江苏省专转本高数全部知识点极限洛比塔法则PPT学习教案

1、会计学1 江苏省专转本高数全部知识点极限洛比江苏省专转本高数全部知识点极限洛比 塔法则塔法则 定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 , 21n xxx (1) 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数 列的列的项项, n x 称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为 n x . 例例 如如 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 第1页/共70页 问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某是否无限接近于

2、某 一确定的数值一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定? n xn . 1 )1( 1, 1 无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 n xn n n 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语 言刻划它言刻划它. 1 n x nn n 11 )1( 1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: 第2页/共70页 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么 小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切 n x, , 不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那

3、末就称常数a是数列是数列 n x的极限的极限, ,或者称数列或者称数列 n x收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxn n 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的. 注意注意 ： ;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axax nn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N 第3页/共70页 1.有界性有界性 定义定义: 对数列对数列 n x, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自 然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列 n x有界有界, 否则否则, 称为无界称为无界. 例如例如,;

4、 1 n n xn数列数列 .2 n n x 数列数列 数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 n x都落在闭区间都落在闭区间 ,MM 上上. 有有 界界 无无 界界 第4页/共70页 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应 函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A. ;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx . 0 sin )(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当 x x xfx 问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. 2.唯一性唯一性 定理定理2 2

5、 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. . 第5页/共70页 定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),), 总存在着正数总存在着正数X, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一切 x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, , 那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim xAxfAxf x 当当或或 :. 1 定义定义 定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axf x )(lim

6、 第6页/共70页 :.10情形情形x .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 :.2 0 情形情形xAxf x )(lim .)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axf x )(lim 2.另两种情形另两种情形: Axf x )(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxf xx 且且 第7页/共70页 问问题题: :函函数数)(xfy 在在 0 xx 的的过过程程中中,对对应应 函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A. ;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .0 00 的过程的过程表示表示xxxx x 0 x 0 x 0 x ,

7、0 邻域邻域的去心的去心点点 x. 0程度 程度接近接近体现体现xx 第8页/共70页 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多 么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都 满足不等式满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数 )(xf当当 0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim 0 0 xxAxfAxf xx 当当或或 :. 1 定义定义 定义定义 .)( ,0, 0, 0 0 Axf xx 恒有恒

8、有 时时使当使当 第9页/共70页 2.几何解释几何解释: )(xfy A A A 0 x 0 x 0 x x y o .2 , )(, 0 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 为中心线为中心线线线 图形完全落在以直图形完全落在以直 函数函数域时域时 邻邻的去心的去心在在当当 Ay xfy xx 注意注意 ： ;)(. 1 0是 是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第10页/共70页 例例4. 2 1 1 lim 2 1 x x x 证明证明 证证 2 1 1 )( 2 x

9、 x Axf, 0 任任给给 , 只只要要取取 ,0 0 时时当当 xx 函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义. 1 x ,)( Axf要要使使 ,2 1 1 2 x x 就有就有 . 2 1 1 lim 2 1 x x x 第11页/共70页 3.单侧极限单侧极限: 例如例如, . 1)(lim 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 证明证明 设设 两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx , 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 0 0 xx记作记作 , 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 0 0 xx记作记作 y ox 1 xy 1 1 2 x

10、y 第12页/共70页 左极限左极限 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒有恒有 时时使当使当 右极限右极限 .)( , 0, 0 00 Axf xxx 恒有恒有 时时使当使当 00 0: 00 0 xxxxxx xxx 注意注意 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 AxfAxf xx xx 或或记作记作 .)0()(lim 0 )( 0 0 0 AxfAxf xx xx 或或记作记作 第13页/共70页 .)0()0()(lim: 00 0 AxfxfAxf xx 定理定理 .lim 0 不存在不存在验证验证 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 lim

