时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真之欧阳文创编

1、欧阳文创编时域有限差分法(FDTD算法)时间：2021.03.12创作：欧阳文时域有限差分法是1966年K. S. Yee发表在AP上的一篇 论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式。这种方 法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域 求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空 间中交替计算电场和磁场。FDTD算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell旋度方 程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域 响应。需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界 条件。有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方 式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界

2、条件进行差 分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定 的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。1. FDTD的基本原理FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出发，利用二 阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算， 这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的 抽样压缩。Maxwell方程的旋度方程组为：ppahVx/ = +VxF = -/-o- H&” (1)在直角坐标系屮，(1)式可化为如下六个标量方程:dxHXdxdtdE:勿dz退dx込dxdt xdt y(2)上面的六个偏微分方程是FDTD算法的基础。Yee首先在空间上建立矩形差分网格，

3、在时刻泌/时刻，F(x, y, z)可 以写成 F(兀,y,z, = F(iAxJAy,Mz,n&) = F”QJ,P)(3)用中心差分取二阶精度:对空间离散：对时间离散：6F(x,y,zj) dt严M)严(屮)+。(丽7(4)Yee把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置：图1 Yee氏网格及其电磁场分量分布在FDTD屮，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空 间排布如图所示。由图可见，电场和磁场分量在空间交叉放 置，各分量的空间相对位置也适合于Maxwell方程的差分计 算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。同时，电场和磁场 在时间上交替抽样，抽样时间间隔相差半个时间步，使 Maxwel

4、l旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆运算。因此，由给 定相应电磁问题的初始条件，FDTD就可以逐步推进地求得以 后各个时刻空间电磁场的分布。根据这一原则可以写出六个 差分方程:2E + 1/2J,灯* Hi +1 / 2 J,切 + %，+ 1/2, j,灯茁2E + 1/2J,灯电皿(i + l/2J,k)-HT(j + /2j_i/2,灯：乂+% + 1/2,笊-1/2)-比+”专 + 1/2,川 + 1 一其余的也如法可以写出，每个网格点上的个场分两的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值机该点周围的临近点 上另一场量在早半个时间步长时的值。因

5、此任一时刻可一次 算出一个点，并行算法可计算出多个点。通过这些运算可以 交替算出电场磁场在各个时间步的值。根据上述FDTD差分方程组可得出计算电磁场的时域推进计算方去匕卵图Q靳示B时刻空间各处的电磁场初始计算/2F+4/2时刻空间各处的磁场值2. 数值稳定性条件时间步长山，空间步长Ax, 3, Az必须满足一定的关系，否则就使得数值表现不稳定，表现为：随着计算步数的 增加，计算场量的数值会无限的增大，这种增大不是由于误 差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造成的。所以/, Ax, 3, Az必须满足一定的关系以保证稳定性。Taflove等在1975年对Yee氏差分格式的稳定性进行了讨

6、论，并导出了对时间步长的限制条件。数值解是否稳定主要 取决于时间步长与空间步长心、心、的关系。对于非 均匀媒质构成的计算空间选用如下的稳定性条件：Ar &均趋 于零时，它就趋于式(10)。也就是说数值色散是由于用近 似差分替代连续微分而引起的，而且在理论上可以减小到任 意程度，只要此时时间步长和空间步长都足够小。为获得理 想的色散关系，问题空间分割应按照小于正常网格的原则进 行。一般选取的最大空间步长为A- = 2-/20,入“为所研究 范围内电磁波的最小波长。由上分析说明，数值色散在用 FDTD法分析电磁场传播中的影响是不可能避免的，但我们可 以尽可能的减小数值色散的影响。现在适当选取时间和

7、空间步长，传播方向，可以得到理 想情况，如下所示：3-D方形网格：(数值稳定的极限状态，可得理想色散 关系)取波沿对角线传播k,2-D方形网格：也是沿对角线传播宀叫詡迈迈(12)1-D 网格：N=&殛(13)4. 吸收边界条件在电磁场的辐射和散射问题屮，边界总是开放的，电磁 场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能模拟 有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。这要求 在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向外传播的波 而言，就像在无限大的空间传播一样，一种行之有效的方法 是在截断处设置一种吸收边界条件。使传播到截断出的波被 边界吸收而不产生反射。下面只给出Engquist-Ma

8、jda吸收边界条件，采用Mur 差分格式，其总体虚假反射在1%、5%之间。一维一阶近似情形，x=0 边界： un+ (0)二 un (1) + 出匸山呵(1) -w(0)czV + Ax(14)二维二阶近似情形，x二0边界：旷口)=肿5)+詆叩(1旷如)+ 2w(OJ) + W”(1J)+5岁、(15cAr + Ax2(W (cAr + Ax)w”(oj+i)- 2w(oj)+ir(oji)+w”(ij+i)-2w”(ij)+vr(ij-i)三维二阶近似情形，x二0边界：(畑2(3(c +心)c/ + 4v2Ax+W“(OJQ + MUM)+cAz + Ax(曲)沁2(Az)(?/ +Ax)w“(oj+iQ-2w“(oj/)+ir(oj_i*)+w”(ij+