数学课程标准的若干思考

1、数学课程标准的若干思考史宁中(东北师范大学 长春 130024)编者按 史宁中教授是数理统计学家. 自 1998 年担任东北师范大学校长后,他对中小学教育做过深入的思考,并于 2005 年开始主持教育部九年义务教育数学课程标准的修订工作. 史校长将学校的主要培养目标定位于教师的职前教育,主张数学教师的培养要注重专业课的学习,将教育理念渗透到课程当中. 目前东北师大数学系的毕业生遍布于全国各地的中学,包括各大城市的许多重点中学,这件事情成为他的骄傲.本文根据史校长 4 月 14 日在宁波数学教育高级研修班上的报告记录和 4 月 26 日访问北京师范大学的座谈记录整理而成.1 制定数学课程标准的目

2、的为什么要制定课程标准呢 ?为什么要进行如此大规模的课程与教学改革呢?有的人说是要解决应试教育的问题,有人说要减轻学生的负担, 还有人说要激发学生学习的兴趣等等, 有各种各样的理由. 但是我想这些都不是根本. 教育的好坏取决于两条:第一,是不是有利于学生的发展;第二,是不是有利于国家的发展. 如果教育既有利于学生的发展又有利于国家的发展,即便辛苦一点也没什么了不起的.我之所以说这些,是因为在讨论问题时应当遵循一个原则,也就是在考虑任何问题时应该有个很好的出发点,这个出发点应当是大家公认的标准.关于学生发展的需要我不想谈的更多,过去的教育是一种专业人才的培养,专业人才的培养适应于计划经济. 但是

3、对市场经济来说,学生毕业之后的工作、求职往往是会变化的, 而且要更多地尊重本人专业的志向,因此要采用自主发展的人才培养模式.第二就是国家发展的需要. 现在国家最需要的是创新人才,为什么呢 ?因为中国的经济已经得到了快速的发展,要保持这个速度发展, 创新是很重要的. 新的思想、新的工艺、新的技术很重要,所以创新人才的培养是国家重要的发展战略.创新人才应该在基础教育阶段开始培养,这个想法已经被国家采用了. 过去大家误认为创新型人才都是在大学或者是工作之后才培养的, 其实不然. 为什么呢 ?创新最起码依赖于三个条件,创新意识、创新能力和创新机遇. 事实上创新意识、甚至创新能力都是在基础教育阶段培养.

4、 一个在18 岁之前一个问题都没有认真思考过的孩子是不可能成为创新型人才的. 所以在基础教育阶段应该培养学生的创新意识和创新能力,这是我们研制课程标准和未来教学的最基本的出发点.2 创新能力的基础创新能力依赖于三方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要. 关于“知识的掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的;关于“经验的积累”, 大概还差得很多; 关于“思维的训练”,我们做得也不够,只能打五十分. 那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作. 我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验,没有这样的意识.我今天主要谈一谈思维训

5、练. 思维训练主要靠两个能力,一个是演绎能力,一个是归纳能力. 爱因斯坦说过:“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础,希腊哲学家发明的形式逻辑体系(在欧几里德几何中) ,以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系 (在文艺复兴时代, 特别是工业革命以后) .”前者指的是演绎能力,后者指的是归纳的能力.3 我国教育的现状回忆我们的数学教育,特别是50 年代的数学教育,我们强调数学的双基. 双基主要是基础知识和基本技能. 基础知识本质上是概念的记忆和命题的理解,要求基础知识扎实;还要求基本技能,主要是证明的技能和运算的技能;要求熟练. 这是我们当时整个教育的状况,也就是说我国的数学教育主要关注的是演

6、绎能力的培养. 关于这一点, 杨振宁先生深有体会. 他在我的生平中说“:我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作,我在中国学到了演绎能力,在美国学到了归纳能力.”不仅仅是杨振宁先生, 许多留学生都有同感,不管他们是否作出了卓越的成绩, 他们的感受是一样的. 事实上,我国古代传统数学的基础是归纳推理,因为在古代中国根本就没有演绎推理, 一直是归纳、计算. 但是现在归纳少了,演绎反而多了. 演绎从康熙时代翻译几何原本开始到现在也不过几百年历史,但是现在却占了主导. 为什么会出现这种情况 ?我想大概演绎和中国上千年的科举考试关系密切. 因为科举要求的是基本功扎实, 知识记忆的牢靠和八股文