11、lim 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, .)(lim 0 不存在不存在xf x 例例6 证证 1)1(lim 0 x x x x x xx00 limlim 11lim 0 x 第14页/共70页 1.有界性有界性 定理定理 若在某个过程下若在某个过程下, ,)(xf有极限有极限, ,则存在则存在 过程的一个时刻过程的一个时刻, ,在此时刻以后在此时刻以后)(xf有界有界. . 2.唯一性唯一性 定理定理 若若)(limxf存在存在,则极限唯一则极限唯一. 第15页/共70页 推论推论 ).()(),(, 0 ,)(lim,)(lim 0 0 00 xgxfxUx BABxgAxf

12、 xxxx 有有则则 且且设设 3.不等式性质不等式性质 定理定理( (保序性保序性) ) .),()(),(, 0 .)(lim,)(lim 0 0 00 BAxgxfxUx BxgAxf xxxx 则则有有若若 设设 第16页/共70页 ).0)(0)(,),(, 0 ),0(0,)(lim 0 0 0 xfxfxUx AAAxf xx 或或时时当当则则 或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ) ).0(0),0)(0)( ,),(, 0,)(lim 0 0 0 AAxfxf xUxAxf xx 或或则则或或 时时当当且且若若 推论推论 第17页/共70页 x y 1 sin 例例 .

13、 1 sinlim 0 不存在不存在证明证明 x x 证证 , 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 , 2 14 1 n xn取取 , 0lim n n x; 0 n x且且 第18页/共70页 n x n n n sinlim 1 sinlim 而而 , 1 2 14 sinlim 1 sinlim n x n n n 而而 1lim n 二者不相等二者不相等,. 1 sinlim 0 不存在不存在故故 x x , 0 第19页/共70页 函数极限的统一定义函数极限的统一定义 ;)(limAnf n ;)(limAxf x ;)(limAxf x ;)(limAxf

14、 x ;)(lim 0 Axf xx ;)(lim 0 Axf xx .)(lim 0 Axf xx .)( , 0)(lim Axf Axf 恒有恒有 从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻 (见下表见下表) 第20页/共70页 思考思考 题题 试试问问函函数数 0,5 0,10 0, 1 sin )( 2 xx x x x x xf在在0 x处处 的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的 极极限限是是否否存存在在？ 第21页/共70页 思考题解答思考题解答 )(lim 0 xf x , 5)5(lim 2 0 x x 左极限存在左极限存在, )(lim 0 xf x

15、, 0 1 sinlim 0 x x x 右极限存在右极限存在, )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 不存在不存在. 第22页/共70页 定理定理 . 0, )( )( lim)3( ;)()(lim)2( ;)()(lim)1( ,)(lim,)(lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中其中 则则设设 证证.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf 由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得 第23页/共70页 )()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立 )()()(

16、BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立 B A xg xf )( )( B A B A )( BB AB . 0 AB , 0, 0 B又又, 0 ,0 0 时时当当 xx , 2 B BBBB 2 1 B 2 1 第24页/共70页 推论推论1 1 ).(lim)(lim ,)(lim xfcxcf cxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果 常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .)(lim)(lim ,)(lim nn xfxf nxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2 , 2 1 )( 2 BBB , 2 )( 1 2

17、 BBB 故故 有界，有界， .)3(成立成立 第25页/共70页 例例1 1. 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求求 解解)53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xxx xx 5232 2 , 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx . 3 7 3 12 3 第26页/共70页 小结小结: :则有则有设设,)(. 1 1 10n nn axaxaxf n n xx n xxxx axaxaxf 1 10 )lim

18、()lim()(lim 000 n nn axaxa 1 0100 ).( 0 xf 则有则有且且设设, 0)(, )( )( )(. 2 0 xQ xQ xP xf )(lim )(lim )(lim 0 0 0 xQ xP xf xx xx xx )( )( 0 0 xQ xP ).( 0 xf ., 0)( 0 则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ 第27页/共70页 解解)32(lim 2 1 xx x , 0 商的法则不能用商的法则不能用 )14(lim 1 x x 又又, 03 14 32 lim 2 1 x xx x . 0 3 0 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷

