社会统计学(卢淑华)-第四章

1、1 第四讲 二项分布及其它离散型随机变量的分布 2 第一节 二点分布 1、贝努里试验 指只有两个可能结果的随机试验。 在现实生活中许多随机现象只有两种结果， 如，男-女；出现-不出现；合格-不合格等。 关注的结果-“成功”；另一结果“失败” 2、n重贝努里试验 如果试验在相同的条件下重复n次，并且每次 的试验结果相互独立，则称n重贝努里试验。 3、二点分布-一次贝努里试验的概率分布； 二项分布-n次贝努里试验的概率分布； 4、二点分布是二项分布的特殊情况 3 5、二点分布 ： 分布列： 6、二点分布的性质 1）P（=0）0P（=1） 0 2）P（=0）+ P（=1）=q+p=1 3）二点分布的

2、期望与方差 E（）=0 q+1 p=p D（）= E（2） （ E）2=02 q+12 p p2= p p2 7、二分变量中取值0和1 只表示定类变量的编码，这种变 量又称虚拟变量。 变量的取值只有两类 ； x 0 代码：0、1 ； 1 pqp 4 R n n n n n Pn nn 1 n m 1 P 第二节 排列不组合 一、排列 1、重复排列： 2、非重复排列： 3、全排列 mm mn! n m! n n n! 5 例: 任选5个数字，可组成多个编号？ 30人的班级，任意安排2人担任正副班 长，有多少种排法？ 5种户型的住房，分给5人，有多少种分 配方案？ 6 二、组合： 例： 家庭成员共

3、8人，问有多少对人际关系？ （2人形成一对人际关系，且与方向无关） P P C m n m m m n n! m!n m! nn 1 n m 1 m! 7 第三节 二项分布 一、二项分布 （n：实验次数 P：A在每次实验中出现的概率） 1、与二点分布的区别 将同样的实验或观察，独立的重复n次 例：连续投掷硬币四次 2、推广：P x Cnx P x 1 Pn x 3、二次分布的定义：n次实验中事件A出现次 数的概 率分布。简写为：Bn, p 8 P0 m C n p q Pm n C n p q Pa b Cn p q 二、变量在某一取值区间的概率 1）A至多出现m次的概率 2）A至少出现m次的

4、概率 3）A出现次数不少于a不大于b的概率 n xx x m x 0 n x m n xx x b x a n xx x 9 例： 教师中吸烟的比例为50%，随机抽查教 师10人，求概率： 1、全不吸烟 2、1人吸烟 3、至少2人吸烟 4、2-4人吸烟 10 E x P x x C n p q 三、二项分布的数学期望 6、查表方法 n xx x n p n n x 0 x 0 5、二项分布的方差等于 2 2 11 例： 根据生命表，年龄为60岁的人，可望活 到下年的概率P=0.95。设某单位年龄为 60岁的人共有10人，问： （1）其中有9人活到下年的概率为多少 （2）至少有9人活到下年的概率

5、为多少 （3）至多有9人活到下年的概率为多少 12 P x P x P x P1x1 P2x2 1 P1 P2 1 2 第四节 多项分布 以三项分布作为研究对象，依此类推 1 2 3 1 2 3 n! x1! x2 ! x3! 三项分布： Px1 , x2 , x3 因为：x1 x2 x3 n P1 P2 P3 1 所以，三项分布也可写成： n x x n! x1! x2 !n x1 x2 Px1 , x2 13 例： 1、某班有学员30名，其中兄弟民族 13 名。任抽5名，求其中兄弟民族 人数的概率分布。 2、一批产品共20件，其中6件不合 格。任抽3件，求不合格产品的概率 分布。 14 第

6、五节 超几何分布 1、适用条件：小群体研究 2、例： 设小组共有10名成员，7男3女。从中任 抽3名，求其中男性人数的概率分布。 15 C C C 超几何分布的概念及公式 设总体性质共分为两类：A类和非A类。总体总 数N。A类共有m个，从中任抽n个（nN-m）， 则n中含有A类个数“”的概率分布为 （x=0，1，） 当N很大，n较小时，超几何分布近似二项分 布。 n N x m n x N m P x 16 第六节 泊松分布 一、公式： 它是二项分布（n,p）的极限分布，只有一 个参数 。 eP x x! 17 D E E x x! e 泊松分布参数的实际内容为它是其分布的数学期望 或方 差。

7、 应用： 设在填写居民身份证1000张卡片中，共发现错字300个， 问每张居民身份证出现错字数的概率分布如何？ 二、泊松分布的性质 1、泊松分布为离散型随机变量分布，取值为0和一切正整 数。X=0，1，2， 2、泊松分布的数学期望和方差 x x 0 x! 22 2 2 x0 x 18 续前 3、当P0.1，甚至在n不必很大的情况下， 这种近似也存在，当n10时，这种近似 程度就很好了 19 例题 已知某校有5%的学生是贫困生，随机抽 出50人，求下列情况的概率： 1、至多2位贫困生 2、至少1位贫困生 20 解 设贫困生数为X，则Xb（50，0.05）， n很大，p很小，近似服从泊松分布。 =50*0.05=2.5 1、查累积泊松分布表，p(x2）=0.5438 2、p(x1)=1-p(x=0)=0.9179 21 续泊松分布的性质 4、泊松分布适合稀少事件的研究，也就是P值都 很小的情况。对于事件流，如果满足以下三个 条件： 1）稳定性：概率规律在时间上是不变的 2）独立性：在不相交的时间间隔内，发生两 个以上事件是 相互独立的 3）普遍性：在同一瞬间内，发生两个以上事 件是不可能的。 则：随机事件发生次数的