10静电场中的导体和电介质习题解答

1、第十章 静电场中的导体和电介质选择题1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q（ a F）。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为（）B.qR4 n ;0a2C.q4 n0 (a - R)qa24 no(a - R)解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷zq分布在导体球表面上，且 （ -q ） =0，它们在球心处的电势八一命1点电荷q在球心处的电势为4 n ；oR -qV二亠4 n -0 a据电势叠加原理，球心处的电势V0 =VV所以选（A）2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为匚，如图所示，则板外两侧的电场强度的大

2、小为（）；2 dA . EB.EC.E=D.E=2 ；0；0色2 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2；S，可得E。名0选择题2图所以选（C）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R在腔内离球心的距离为d处（dR，固定一电量为+q的点电荷。用导线把球壳接地后， 再把地线撤去,选无穷远处为电势零点，则球心o处的电势为（）A. 0B.匚4 n ；0dC.q4 n ；RD.解：球壳内表面上的感应电荷为 -q,球壳外表面上的电选择题3图荷为零，所以有V。 qJ)。4冗名0d 4冗Sq R所以选(D )4.

3、半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比CR/ a 为()2 , 2 亠 2 . 2 ,A. R/ rB. R / rC. r / RD. r / R解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q q,因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则Q q 即卫4 n 0 R 4 n ；0rq r-R Q/4:R2 r-r q/4:r2 R所以选(D)5. 一导体球外充满相对介质电常数为 r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E,则导体球面上的自由电荷面密度匚为()A. 0

4、 E B. 0 r E C. r E D. ( 0 0) E解：根据有介质情况下的高斯定理、iiD dS = q，取导体球面为高斯面，则有D S - ； S，即；丁 = D = ；0 ；rE。所以选(B)6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为吕，现断开电源，注满相对介质常数为 r的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是()( 1) ( & 1)A . E0B. - r E0 C. 口 E。D. ( -1)E。解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q不变，D=D即p E00 ；rE得到E =E/ ；r又 D - 0 E PP 二D - ；E 二 0E0 _亟=讥；r

5、 T)e务名r所以选(B)7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较()A.实心球电容值大B.实心球电容值小C.两球电容量值相等D.大小关系无法确定解：孤立导体球电容 C =4n ；0R，与导体球是否为空心或者实心无关。所以选（C8. 金属球A与同心球壳B组成电容器，球 A上带电荷q，壳B上带电荷Q,测得球和壳间的电势差为Ub,则该电容器的电容值为（）A. q/ LAbB.CTLAbC. (q+Q/ S D. (q+Q/(2LAb)解：根据电容的定义，应选(A)。9. 一空气平行板电容器，极板间距为d，电容为c。若在两板中间平行()地插入一块厚度为 d/3的金属板，则其

6、电容值变为A. CB.2 C/3C. 3 C/2D.2 Cd 2 erdU =Ed =(d -；o3）一3 ；。其电容值变为：C，CT S3 ；oS 3CU2二 d2 d23 ；o所以选（C）解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零， 极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？（）A.电容器的电容量B. 两极板间的场强C.电容器储存的能量D.两极板间的电势差解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容CS，改变两极板间的距离 d,则电容C发生变化；两极板间dU12的场

7、强E = U , u不变，d变化，则场强发生变化；电容器储存的能量 We Jeu 2 .d2U不变，d变化，导致电容 C发生变化，则电容器储存的能量也要发生变化。所以选（D）填空题1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为二（x、y、z），则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小 向。解：E（x、y、z）= ；（x、y、z）/ 0,其方向与导体表面垂直朝外（匚0）或与导体表面垂直朝里（T 0）。2.如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导 体板。已知带电面的电荷面密度为 a，则导体板两侧面 的感应电荷密度分别为51和12 cCT1 CT2日 x、y、z）=，其方O解

8、：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：1- =0 ；二1 -。由此可解得：2 ；0 2 ；0(J2 ；oCT；-22CT=23. 半径为R和R的两个同轴金属圆筒（R R），其间充满着相对介电常数为 r的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为 和一，则介质中的电位移 矢量的大小D=，电场强度的大小 E= 。解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有 （2 n r）,电场强度大小 E= D r 0=4. 平行板电容器的两极板 两半分别插入相对介电常数为解：该电容器相当于是两个面积为；0 T11 S填充题2图D= / （ 2 n r 0 r ） OA B的面积均为S,相距为d,在两板中

9、间左右 r1和 r2的电介质，则电容器的电容为 S2的电容器的并联，电容值分别为：；0 ；r2 二 SC 二 2C2 一 d ，山（；r1T2）2d5.半径为R的金属球 A,接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量 为5 X 10j,今将该球与远处一个半径是 存的电场能量变为.C =CiC2R的导体球B用细导线连接，则 A球储解：金属球 A原先储存的能量 W=5 10J,当它与同样的金属球 B2 C2连接，则金属球A上的电荷变为原来的1/2，则能量 W： J （Q/2） =1.25 15J2 C6.三个完全相同的金属球A B、C，其中A球带电量为 Q而B C球均不带电，先使A球同B球接触，分

10、开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地 放置，则A、B两球所储存的电场能量 W、WB，与A球原先所储存的电场能量 W0比较，解:分开后,WA是W0的倍，WB是W的、1 Q2初始A球的电场能量 We =，先使A球同B球接触，则2 C2Qa =Qb Jq , WeB -1 (Q/2)2A球再和C球接触，则 1Qa =QcQ，4一空气平行板电容器，其电容值为场能量为W,今在两极板间充满相对介电常数为此时电容值C=，储存的电场能量Qo7.解：初始时电容C0 J.两极板间充满电介质时，倍。21 (Q/4)1WeAWe2 C16C,充电后将电源断开，其储存的电 r的各向同性均匀电介质，则，充电后将电源

