高数下册知识点

1、向量的模：r1)2)3)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4)方向余弦：cosX 一，COS r,cos r高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设 a (a%,ay,az)，b (bx,by,bz)，则 a b (ax bx,ay by,az bz) ,a ( ax , ay , az)；5、向量的模、方向角、投影：I222两点间的距离公式：ABP(X2 Xi)(y2 yi)(z?

2、乙)2cos 1a cos ，其中为向量a与u的夹角。2 2COS cos5)投影：Prjua(二)数量积，向量积1、数量积：a ba 1bcos121)a aa2)a ba b 0a baxbxaybyazbz2、 向量积：c a b大小:Ia | b sin，方向：a ,b , c符合右手规则1)a aaxayazbxbybz运算律：反交换律1、2、三)曲面及其方程S: f(x, y,z)旋转曲面：(旋转后方程如何写)曲面方程的概念:yoz面上曲线C:f (y,z)0,轴旋转一周:f(y,轴旋转一周:,z)3、柱面：(特点)F(x,y)F (x,y)0表示母线平行于z轴,准线为0的柱面4、

3、二次曲面(会画简图)1)2X椭圆锥面：a2 y b22)2x椭球面：2a2 y b2x2旋转椭球面：a22y2az23)*单叶双曲面:2x2ayb24)*双叶双曲面:2 x2 a2 y b22z21c22xyz5)椭圆抛物面2 ab222xy6)*双曲抛物面(马鞍面):a2b2z22xy17)椭圆柱面：2b2a22xy18)双曲柱面：2b2a29)抛物柱面：xay(四)空间曲线及其方程F (x, y,z) 0G(x,y,z) 0xx(t)xa cos t2、参数方程：yy(t)，如螺旋线：ya sin tzz(t)zbt1、 一般方程：3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)G(x,

4、y, z)0H (x, y)小，消去z，得到曲线在面 xoy上的投影0z 0(五) 平面及其方程(法向量)1、点法式方程：A(x X。) B (yy。) C(z z。)0法向量：n (A,B,C)，过点(x, y, z)2、 一般式方程：Ax By Cz D 0 (某个系数为零时的特点)x y z 1截距式方程：1a b c3、两平面的夹角：n1COSJA2 B12 C12 */a； b；C；2Al A2B1B2 C1C20A/ 2A2 B1B2C2点 Po(Xo, y, z(0）到平面AxByCzAxo By。CzoDJa2 b2 c2空间直线及其方程（方向向量）A1 xB1yC1zD10一

5、般式方程：A2xB2y c2ZD20xxyy。z对称式（点向式）方程:mnp方向向量：s （m, n, p），过点(x, y,z。)xx0mt参数式方程：yyntzz0pt两直线的夹角：S1的小小）s2 (m2, n2ImmngP1P2(Al , B1,C1 )， n2 ( A2 , B2, C2 )，B1B2 C1C2A1 A211D4、d(六)1、z02、3、4、COSm2,P2)，2 2mP10的距离:m1m2ngp1 p20L/ l25、sinAm Bn CpBn7LAmBn Cpm1m2n2p2直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第九章多元函数微分法及其应用1、距离，邻域

6、，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集2、多元函数：z f (x, y)，图形，定义域：3、极限：limf(x,y)A(x,y)(Xo, yo)4、连续：，、lim ) f(x, y)f (Xo,yo)(x,y(xo,yo)5、偏导数：基本概念，连通集，区域,闭区域，有界集，无界集。fx(Xo,y。)lim f(X0x,x 0y。) f(Xo,y。)fy(x,y。)lim f(x,y。y) f(x。，y。)y 0y6、方向导数: COS X COS 其中 y八l的方向角。7、梯度：z f(x, y)，则 gradf(x,y。)fx(Xo,yo)ify(x,y)j。(二)1、全微分：设zf (x

7、, y)，则dz ：dxvZdyy性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:2、3、1)定义:2)复合函数求导：链式法则z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y)，则y闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理) 微分法zz uz vzz uz vxu xv x， y u yv y3)隐函数求导：a.两边求偏导，然后解方程(组)，b.公式法(三)应用1、极值1)无条件极值：求函数 z f (x, y)的极值fx0解方程组ffy0求出所有驻点，对于每一个驻点(x,y)，令A fxx(Xo,y)，Bfxy(Xo,yo)，Cfyy(Xo, yo)， 若A

