广东省佛山市中大附中三水实验中学高中数学《421 直线与圆的位置关系》课件 新人教A版必修2

1、4.2 直线直线 圆的位置关系圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1.了解直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系,有相离有相离 相相 切切 相交三种情形相交三种情形. 2.会用几何法会用几何法(d与与r的关系的关系) 代数法代数法(直直 线方程与圆的方程解的组数线方程与圆的方程解的组数)来判断直来判断直 线与圆的位置关系线与圆的位置关系. 问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁 分布在以小岛的中心为圆心，半径为分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的的 圆形区域。小岛中心位于轮船圆形区域。小岛中心位于轮船 正西正西70km处，港

2、口位于处，港口位于 小岛中心正北小岛中心正北40km处，处， 如果轮船沿直线返航，如果轮船沿直线返航， 它是否有触礁危险？它是否有触礁危险？ O 港口港口 轮船轮船 直线与圆有三种位置关系直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆直线与圆 _,有两个公共点有两个公共点. (2)直线与圆直线与圆_,有一个公共点有一个公共点. (3)直线与圆直线与圆_,没有公共点没有公共点. 相交相交 相切相切 相离相离 思考：思考： 如何判断直线和圆的位置关系？结合刚如何判断直线和圆的位置关系？结合刚 说的问题说的问题 1.判断直线与圆的位置关系的两种方法判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)利用圆心到直线的距

3、离利用圆心到直线的距离d与半径与半径r的大的大 小判断小判断: dr相离相离. (2)联立直线与圆的方程组成方程组联立直线与圆的方程组成方程组,，判，判 断方程组有没有解。断方程组有没有解。 例例1.已知直线已知直线l:3x+y-6=0和圆心为和圆心为C的圆的圆 判断直线和圆的位置关系，如果相交，求它判断直线和圆的位置关系，如果相交，求它 们的交点坐标们的交点坐标 例例2.已知圆的方程已知圆的方程 直线直线y=x+b,当当b为何值时为何值时 圆与直线有两个公共点；圆与直线有两个公共点； 圆与直线只有一个公共点；圆与直线只有一个公共点； 圆与直线没有公共点圆与直线没有公共点 042 22 yyx

4、 自我检测：教材自我检测：教材P128页页2-4题，题， 达标检测达标检测:教材教材P132页页A组的组的1-3题题 第二课时 目标：会解决直线与圆相交的弦长问题目标：会解决直线与圆相交的弦长问题 例例1.求直线求直线l:3x-y-6=0被圆被圆C： 截得的弦截得的弦AB的长的长 例例2.已知过点已知过点M（-3，-3）的直线）的直线l被圆被圆 截得的弦长为截得的弦长为 ，求直线，求直线l的方程的方程 042 22 yxyx 0214 22 yyx 54 有关直线与圆相交所得的弦长问题有关直线与圆相交所得的弦长问题 一般地一般地,求直线与圆相交所得的弦长求直线与圆相交所得的弦长,可可 结合垂径

5、定理与勾股定理结合垂径定理与勾股定理(几何法几何法)来处来处 理理 达标检测：达标检测： 教材教材P132页页A组的组的6,7题题 第三课时 目标：理解直线和圆相切的位置关系，目标：理解直线和圆相切的位置关系， 会解决直线和圆相切的有关问题会解决直线和圆相切的有关问题 思考：思考： 1.求过点求过点A（1,2）和圆）和圆 相切的直线方程相切的直线方程 2.求和圆求和圆 相切且切点为相切且切点为P （1,1）的直线方程）的直线方程 3.若圆的半径为若圆的半径为1，圆心在第一象限，且，圆心在第一象限，且 与直线与直线4x-3y=0和和x轴都相切，求该圆的轴都相切，求该圆的 标准方程标准方程 1 2