11、断开，Qo不变，由两极板电势差U=Ed二dQ0d U 0；r0 ；rS2.C =Q = TC0W =丄&U 02 C8. 一平行板电容器， 极板面积为为U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的增量为=丄&_2 rCTS,间距为d,接在电源上并保持电压恒定，电源对电场做功为，外力对极板做功为。1小We0QoU 0 2解：初始时，电容器的静电能2于就，将极板距离拉开倍，电容值变为c二至 =-C0，极板间电压不变，.Q =CU0 2d 2此时电容器的静电能 We =QU。= We0 = ! S 2224-CoU-Qo ,2 2U d1 -S 2U4 d1 甬口 22 d 由能量守恒，电源和外力

12、做功的和等于电容器中静电能的改变，W = ：We -W%24d2d电容器中静电能的增量We二We -We01电源对电场做功 W =U q =U(1Q0 -Q。)二2所以外力做的功22 _ ；oSU24d9. 平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电常数为 r的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为 G则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为。（摩擦不计）解：当平板电容器充满相对介电常数为 r电介质时，场强El=上一,心Sr；0 ；r抽出后场强e2；0此时具有的静电能当电介质取出后静电能；0. .1 2 1!2Wi 二WedV0 tEi dVV22；0 ；r.121T2We2 : III we

13、dV0E；dVV22名。由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量1 CT21 CT2CT2V1WeVV(1)2 p2 0 ；r2 p；r三计算题1.如图所示，一内半径为 a、外半径为b的金属球壳，带有电量 Q在球壳 空腔内距离球心r处有一点电荷 q,设无限远处为电势零点，试求： （1）球壳内 外表面上的电荷；（2）球心处由球壳内表面上电荷产生的电势；（3）球心处的总电势。解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电 荷,外表面上带电荷 q+Q（2） 不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因 为任一电荷元离 0点的距离都是 a,所以由这些电荷在 0 点产生的电势为】dq

14、 -q计算题1图V _q :4 neoa 4 neoa（3） 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷q在O点 产生的电势的代数和VQ q4 ne0rq . Q q4 ne0a 4 neobJ1丄丄）Q4 no r a b 4 nob2. 一导体球半径为 R,其外部是一个同心的厚导体球壳，球壳内、外半径分别为R2和R。此系统带电后内球电势为U,外球壳所带总电量为 Q求此系统各处的电势和电场分布。解：设内球带电qi，则由此得qi_ 1 (Q q1 q1 里)4 二；0R3R2 R14 二；0 R1R? R3 U - R R2Qr : Ri:R : r ：R2:R2 : r : R3:

15、R2 R3 - R1 R3 R1 R?U 二U , E =01 Q +q1U(10R31 Q q14二；51 0)R2rrR3 :U =4 二;0R3Q 5U14 二；0rQ 714二;023.在一半径为R=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为 R2=8.0cm , R3=10.0cm。设A球带有总电量 Q=3x 10-8C, 球壳B带有总电量 Q=2x 10-8C。求：（1）球壳B内、外表面上所带的电量以及球 A和球壳 A和球壳解：B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球 A接地。求金属球B内、外表面上所带的电量以及球 A和球壳B的电势。（1

16、）Qb内qb外Ua=-QA =-3 10=Qa Qb =5 10 *CQa Qa Qa Qb3,A A A B =5.63 103VUb40 1R11 Qa Qb3 A B =4.5 10 VR2R34 二；0（2）B球接地后断开, 地，则内球电势U A =0 , qAR3贝UB球的带电量为QB二-3 10 C，然后内球接设此时内球带电量为qA则有丑Qb qA =04：w0R1 4：20R24 0 R3解得：qA年旦 2.12 10%1 1 1T-R| R2 R3qB内二 7a = -2.12 10 “C ;qB外二 qb qA - i.88 10 “CUb =QB qA - -7.92 10

17、2V4 瓏 0R34. 电荷以相同的面密度:分布在半径为ri=10cm和2=20cm的两个同心球 面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V)=300V。(1) 求电荷面密度 匚；(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？解：(1)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即2 2V 津 亚)C4 4nl2S(rl r2)4兀。1r4 n 0i2 0二=8.85X 10-9 C/m2i r2(2)设外球面上放电后电荷面密度为L,则应有V0二丄(；乃：2)=00即 厂-一3二，所以外球面上应变成带负电，共应放掉电荷:22丨1Qq =4nr2 () =4冗 r2二(

18、1)=4冗；rr2r2)=4冗 0V0r2=6.67X 10 Cr25. 有两块平行板，面积各为100 cm2板上带有8.9 x 10-C等值异号电荷，两板间充以介电物质，已知介质内部场强为1.4 x 106V,求：(1)介质的相对介电常数；(2)介质表面上的极化面电荷Q。解：(1)由电介质中的高斯定理得D =ct =Q =8 9=b,即可忽各边缘效应。求：（1）圆柱形电容器的电容；（2）电容器贮存的 能量。解：由高斯定理，两筒之间的场强QE 二2n sos Lr两筒间的电势差bqU E.dran S 0 r L电容 C =Q =2冗 SSrLU in)a1电容器贮存能量WCU22Q24冗s 丄lnba计算题14图2 2SOS r r14. 同轴电缆由导体芯线和同轴的圆筒形导体外壳构成，中间充以各向同性均匀电介质，其横截面如图所示。芯线半径R=6.0mm,外壳内半径 R=15mm介质的相对介电常数