专题13导数的概念与运算(解析版)

1、专题13导数的概念与运算知识決背丿力夯实根底知识，掌握根本技能/1、几何意义函数f(x)在点xo处的导数fx6)的几何意义是在曲线y= f(x)上点送, f(xo)j处的切线的斜率相应地，切线方程为 y f(x)= f，x6)(x x).2、.函数f(x)的导函数假设f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导，那么f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数.3根本初等函数的导数公式(1) (X0= a xa 1 ( a为常数);(2) (ax) = axln_a(a6 且 1),11口(3) (log ax) = xlogae= xna

2、(a6，且 a 丰 1；(4) (ex) = ex;,1(5) (l n x) = x；(6) (sin x) = cos_x;(7) (cos x) = sin_x.4、导数的运算法那么(1) f(x) (x) = f x) x);(2) f(x) g(x) = f x)g(x) + f(x)g x);f x ,f x g x f x g x厂厂=g2 x(g(x)主0).5、复合函数的导数假设 y= f(u), u = ax+ b,贝V y x = y u u x,即 y x= y U .技能歳拔】 融合知识方法，塑造解题能力/例1、2021年江苏卷.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y

3、=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点-e, -1e为自然对数的底数，那么点A的坐标是 .【答案】e, 1.1【解析】设点 A Xo, yo，那么yo In xo .又y -，x1当x xo时，yXo点A在曲线yln x上的切线为y y0 加 X0，x即 y ln Xo1Xo代入点 e,1，得 1 lnxo亠1Xo即 x0 ln x0e,考杳函数Hxxln x，当 x0,1 时，H x0,当X 1,时，H x 0且H xln x1，当 x 1 时，H x 0,H x单调递增，注意到H e e，故 xo ln Xoe存在唯一的实数根Xoe，此时yo1故点A的坐标为A e,1 .变式1、2o1

4、4江苏高考卷 在平面直角坐标系 xOy中，假设曲线y= ax2 + ba, b为常数过点P2, - 5,x且该曲线在点 P处的切线与直线 7x+ 2y+ 3 = o平行，那么a+ b的值是.【答案】：-3【解析】：因为点P2, 5在曲线y= ax2 + ?上，所以4a + b =- 5 又因为y= 2ax-g 该曲线在点P 处的切线与直线7x + 2y+ 3 = 0平行，所以yx=2= 2a 2 ；= 2联立 解得a = 1, b= 2,所以 a + b = 3.变式2、2021苏州期末曲线y= x + 2ex在x = 0处的切线与两坐标轴围成的二角形面积为【答案】2【解析】：由y = x +

5、 2/，得y= 1 + 2ex,切点为(0, 2)，切线斜率为3,切线方程为y= 3x + 2切线与坐标2122轴的交点为 A 3， 0 , B(0, 2),所以 SmoB = - 2 = 2.32 33变式3、(2021苏锡常镇、宿迁一调)假设曲线 6： y = ax3 6x2+ 12x与曲线C?： y= ex在x= 1处的两条切线 互相垂直，那么实数 a的值为.【答案】13e13e.【解析】、：因为y= 3ax2 12x+ 12, y= ex，所以两条曲线在 x= 1处的切线斜率分别为= 3a, k2= e,即 k1 k2= 1,即卩 3ae= 1,所以 a =例2(2021常州期末)假设

6、直线kx y k = 0与曲线y= ex(e是自然对数的底数)相切，那么实数k =.【答案】、e2【解析】、设切点 A(xo, exo)，由(ex) = ex,得切线方程为 y exo= exo(x xo)，即 y = exox + (1 xo)exo,k = exo,xo= 2,所以解得 2k =( 1 xo) exo,k = e2.变式1、(2o17苏州一调)假设直线y 2xb为曲线y exx的一条切线，那么实数 b的值是.【答案】、1【解析】、设切点的横坐标为X。，由曲线y ex x，得yex 1，所以依题意切线的斜率为k e12 ,得X。o,所以切点为(o,1)，又因为切线y 2x b

7、过切点(o,1)，故有1 2 o b，解得b 1.变式2、(2021苏州暑假测试)函数f(x) = x 1+ A,假设直线I: y= kx 1与曲线y= f(x)相切，那么实数ke【答案】、1 e1 11【解析、：设切点为(xo, yo).因为f x)= 1 飞，贝U fx6)= k,即1 =k且kxo 1 = xo 1 +，所以xo eexoexo1=1,所以 k= 1 -1= 1 e.e1 2例3、(2021苏锡常镇调研(二)点P在曲线C： yx2上，曲线C在点P处的切线为I，过点P且2与直线I垂直的直线与曲线 C的另一交点为 Q,0为坐标原点，假设OP1OQ,那么点P的纵坐标为 .【答案

8、】.1.设P(tt2)2【解析】因为y x ,所以切线I的斜率k t ,且t 0 ,那么直线PQ： y -t2 J(x t),即2 t1 1 2y 一x 一t 1t 211+2,y-x t1令t2，消y得：tx2y xy 22x t32t0，设 Q(xi, yi)，那么 Xi t又因为点Q在曲线C上，所以y1因为OP OQ，所以OP 0Q 0,即t1(27)t 2)2 丄 t2 t1 2 1 2t2 ( t22 22彳，故Q( t)0 ,化简t，即X1t -,tt21丄2c2、一，t)tt21 t44 ,那么 t22 ,t所以点P的纵坐标为1.变式1、(2021年江苏卷)在平面直角坐标系xOy