8、C B 0，A 0，函数有极小值，若AC B 0， A 0，函数有极大值； 若AC B 0，函数没有极值； 若AC B20，不定。2)条件极值：求函数 z f (x, y)在条件(x,y) 0下的极值令：L(x,y) f(x,y) (x, y)Lagrange 函数Lx解方程组Ly(x, y) 02、1）几何应用曲线的切线与法平面x(t)曲线y(t)则上一点M （xo, yo,Zo）（对应参数为to）处的切线方程为:z(t)XXoy yozZo法平面方程为:x(to)y (to)Z(to)x (to)(X。）y (to)(y yo) z(t)(z2）曲面的切平面与法线曲面:F (x, y, z

9、)上一点M（x0,y0,z0）处的切平面方程为:Fx(xo,y,z)(x x。)Fy(xo,yo,zo)(y y) Fz(x, y,zo)(zZo)ozo) o法线方程为:第十章重积分（一）二重积分1、2、3、4、x XoyyoFx(Xo，y,Zo)Fy(Xo，y,Zo)Fz(Xo，y,Zo)定义：f(x,y)dDlimof( k, k)1性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积。 计算：直角坐标X型区域：D(x, y)1（X）2（X）f (x, y)dxdyDbdxa2(x)i(x)f (x,y)dyY型区域：D(x, y)i(y)x 2(y)y df (x, y)dxdyd2(y)dyf (

10、x,y)d xC J 1(y) 八D*交换积分次序(课后题)2)极坐标D (,)1()2()f (x, y)dxdy2()df ( cos , sin ) d1()D()二重积分cn1、定义：f(x,y,z)dv 1叫 f( k, k, k) Vk0 k 12、性质：3、计算：1)直角坐标f (x, y,z)dvz2 (x, y)dxdyf(x,y,z)dz Dz1 (x,y)-投影法“先一后二f (x, y,z)dvbdzf (x, y, z)dxdyaDZ截面法“先二后一ysinf (x, y, z)d Vf ( cos ,sin , z) d d dzz z*球面坐标*2)柱面坐标x C

11、OSx r sin cosyr sinsinzr cosf(x, y, z)d vf(rsin cos ,rsinsin2,r cos )r sin drd应用(三)曲面S : z f(x, y),(x, y) D 的面积:1 (x)2 (z)2 dxd第十一章(一)曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分1、定义：Lf(x, y)dslim0f( i, i) si2、性质:i)L f(x, y)(x, y)dsL f (x, y)dsLg(x,y)ds.2)L f (x, y)dsLif (x, y)dsL2f (x, y)ds.(LLiL2).3)L上,若 f (x,y)g(x,y)，则L f

12、 (x, y)dsLg(x,y)ds.4)Ldsl (I为曲线弧L的长度)3、计算:f(x, y) 在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为(t),(t),)，其中(t),(t) 在,上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则L f(x,y)ds f (t),(t) J 2(t)二)对坐标的曲线积分2(t)dt1、定义：设l为xoy面内从a到b的一条有向光滑弧，函数 P(x, y) , Q(x, y)在l上有界,n定义 LP(x,y)dx lim0P( k, Q Xk，0 k 1nLQ(x, y)dy lim0Q( k，k) h.0 k 1*向量形式：L F dr LP(x, y)dx Q(

13、x, y)dy2、性质：用L表示L的反向弧，则L F(x, y) dr l F (x, y) dr3、计算：设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧 L上有定义且连续，L的参数方程为x(t),(t:)，其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数，y(t),2(t)2(t)0，则LP(x, y)dx Q(x, y)d yP(t),(t) (t) Q (t), (t)(t)dt4、两类曲线积分之间的关系：L :x(t)设平面有向曲线弧为y(t)，L上点(x, y)处的切向量的方向角为：,cos cos(t):2(t)2(t)J2(t)2(t)，则 l Pdx Qdy JPcos Q cos )

14、ds.(三) 格林公式1、格林公式：设区域 D是由分段光滑 正向曲线l围成，函数 P(x, y),Q(x, y)在D上具有连续一阶偏导数，则有Ddxdy Pdx QdyLQ Px y曲线积分Pdx Qdy在G内与路径无关L曲线积分？Pdx Qdy 0 P(x, y)dx Q(x, y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分(四) 对面积的曲面积分1、定义：设 为光滑曲面，函数 f (x, y,z)是定义在上的一个有界函数,n定义 f (x,y,z)dS 1叫 f ( i , i, J Si0 i 12、计算：“一单值显函数、二投影、三代入”:z z(x, y)，(x,y) Dxy，则f

