1993考研数三真题及解析

1、因跨考敎肓严二J KUKAO EDUCATIONBorn to win1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)2(1)3x 5 . 2 limsin =j 5x 3 x(2) 已知 y = f 3x- I, f (x ) = arctan x2,贝V dy=.(3x+2 丿dx xa级数a (3)的和为n卫2 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵 A*的秩为设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为二、选择题(本题共5小题，每小题3分

2、，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设f x =专,【0，x式0贝U f (x )在点x = 0处x =0,(A)极限不存在(B)(C)连续但不可导(D)极限存在但不连续可导lnx设f x为连续函数，且F X = 1 f t dt,则Fx等于(A)x(B)(C)(D)f In x - fn阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分而非必要条件 既非充分也非必要条件(A) A是必然事件(B)P(BA) = 0.(A)充分必要条件(B)(C)必要而非充分条件(D) 假设事件A和B满足P(B A) =1,则()(D)(C

3、) A 二 B囱跨考敎肓厂二J RUKAO EDUCATIONBorn to win 设随机变量 X的密度函数为 (x),且(-x) = (x). F(x)是X的分布函数，则对任意实数a,有a(A) F(_a)(x)dx.(C) F (-a) = F (a)(B)(D)()1 aF(a) m 一 0 (x)dxF(_a) =2F(a)_1三、(本题满分5分)设z = f x,y是由方程z - y-x 公=0所确定的二元函数，求dz.四、(本题满分7分)已知lim 口二4x2exdx,求常数a的值.a五、(本题满分9分)2 1设某产品的成本函数为C二aq2 bq c,需求函数为q (d -p),

4、其中C为成本，qe为需求量(即产量),p为单价，a,b,c,d,e都是正的常数，且d b,求:(1)利润最大时的产量及最大利润；需求对价格的弹性； 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1)函数 y = f (x)(0 X ：)满足条件 f (0) =0和 0 f(X)乞 ex _1;(2) 平行于y轴的动直线MN与曲线y二f(x)和y =ex -1分别相交于点R和F2;(3) 曲线y = f (x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段RF2的长度.求函数y = f (x)的表达式.七、(本题满分6分)假设函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,

5、过点A(0, f (0)与B(1,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c, f (c),其中0”：c：1.证明：在(0,1)内至少存在一点,使f () =0.八、(本题满分10分)k为何值时，线性方程组_|_ X! x2 kx3 二 4,I2_Xa和B = Ya独立，且P(AUB)=2求常数a.41求丄的数学期望.X2十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分布(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.因跨考敎育KUftKAO EDUCATIONBorn

6、to win、填空题（1）【答案】极限所以【解析】.2sinx223x 53x2 52sin 2lim x j 5x 3xlimx 5x 3.2sinxlim x =lim snt =1,XT， 2t_p tlimsin2?1xT： 5x 3 x 5limx L :3x2 5洛 lim 6x 3lim 2x ；：5x 3x=x ；：10x51993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析（本题共5小题，每小题3分,满分15分.）65【答案】3x 2【解析】令g x,则有g 0 - -1,3x 212g x ,则 g 0 =3,2(3x + 2)由复合函数求导法则知dydxx =03j二f g

7、O g0=3f -1 = 3arcta n1 二4【答案】21 n3Q0n【解析】利用几何级数求和公式、 xn =0(x 0时，sing为有界变量，.7为无穷小量，则xsin2=0,且 f 0 =0.x于是f x在X = 0处连续故(A)(B)不正确.又因为xsin W - f 0）/x sin Axxlimlim x 】ox 0xTxx -01 1 二lim sin 2 不存在 xx2,所以在x- 0处不可导，所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x0处连续，则有lim f(x)二lim f(x) = f(x0). x )x0 X % 因跨考敎肓雾匸二J RUKAO EDUCA

8、TIONBorn to win(2)【答案】(A【解析】F x=fl nxl fli 1Xxx2【相关知识点】积分上限函数的求导公式:X f tdt =f lx x f : x : x 【答案】(B)【解析】AA有n个线性无关的特征向量由于当特征值x - 2时,特征向量 宀，2线性无关从而知，当A有n个不同特征值时， 矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么矩阵A可以相似对角化因为当A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其 几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件，故应选(B).【答案】(D)【解析】P(B A) =1的充分必要条件是 P(AB)=1

9、,即p(AB)=P(A).显然四个选项中P(A)当A B时，AB=A,可得P(AB) = P(A).因此A B是P(B A) =1的充分条件因此 选(D).【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识，在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质，换元积分，并改变积分上下限有-ax =_t a:F(-a)=(x)dx(t)dt 二 (x)dx,-_- -a随机变量X的密度函数为(x),则 (x)dx=1,又由于(-x)= (x),所以0 1(x)dx(x)dx ,(偶函数积分的性质)0 2-a0a1即(x)dx(x)dx 二(x)dx (x)dx . a0a2-aa1 a于是F(-a)

10、 = JJP(x)dx=L (x)dx=J0 (x)dx-貯(x)dx=?-貯(x)dx.故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性，将方程两端微分，得dz-dy-dx ezdx xez_y* dz-dy-dx = 0.整理后得1 xez dz = 1 xez今瘁一ez弓瘁 dx 1 xe dy.同跨考敎肓护匚二J KUAKAO EDUCATIONBorn to winz_y xz_y x1 xe edx dy方法二：应先求出函数对x, y的偏导数，将z-讨-X xez_y公=0两边分别对x, y求偏导，Zx1xezA Zx1 =0,Zy -1 xez Zy -