19、大的关系,得得 例例2 2. 32 14 lim 2 1 xx x x 求求 . 32 14 lim 2 1 xx x x 第28页/共70页 解解 例例3 3. 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 .,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x .1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x )1)(3( )1)(1( lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x . 2 1 ) 0 0 (型型 (消去零因子法消去零因子法) 第29页/共70页 例例4 4. 147 532 lim 23

20、 23 xx xx x 求求 解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x )(型型 ., 3 再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx . 7 2 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 第30页/共70页 小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 0 00 , , 0 , lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 当当 当当 当当 无穷小分出法无穷小

21、分出法: :以分母中自变量的最高次幂除以分母中自变量的最高次幂除 分子分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限. 第31页/共70页 例例5 5). 21 (lim 222 n n nn n 求求 解解是无穷小之和是无穷小之和时时, n 2222 21 lim) 21 (lim n n n n nn nn 2 )1( 2 1 lim n nn n ) 1 1( 2 1 lim n n . 2 1 先变形再求极限先变形再求极限. 第32页/共70页 例例6 6. sin lim x x x 求求 解解, 1 ,为无穷小为无穷小时时当当 x x .sin 是有界函数是有界

22、函数而而x . 0 sin lim x x x x x y sin 第33页/共70页 例例7 7).(lim, 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 求求设设 y ox 1 xy 1 1 2 xy 解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x )1(lim)(lim 00 xxf xx , 1 )1(lim)(lim 2 00 xxf xx , 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等, . 1)(lim 0 xf x 故故 第34页/共70页 1.夹逼准则夹逼准则 准则准则 如果数列如果数列 nn yx ,及及 n z满足下列条件满足下列条件:

23、 : ,lim,lim)2( )3 , 2 , 1()1( azay nzxy n n n n nnn 那末数列那末数列 n x的极限存在的极限存在, , 且且axn n lim. . 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 第35页/共70页 准则准则 如果当如果当)( 0 0 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg x xx x xx 那末那末)(lim )( 0 xf x xx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: : . ,

24、的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且 与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关 nn nn zy zy 准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. 第36页/共70页 例例1 1). 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 求求 解解 , 1 1 1 1 2222 n n nnnnn n n nn n nn 1 1 1 limlim 2 又又 , 1 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n nn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得 . 1) 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 第37页/共70页 A C (1) 1

25、sin lim 0 x x x ) 2 0(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆 ,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有 x o B D .ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线 ,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 第38页/共70页 ,tansinxxx , 1 sin cos x x x即即 .0 2 也成立也成立上式对于上式对于 x, 2 0时时当当 x xxcos11cos0 2 sin2 2 x 2 ) 2 (2 x , 2 2 x , 0 2 lim 2 0 x x , 0)cos1(lim 0 x x , 1coslim

26、0 x x , 11lim 0 x 又又. 1 sin lim 0 x x x 第39页/共70页 例例3 3. cos1 lim 2 0 x x x 求求 解解 2 2 0 2 sin2 lim x x x 原式原式 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x 2 0 ) 2 2 sin (lim 2 1 x x x 2 1 2 1 . 2 1 第40页/共70页 (2)e x x x ) 1 1(lim 定义定义e n n n ) 1 1(lim)71828. 2( e .) 1 1(lime x x x , 1 x t 令令 t t x x t x) 1 1(lim)

27、1(lim 1 0 . e ex x x 1 0 )1(lim 第41页/共70页 例例4 4.) 1 1(lim x x x 求求 解解 x x x ) 1 1( 1 lim 1 ) 1 1(lim x x x 原式原式 . 1 e 例例5 5.) 2 3 (lim 2x x x x 求求 解解 422 ) 2 1 1() 2 1 1(lim xx x x 原式原式. 2 e 第42页/共70页 1.两个准则两个准则 2.两个重要极限两个重要极限 夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 . ; 1 sin lim10 某过程某过程 .)1(lim2 1 0 e 某过程某过程 ,为某过程