6、2 yx 2 22 yx 4.已知圆已知圆 与与y轴且于原点，那么（轴且于原点，那么（ ） A.D=0，E=0，F0 B.D=0,E 0,F=0 C.D 0,E=0,F=0 D.D 0,E 0,F=0 达标检测达标检测:导练设计导练设计P149页页1-12题题 0 22 FEyDxyx 第四课时 目标：目标： 1.知道两圆的知道两圆的5种位置关系种位置关系 2.会用两种方法判断两圆位置关系：一会用两种方法判断两圆位置关系：一 种是通过圆心距与半径之间的关系；种是通过圆心距与半径之间的关系； 另一种是两圆的方程联立的方程组的另一种是两圆的方程联立的方程组的 解得个数来判断解得个数来判断 思考：思

7、考： 1.两圆的位置关系有哪几种？两圆的位置关系有哪几种？ 2.如何判断两圆的位置关系？如何判断两圆的位置关系？ 已知圆已知圆C1： 圆圆C2： 试判断两圆的位置关系试判断两圆的位置关系 0882 22 yxyx 0244 22 yxyx O1 O2 O1 O2 O1 O2 O1 O2 1.两圆的公切线两圆的公切线 2.两圆的交线和圆两圆的交线和圆 心连线关系心连线关系 总结：判断两圆的位置关系的两种方法总结：判断两圆的位置关系的两种方法 1.两圆的圆心距和半径之间的关系两圆的圆心距和半径之间的关系 2.两圆的方程联立的方程组的解得组数两圆的方程联立的方程组的解得组数 巩固训练：判断两圆的位置

8、关系巩固训练：判断两圆的位置关系 C1： C2： 0132 22 yxyx 0234 22 yxyx 例例1.若圆若圆C1： 与圆与圆C2: 相切，则相切，则a的的_ 16 22 yx 1)( 22 yax 例例2.两圆两圆 的公切线有的公切线有_条条 0144 0124 22 22 yxyx yxyx 例例3.两圆交于两圆交于A（1,3）B（m,-1），两），两 圆的圆心在直线圆的圆心在直线x-y+n=0上，则上，则m+n= ( ) 达标检测：教材达标检测：教材P132页页4,9,10题题 课后作业：导练设计课后作业：导练设计P151页的页的1-12题题 作业问题作业问题 9.求圆求圆 与圆

9、与圆 的公共弦长的公共弦长 04 22 yx 01244 22 yxyx 10.求经过点求经过点M（2，-2），以及圆），以及圆 与与 交点的圆的方程交点的圆的方程 06 22 xyx 4 22 yx 4.求圆心在直线求圆心在直线x-y-4=0上，并且经过圆上，并且经过圆 与圆与圆 的交点的圆的方程的交点的圆的方程 达标检测：导练设计达标检测：导练设计P151页页1-11题题 046 22 xyx 0286 22 yyx 3.求圆的切线方程的常用方法求圆的切线方程的常用方法 (1)若点若点P(x0,y0)在圆在圆C上上,过点过点P的切线只有一条的切线只有一条.利用圆的切利用圆的切 线的性质线的

10、性质,求出切线的斜率求出切线的斜率.k切 切= 代入点斜式方程可 代入点斜式方程可 得得. 也可以利用结论也可以利用结论:若点若点P(x0,y0)在圆在圆x2+y2=r2上上,则过该点的则过该点的 切线方程是切线方程是x0 x+y0y=r2.若点若点P(x0,y0)在圆在圆(x-a)2+(y- b)2=r2上上,则过该点的切线方程是则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 1 , CP k (2)若点若点P(x0,y0)在圆在圆C外外,过点过点P的切线有两条的切线有两条.这时可设切线这时可设切线 方程为方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心利用圆心C到切线的

11、距离等于半径求到切线的距离等于半径求k. 若若k仅有一值仅有一值,则另一切线斜率不存在则另一切线斜率不存在,应填上应填上.也可用判别也可用判别 式式=0求求k的值的值. 典典 例例 剖剖 析析 (学生用书学生用书P88) 题型一题型一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 例例1:直线直线x+y-3=0与圆与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切是相切 相离还是相离还是 相交相交? 消去消去y,并整理可得并整理可得, x2-6x+9=0. =(-6)2-49=0, 直线与圆相切直线与圆相切. 方法方法2:将已知圆配方得将已知圆配方得 (x-2)2+(y+1)2=2, 圆心圆心(2,-1)到直线