11、1 =0,解之得.1x -1 ez公J- 1 xe,Zy = 1.由此,得dz1xez公1 x -1 ezydz 二 zxdx zydy 二1 xez -y -xdx dyi x -a2ax |【解析】lim fx-axt： x - a=lim 11 -X .；：-2a :x a=lim 11 -X .；：2a 12*川町x a四、（本题满分7分）2at,则当 x：时,t 0,所以lim 1x =：xm 1=lim 1 t t 二 e.i x a 2ax2a RE丿lim空=exY：lx a = fax +a丿-be 224x e xdx 二-2aX 2 Ax de- 2b2e2 -2a=2a

12、 exexdx2a2ea -2xdex“-a-2xe-2x二：Qx2 e dxa- a Jim . -2be2a-2a2ae ebda e2b2a2ae= 2a2e 2aea ea,得 a2 *=0,所以 a=0 或 a = 1.五、（本题满分9分）【解析】（1）利润函数为因跨考敎肓雾匚二J RUKAO EDUCATION2 2L 二 pq _C = (d -eq)q _ (aq bq c) = (d _ b)q _ (e a)q _c ,对q求导,并令斜。,得歩=(d -b) -2(e a)q = 0 ,得 q =d -b2(e a)因为d2Ldq2d - b=-2(e a) ： 0,所以，

13、当q时为利润函数的极大值点2(e + a),根据题意也是利润的最大值点，所以Lmax2(d-b) c.4(e a) .X-e ).-dx 二 e 因为q(p)=】(d-p),所以 q(p) = ,故需求对价格的弹性为 =Pq丄eeq eqpl由n =1,得q=.2e六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右设R(x, f (x), P2(x,ex -1),则S = RP2 ,两端求导,得 f (x) =ex - f (x),即 f (x) f (x)二由一阶线性非齐次微分方程求解公式，得.p(x)dxip (x) dxf (x)二 e ( q(x)e dx C)uX( exefXdx C

14、) = ( exexdx C)e二 Ce 1e .11由初始条件f(0) =0,得C .因此,所求函数为f(x)(ex22【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 p(x)y =q(x)的通解公式为：-p(x) dxp (x)dxY = e ( q(x)e dx C),其中 C 为常数.七、(本题满分6分)【解析】因为f(x)分别在0,c和c,1上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在f(c)-f(0)c0,f ( 2)=f(1)-f(c)1 cr (0,c), 2(c,1),使得Born to win 由于点 C 在弦 AB 上,故有 f(c)-f(0)f(1)-f(c) f(1)-f(0)c 01

15、c1-0二 f(1)- f(0),从而f ( 1)= f ( 2)=f(1)-f(O).这表明f(X)在区间【1,；上满足罗尔定理的条件，于是存在(1, 2)(0,1),使得f ( ) =0.八、(本题满分10分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换第三行互换，再第二行乘以第一行和第三行互换，再第一行分别乘以 1 、 -1加到第二行和第三行上，再第二行和-11k；4 1-1-12-4lk1亠 2-1k1.2A =-1:k-k1-12I1 11k4乎加到第三行上，有1-12；-4 11-12-4 10k -13:k2 -4T02k-28：02k 2*:8 一0k 13k2 - 4 一-4k -

16、2(1 k)(4-kk(k-4)(1)r(A) =r(A) =3,方程组有唯一解2 2,X3k 2k k 2k 4X1, X2 :k 1k 1当k = -1时，r(A) =3,r(A2方程组无解.1-121030022:8T0114000+:0 一0000J当k =4时，有A =因为r( A) = r( A) = 2 ： 3 ,方程组有无穷多解 因跨考敎肓严二J RUKAO EDUCATIONBorn to win取X3为自由变量,得方程组的特解为=(0,4,0)t.又导出组的基础解系为=(_3, _1,1)T ,所以方程组的通解为:k ,其中k为任意常数【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判

17、定定理：设A是m n矩阵,线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AJ Ab的秩，即r(A)=r(A).(或者说，b可由A的列向量：线表出,亦等同于1,2l(,n与1,2l(Cn,b是等价向量组)设A是m n矩阵,线性方程组Ax=b,则(1)有唯一解r (A)二 r(A)二 n.(2)有无穷多解r (A) = r(A) ： n.(3)无解r(A)仁 r(A).b不能由A的列向量线表出九、(本题满分9分)1a11o1【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为 A = 1p,B = 11Jp1 一-2_由于P是正交矩阵，有PAP=B,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有A

18、 =2：川圧2 ：2 = 0,.E - A - -2： ： =0.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量X11X2|,Xn的二次齐次多项式(即每项都是二 次的多项式)n nf X1,X2,l)l,Xn iajXjXj,其中 aj =aji ,im jm称为n元二次型，令X二N,X2,HI,Xn T, A二aij ,则二次型可用矩阵乘法表示为f X1,X2,lH,Xn = XT Ax,其中A是对称矩阵 AT二A ,称A为二次型f X1,X2,HI,Xn的矩阵.十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意，因为随机变量 X和Y同分布，则PA 二PX a 二PYa 二PB,又事件 aAX .a?和 BY .a?独立，故 P AB=P APB.估计广义加法公式:P(AUB )=P(A )+P(B )P