28、中的无穷小为某过程中的无穷小设设 第43页/共70页 思考思考 题题 求极限求极限 x xx x 1 93lim 第44页/共70页 思考题解答思考题解答 x xx x 1 93lim x x x x x 1 1 1 3 1 9lim x x x x x 3 1 3 3 1 1lim999 0 e 第45页/共70页 1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷

29、小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 第46页/共70页 思考思考 题题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为 什么？什么？ )(xf)(xg )()(xgxf 第47页/共70页 思考题解答思考题解答 没有极限没有极限 假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限， 由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限， 与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误 第48页/共70页 1.定义定义:极限为零的变量称为

30、极限为零的变量称为无穷小无穷小. 例如例如, , 0sinlim 0 x x .0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx , 0 1 lim x x . 1 时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 x x , 0 )1( lim n n n . )1( 时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 n n n 注意注意 1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. 第49页/共70页 3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和 仍是无

31、穷小仍是无穷小. 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 是无穷小，是无穷小，时时例如例如 n n 1 , .1 1 不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但 n n 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 第50页/共70页 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小积是无穷小. 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x x xx 1 arctan, 1

32、 sin,0, 2 时时当当例如例如 都是无穷小都是无穷小 第51页/共70页 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不论它多么不论它多么 小小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 0 0 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所对应的函数所对应的函数 值值 )(xf 都满足不等式都满足不等式 Mxf )(, , 则称函数则称函数 )(xf 当当 0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, , 记作记作 ).)(lim()(lim 0 xfxf xxx 或或 绝对值无限增大的变量称为绝对

33、值无限增大的变量称为无穷大无穷大. 第52页/共70页 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xx x xx 或或 注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; 3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无 界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大. .)(lim. 2 0 认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xf xx 第53页/共70页 xx y 1 sin 1 ., 1 sin 1 ,0, 但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量 时时当当例如

34、例如 xx yx ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 2 1 )1( 0 k k x取取 , 2 2)( 0 kxy .)(, 0 Mxyk 充分大时充分大时当当 ), 3 , 2 , 1 , 0( 2 1 )2( 0 k k x取取 , k xk充分大时充分大时当当 kkxy k 2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大 无界无界 ， 第54页/共70页 定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小 ; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. . 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归

35、结为关于无穷 小的讨论小的讨论. 第55页/共70页 1、主要内容、主要内容 : 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论. 2、几点注意、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数； （2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. . （3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 第56页/共70页 例如例如, x x x 3 lim 2 0 x

36、 x x sin lim 0 2 2 0 1 sin lim x x x x . 1 sin,sin,0 22 都是无穷小都是无穷小时时当当 x xxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不 同同. ;3 2 要快得多要快得多比比 xx ;sin大致相同大致相同与与xx 不可比不可比. , 0 , 1 x x 1 sinlim 0 .不存在不存在 观察各极限观察各极限 第57页/共70页 );( , 0lim)1( o记作记作 高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果 定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个

37、无设设 ;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC ; ;, 1lim 记作记作 是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地 . ),0, 0(lim)3( 无穷小无穷小 阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCC k 第58页/共70页 例例1 1 解解 .tan4 ,0: 3 的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 4 3 0 tan4 lim x xx x 3 0 ) tan (lim4 x x x , 4 .tan4 ,0 3 的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时故当故当xxxx 例例2 2.sintan,0的阶数的阶数关于关于求求时时当当xxxx 解解 3 0 sintan lim x xx x ) cos1tan (lim 2 0 x x x x x , 2 1 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 第59页/共70页 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x 用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式: , 1lim , 0lim ),( o即即 ).( o于是有于是有 例如例如, ),(sinxoxx ).( 2 1 1cos 22 xoxx . 2 1 cos1,1,)1l