12、的距离到直线的距离 故直线与圆相切故直线与圆相切. 22 |2 1 3| 2. 11 d 2,dr 规律技巧规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法判断圆与直线的位置关系有以下两种方法: (1)把圆把圆C的圆心的圆心C(a,b)到直线到直线l的距离的距离d与圆的半径与圆的半径r作比较作比较, 即圆即圆C与直线与直线l相离相离dr;圆圆C与直线与直线l相切相切d=r;圆圆C与直与直 线线l相交相交d4,点点Q在圆外在圆外. 设切线方程为设切线方程为y=k(x-3),即即kx-y-3k=0. 直线与圆相切直线与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径圆心到直线的距离等于半径. k= 所求切线方程为

13、所求切线方程为y= 即即 2 | 3 | 2. 1 k k 2 5. 5 2 5(3), 5 x 2560.xy (3)设圆的切线方程为设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程代入圆的方程, 整理得整理得2x2-2bx+b2-4=0. 直线与圆相切直线与圆相切, =(-2b)2-42(b2-4)=0. 解得解得b= 所求切线方程为所求切线方程为x+y 2 2. 2 20. 规律技巧规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程. 题型三题型三 弦

14、长问题弦长问题 例例3:直线直线l经过点经过点P(5,5),且和圆且和圆C:x2+y2=25相交相交,截得弦长为截得弦长为 求求l的方程的方程. 分析分析:若直线若直线l的斜率不存在的斜率不存在,l:x=5与圆与圆C相切相切,可知直线可知直线l的斜的斜 率存在率存在,设直线设直线l的方程为的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长再根据弦长 得方程求得方程求k. 4 5, 4 5,AB 解法解法1:设直线设直线l的方程为的方程为y-5=k(x-5)且与圆且与圆C相交于相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 两边平方两边平方,整理得整理得2k2-5k+2=0. 解得解得 或或k=2. 代入代

15、入(1)知知,0. 故直线故直线l的方程为的方程为x-2y+5=0,或或2x-y-5=0. 1 , 2 k 解法解法2:如右图所示如右图所示,OH是圆心到直线是圆心到直线l的距离的距离,OA是圆的半是圆的半 径径,AH是弦长是弦长AB的一半的一半, 在在RtAHO中中,OA=5, 规律技巧规律技巧:关于弦长问题关于弦长问题,通常有两种方法通常有两种方法,其一称为代数法其一称为代数法, 即将直线方程代入圆的方程即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量消去一个变量y(或或x),利用韦达利用韦达 定理定理,代入两点间距离公式求解代入两点间距离公式求解.其二称为几何法其二称为几何法,即半弦长即半弦长 弦

16、心距弦心距 半径组成直角三角形半径组成直角三角形,利用直角三角形求解利用直角三角形求解.本例说本例说 明明 几何法比代数法简便几何法比代数法简便. 变式训练变式训练3:求直线求直线l:3x+y-6=0被圆被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长截得的弦长. 消去消去y得得x2-3x+2=0, 解得解得x1=1,x2=2,y1=3,y2=0. 两交点坐标两交点坐标A(1,3),B(2,0), 弦长弦长 22 |(30)(2 1)10.AB 易错探究易错探究 例例4:求过点求过点P(6,-8)与圆与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方程相切的直线方程. 错解错解:将圆的方程配方将圆的方

17、程配方,得得(x-1)2+(y-2)2=25, 圆心圆心C(1,2),半径半径r=5. 易知点易知点P(6,-8)在圆在圆C外部外部,设切线方程为设切线方程为y+8=k(x-6),即即kx-y- 6k-8=0. 由圆心到切线的距离等于半径得由圆心到切线的距离等于半径得 解得解得 切线方程为切线方程为 即即3x+4y+14=0. 2 |268| 5, 1 kk k 3 . 4 k 33 6 ()80, 44 xy 错因分析错因分析:事实上事实上,从圆外一点作圆的切线有两条错解中只考从圆外一点作圆的切线有两条错解中只考 虑了斜率存在的情况虑了斜率存在的情况,忽略了斜率不存在时的切线忽略了斜率不存在