15、(x, y, z)dS D fx, y, z(x, y)、1 z(x, y) z/(x, y)dxdyDxy*(五) 对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：定义设 为有向光滑曲面，函数P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)是定义在 上的有界函数，nR(x, y,z)d xdy lim。R(J( 3人0 i 1n同理， P(x, y, z)d ydz li叫i nQ(x, y, z)d zdx lim R(0 i 13、性质：1) 12 ，则Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy12) 表示与 取相反侧的有向

16、曲面，P( i , i , i)( Si )yz1i i i)( Si)i ， i ， ii zxPdydz Qdzdx2Rdxdy则RdxdyRdxdy4、计算：一一“一投二代三定号:z z(x, y), (x,y) Dxy, z z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在 上连续，则 R(x,y,z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,为上侧取 “+”为下侧取“-”.Dxy5、两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos dSR 上 dydz y zdzd xdxd y-Pdx Qd yRdz其中 , 为有向曲面 在点

17、(x, y, z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，的方向取外侧，函数P,Q, R在 上有连续的一阶偏导数，则有P QRdxdydzPd ydzQdzdxRdxd yx yz或P Qdxdydz 二 PcosQcosRcos dSx yz2、*通量与散度*通量:向量场A (P,Q,R)通过曲面指定侧的通量为：Pdydz Qdzdx RdxdyAPQR散度：divA -xyz(七)*斯托克斯公式*1、斯托克斯公式：设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线,S 的侧与G的正向符合右手法则P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z

18、)在包含？在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，贝U有d ydzdzdxdxd yxyzPQR为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:Pdx Qdy Rdz*环流量与旋度*2、环流量：向量场A （P,Q,R）沿着有向闭曲线RQPR旋度：rot Ayzzx第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：UnU1U2U3n 1n部分和：必要条件：级数Un收敛 lim unn 1n 3、审敛法nukU1U2U3k 1正项级数：Un，Un0n1交错级数：(1)nUn，Un0n12）级数收敛：若 lim SnnS存在，则称级数3）条件收敛：Un收敛，而Un发散；n 1n 1绝对收敛：Un收敛。n 12

19、、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数 an，bn收敛，则（ann 1n 1n 13）级数 an收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 1G的环流量为门Pdx Qd y Rd zQ Px yUnUnUn收敛，否则称级数Un发散n 1n 1bn ）收敛；0.（注意：不是充分条件！）正项级数:Un ， Un 0n 11)定义:lim SnnS存在;2)Un收敛n 1Sn有界;3)比较审敛法:Un，Vn为正项级数，且Unn 1Vn (n 1,2,3,)4)Vn1收敛，则 Un收敛；若n 1nUn发散，则 Vn1n 1发散.比较法的推论：nUn1收敛，则 Un收敛；若存在正整数n 15)比较法的

20、极限形式:Unn 1Vn为正项级数，若存在正整数m，当n m时,UnVn为正项级数，若n 1Iimnm，当nkVn，Un l(0Vnm 时，unVn发散，则1Un收敛；若1lim %0或n 或limnvn，而nVn发散，则1Unn 1发散.6)比值法：nUn为正项级数，设呷严l，则当In1时,级数Un收敛;Un发散；当11时，级数 Unn 1可能收敛也可能发散7)*根值法:Un为正项级数，设1limnI，则当I1时,级数Un收敛;Un发散；当I11时，级数 Unn 1可能收敛也可能发散8)极限审敛法:Un为正项级数，n 1若 lim n un 0 或 lim n unnn在p 1，使得Iimn

21、np un I (0)，则级数Un收敛.n 1交错级数:kVn，而 Vnn 1Un发散.)，而则当则当，则级数Unn 1Vn收敛,11时，级1时，级发散；若存莱布尼茨审敛法：交错级数：（1）n 1Un，Un 0 满足:Un 1Un (n 1,2,3,)，且 lim Un 0， n则级数 （1）nUn收敛。n 1任意项级数:Un绝对收敛，则n 1n 1Un收敛。收敛，常见典型级数：几何级数:aqno1、2、p -级数:1n 1 np函数项级数定义：函数项级数幕级数:nanX0收敛半径的求法:limn3、泰勒级数发散，收敛，发散，Un（X），收敛域，收敛半径,an 1anf(n)(Xo)f(X)n!展开步骤：（直接展开法）1)求出 f (n)(x),2)求出 f (n)(X0),和函数;R，则收敛半径(X Xo)nn 1,2,3,n 0,120,(n1)nim%(X)nim (n 1)!()(