ，则函数 在区间上有且仅有一个零点的概 率为 变式2 2

8、 3 0 2 1,1 1 10 2 101 2 111 1 222 . 1 1 7 8 fxxa f x f x ab f f ab P R ， 所以在 上为增函数 若在上有且仅有一个零点， 则，即， 对应区域如下图阴影部分所示 故所求事件的率 为 概 因解析 12 km 12 km55. 1km 2293 km 3 axy axy 大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测 的结果上升到为止温度的降低大体上与升高的距 离成正比，在以上温度一定，保持在 当地球表面大气的温度是 时，在的上空为 ， 求 、 、 间的函数关系式 例 ； 问当地表的温度是时，上空的温度是多少？ 考点考点3 函数与实际

9、问题综合函数与实际问题综合 用待定系数法确定温度随高度变化的 函 切入点： 数关系 (0120) . 1255 55 5512. 12 01255(012) 12 1255 (55)(012) 12 55 1 (12) . x aax y yakxxk yakx xy a akk x xyaax xy x 由题设得， 即 依题意，当时， 所以，所以 所以，当时， 又当时， 所以所求的函数 解析 关系式为 293 3 2955298 12 3 km. (55)(012) 12 55(12) 3 km8 8 . 2ax y y x aax x 当，时， ， 即上空的温度为 所求的函数关系式为 ，

10、在上空的 ： 温度为 答 1在求解本题时，要抓住“上升到12 km 为止温度的降低大体上与升高的距离成正比” 这句关键性的话，它表达了两层意思：一是温 度的降低与升高的距离成正比；二是“温度的 降低与升高的距离成正比”的前提是“上升到 12 km为止”，故函数的定义域为x0,12 2解应用题应注意格式规范，包括单位、 作答等 3020 (2010) 30/ / O OA v t 某港口 要将一件重要物品用小艇 送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位 于港口 北偏西且与该港口相距海里的 处，并正 以海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设 该小艇沿直线方向以 海里 小时的航行速度匀速行驶

11、， 经过 小时与 变式3福建卷 轮船相遇 1 230(30) 3/vv v 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？ 为保证小艇在分钟内 含分钟 能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值； 是否存在 ，使得小艇以 海里 小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确 定 的取值范围；若不存在，请说明理由 2 22 min 9004002 3020 cos 9030 1 900600400900300. 3 1 3 10 3() 3 10 0 3 3 30 3() 1 / 3 / 1 1 s stt ttt ts v 设相遇时小艇的航行距离为 海

12、里，则 故当时，海里 ， 海里 小时 即小艇以海里 小时的速度航行，相遇时 小艇的航 解析 行距 方 法 ： 离最小 2 C 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船 沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北 方向 设小艇与轮 方法 船在 ： 处相遇 Rt20cos3010 3 1030 101 () 303 10 3 30 3(/) 1 3 3/0 3 OACOC ACtOCvt t v 在中， ， 此时，轮船航行时间小时 ， 海里 小时 即小艇以海里 小时的速度航行，相遇时小艇 的航行距离最小 2 22 22 2 ( )2030220 30cos(9030 ) 40060013 900400()

13、675. 4 11 02 2 1 210 13. 10 13 2 / B vttt v ttt t t v t 设小艇与轮船在 处相遇 由题意可得， 化简得 由于，即， 所以，当时， 取得最小值 即小艇航行速度的最小值为海里 小时 2 2 22 22 2 400600 2900. 1 0 4006009000. * * 6001600 9000 15 1330 (15 133 . 0) 9000 3v tt u u t uuv v v v v 由知 设， 于是 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇， 等价于方程应有两个不等正根， 即，解得 的取值范围，是 1函数的综合问题是历年高考的热点和重点 内容之一，一般难度较大，考查内容灵活多样，求 解时，往往需要应用多种知识和技能，需要综合运 用函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化与化 归的思想以及数形结合思想 2.函数的综合应用主要体现在三个方面： (1)函数内容