18、时的切线,造成错造成错 解解. 正解正解:在错解中补充上在错解中补充上,另一条切线另一条切线x=6即可即可. 技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P90) 基础强化基础强化 1.若直线若直线x+y+m=0与圆与圆x2+y2=m相切相切,则则m为为( ) A.0或或2 B.2 C. D.无解无解 解析解析:依题意得依题意得 m2=2m,m0,m=2. 答案答案:B 2 | , 2 m m 2.直线直线y=x-1上的点到圆上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近距离为的最近距离为( ) 解析解析:圆心圆心(-2,1)到直线到直线y=x-1的距离是的距离是 直线上的点到圆的最近距离是直线上

19、的点到圆的最近距离是 答案答案:C .2 2. 21 .2 21.1 AB CD | 2 1 1| 2 2. 2 d 2 21. 3.若直线若直线ax+by=1与圆与圆x2+y2=1相交相交,则点则点P(a,b)的位置是的位置是( ) A.在圆上在圆上B.在圆外在圆外 C.在圆内在圆内D.以上都有可能以上都有可能 解析解析:由题意可得由题意可得 .点点P(a,b)在圆外在圆外. 答案答案:B 22 1 1, ab 22 1ab 4.设直线过点设直线过点(0,a),其斜率为其斜率为1,且与圆且与圆x2+y2=2相切相切,则则a的值的值 为为( ) A.4B. C.2D. 解析解析:直线方程为直线

20、方程为y-a=x,即即x-y+a=0.该直线与圆该直线与圆x2+y2=2相相 切切, a=2. 答案答案:C 2 2 2 | 2, 2 a 5.直线直线3x+4y-5=0与圆与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是的位置关系是( ) A.相离相离 B.相切相切 C.相交且过圆心相交且过圆心 D.相交不过圆心相交不过圆心 解析解析:将圆的方程配方得将圆的方程配方得 直线与圆相交且通过圆心直线与圆相交且通过圆心. 答案答案:C 6.过点过点 的直线的直线l将圆将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧分成两段弧,当劣弧所当劣弧所 对的圆心角最小时对的圆心角最小时,直线直线l的斜率的斜率k=_.

21、 解析解析:当直线当直线l与过圆心与过圆心(2,0)和点和点 的直线垂直时的直线垂直时,直线直线 l截得的劣弧最短截得的劣弧最短,此时其对的圆心角最小此时其对的圆心角最小,可求得可求得 (1,2) (1,2) 2 . 2 k 2 2 7.若直线若直线y=x+k与曲线与曲线 恰有一个公共点恰有一个公共点,则则k的取的取 值范围是值范围是_. 解析解析:利用数形结合法利用数形结合法. 2 1xy 2( 1,1kk 或 8.求与直线求与直线y=x+3平行且与圆平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线方相切的直线方 程程. 解解:方法方法1:设直线的方程为设直线的方程为y=x+m, 即即x-

22、y+m=0. 圆圆(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为的圆心坐标为(2,3), 半径为半径为 由由 得得m=5或或m=-3. 所以直线方程为所以直线方程为y=x+5或或y=x-3. 2 2. |23| 2 2, 2 m 方法方法2:设直线的方程为设直线的方程为y=x+m,和圆的方程联立和圆的方程联立 消去消去y得得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0, 由直线与圆相切由直线与圆相切, =(2m-10)2-8(m2-6m+5)=0, 即即m2-2m-15=0,解得解得m=5或或m=-3, 所以直线的方程为所以直线的方程为y=x+5或或y=x-3. 能力提升能力提升 9.在直线在直线 上求一点上求一点P,使使P到圆到圆x2+y2=1的切的切 线长最短线长最短,并求出此时切线的长并求出此时切线的长. 解解:设设P(x0,y0),则切线长则切线长 故当故当P为为 时时,切线长最短切线长最短,其值为其值为 2 20 xy 22222 00000 1(2 2)12(2)3,Sxyxxx (2,2) 3. 10.求经过点求经过点P(6,-4