9、 中,P是曲线y-(x 0)上的一个动点，那么点P到x直线x+y=0的距离的最小值是【答案】4.【解析】当直线x y0平移到与曲线y4一相切位置时，切点xQ即为点P到直线x y 0的距离最小.x2(2舍)，32，即切点Q(、.2,3、2)，那么切点Q到直线x y0的距离为故答案为：4 同步即学即练，实时稳固新知jV/i1、(2021常州期末)函数f(x) = bx + Inx,其中bR.假设过原点且斜率为k的直线与曲线y= f(x)相切，那么k b的值为.【答案】、2m = 12,解得 m = 3 或 m= 4.ef ( X0)= bx0+ InX0 = y0= kx。，【解析】、设直线方程为

10、y= kx，切点为A(x 0, y0)，那么有1从而有bx+ Inx=f (X0)= b + - = k,X01，得k - b = 1 .作为填空题可这样秒杀 ee命题背景 一般地，假设曲线 y= f(x)与直线y = kx + b相切，那么曲线y = f(x) + kix+ bi与直线y= kx + b+ kix+ bi也相切.2、在平面直角坐标系xOy中，直线yx b是曲线yaln x的切线，那么当a o时，实数b的最小值是【答案】、1【解析】、因为直线y x b疋曲线y aln x的切线，令切点为(Xo,Xob)所以y lx xo旦1, xox0a, a baln a,baln aa。令

11、函数g(a)aln a a(a0)g (a) lna 1 1ln a =0 时，a1当0a 1时,g (a) 0,当 a1 时，g (a)0,所以函数g(a)在(0,1)上递减，在(1,)上递增g(a)最小值为g(1)1所以b最小值为 1.3、假设函数f(x) x3 ax2 bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y 3x 4 2，那么b的值为 .【答案】 3 .【解析】因为 f(x)是奇函数，所以a=0 , f(x) = x3+bx.设f(x)在点(xo, yo)处的切线为：y 3x 4. 2，得y o x3 bxo3 3x2 b ，解得 b=- 3.yo 3xo 4 24、(2o15南通期末)

12、在平面直角坐标系xOy中，记曲线y= 2x- ?(xR , m- 2)在x= 1处的切线为直线I.假设直线I在两坐标轴上的截距之和为12,那么实数m的值为.【答案】3或4【解析】、y = 2 + 令，y x= 1= 2 + m,所以直线 I 的方程为 y (2 m) = (2+ m)(x 1)，即 y= (2 + m)x 2m.令 xm+ 22m=o，得y=如令y=o, x=击.由题意得2 m2x35、(2o17苏北三市期末)函数f(x)mx3x25,m,o x 1.不同的交点,那么实数m的取值范围为【答案】、(【解析】由32f (x) 2x 3x m，所以，f (x)6x26x，所以，f (

13、x)在o,1上单调递增,即至多有一个交点，要使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个m 5 0不同的交点，即，从而可得m ( 5,0).m 06、 (2021六市二模联考)点A(1,1)和B( 1, 3)在曲线C: y= ax3 + bx2 + d(a, b, d均为常数)上假设曲线C在点A, B处的切线互相平行，贝U a3+ b2+ d =.【答案】、7【解析】 由题意得 y= 3ax2 + 2bx,因为 ki= k2,所以 3a+ 2b= 3a 2b,即 b= 0.又 a + d = 1, d a= 3, 所以 d = 1, a= 2, 即卩 a3+ b2 + d = 7.a7、 (2021

14、年泰州一模)曲线 C : f(x) x+ (a 0)，直线l : y X，在曲线C上有一个动点P，过x点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为 A, B .再过点P作曲线C的切线，分别与直线I和y轴相交于1点M,N , O是坐标原点.假设 ABP的面积为 丄，那么AOMN的面积为2【答案】4思路点拨：从条件分析，此题利用 设而不求的方法，用点P的横坐标作为参数，通过一定的计算，表示A, B , M , N的坐标，再根据条件，求得 a值，进而计算 OMN的面积.解析：设点 P坐标为仪。)，因为点(X0,y)关于y x的对称点为(y0,x),故垂足 A坐标为XyX2y), B坐标为(0, y)，由

15、条件得y0)2，将y。X。a代入化简得a 2x,从而f(x)-，故 f (x)1x,过点P的切线方程是xy。(1 自(x x0)，与 yxX联立得y2x02x0，从而M (2x0,2x0)，又知N(0,)，所以AOMN的面积为X02x04.x8、(2021南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 y= X(m0)在x = 1处的切线为I,那么点(2, 1)到直线I的距离的最大值为 .【答案】2解法1由题意，切点坐标为1, m，因为y=m、2,所以切线I的斜率k=m，故切线I的方程为|2m 3m 4|m2+ 42(m+4) 2m2+ 162(x+ 1) 24(x 1),即 I: mx + 4y 3m = 0,那么点(2, 1)到直线 I 的距离 d =故点(2, 1)到直线，又因为m0 ,所以m + m62 m-m6= 8(当且仅当m = 4时取等号)，那么d 2,I的距离的最大值为2.解法2由