7、的写作. 演绎方法与此有相似之处.现在,很多中学提出来,数学问题应该“一看就会、一做就对”. 怎么能这样呢 ?不经过思考的不是数学,数学不是技能训练. 一定程度的熟练是必要的,但是过分强调就走向反面. 所以我这次跟教育部很认真地提出来,要不然增加考试时间, 要不然减少考试题目. 只要学生经过思考能够答出就是好样的.演绎能力是能够熟练使用演绎推理的能力. 演绎推理来源于什么呢 ?来源于亚里士多德. 当时的古希腊非常盛行辩论, 在辩论过程中, 亚里士多德发现两个事情需要清楚, 第一, 大家讨论问题得有一个脱离逻辑背景的公认前提;第二, 在讨论过程中必须有一个大家都认为可行的推理的办法,然后再来推理

8、. 亚里士多德对这个进行了总结, 并将其写入工具论这本书里. 他提出了著名的三段论,即大前提、小前提和结论. 这个方面他有一个非常重要的推理的模式,这个模式之一就是:凡人都会死,苏格拉底是人,苏格拉底会死.凡人都会死是大前提, 苏格拉底是人是小前提,苏格拉底会死是结论. 这是一种标准的三段论模式. 这是一种前提和结论之间有必然性联系的推理,是基于概念、按照规则进行的一种推理,是由一般到特殊的推理. 欧几里德把这个思想成功地用到了几何学的研究上, 创立了几何公理化体系, 即欧氏几何.欧几里德几何是现代数学推理的典范,甚至是开源. 它的演绎推理是基于公理、定义和符号的,按照规定的法则进行命题的证明

9、或者公式的推导. 从这个意义上来说,计算也是一种演绎的推理, 因为计算也是对符号在规定的法则下进行的一种推理.其基本推理模式是这样的:已知 a 求证b ,a 和b 都是确定的命题,是由确定的命题到确定的命题的一种推理. 我们往往认为几何证明是数学的本质, 这是不正确的. 克莱因说,推理本身是个工具. 逻辑可以是数学的标准和约定, 但不是它的本质. 演绎推理的主要功能在于验证结论而不在于发现结论,由一般到特殊的推理本质上在于验证结论.前些年我写了篇文章, 提出个问题:数学到底是发明的还是发现的 ?事实上, 在一个体系之下作出任何结果都是显然的. 为什么呢 ?因为这个结果在体系中必然存在的,只是你

10、发现它而已. 所以体系建立有好处也有坏处. 它的好处在于讲课可以很规范,坏处在于任何东西都是显然的. 所以忙于建立一个体系不是什么好的事情.下面我举例说明.先讲分类. 分类是很重要的. 可以给小学三年级以下的学生出这样的题目:自己选择某一个标准将全班同学分成两类,并与同学交流分类的标准和分类的结果. 分类有个基本的原则,能把类分出来,分类之后得到的结果和标准符合就行, 无所谓对错. 分类在数学中是很重要的, 一个好的分类必须抓住事物的本质特征. 对于这样的问题,答案是无所谓对错的,只要分类的结果与分类的标准一致就可以. 这种问题可以让学生体会到, 标准是可以自己定的,这种思维是创新的根本. 如

11、果所有的发明创造都是在别人的标准下的发明创造,这是要吃亏的,我们要突破这些. 所以从小要教给孩子们:数据可以自己获取,标准可以自己定, 结论也可以自己给.下面是北大附中张思明老师给出的例子:如图所示, 桌子上散落着各式各样的扣子, 请同学们想一想能把这些扣子分成几类 ?分类的标准是什么？这个问题难一些, 可以按照扣子的颜色分类,也可以按照扣子的眼数或形状分类, 让孩子们来分.不管开始是怎么分的,这样分下去,分到一定程度后,结果是一样的. 让学生知道,可以从不同角度思考问题,这都是归纳. 分类基本思想:从一个大前提出发分出两类,再细分,标准逐渐加细,但最后结果一样.到了初中阶段,问题就可以更复杂

12、了:某电视台希望了解本地区居民喜欢的电视节目的类型,请同学帮助设计一个调查方案.这个问题就十分复杂了,不同年龄段的人喜欢的节目不同,光知道这个还不行, 还得知道不同年龄段的人数占总人口的比例;涉及到不同文化背景及其所占比例; 涉及到不同类型的人看电视的时间;涉及到需要调查的人数等等. 在做这个调查之前要把方案设计得很周密, 分类分得很仔细,把这个特性抓住. 但是,这个问题的核心还是在于标准和结果的关系. 学生通过类似这样的贯穿始终的训练,是能够逐渐领悟归纳的思想的.下面说归纳. 归纳这种思想方法与分类有关,归纳的基本思路是:在一类事物中,如果我们考察的所有事物都有性质 a ,则认为这类事物都具

13、有性质 a.归纳思想在代数的研究中体现得非常多. 比如高斯曾说,在数论中由于意外的幸运颇为经常,所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理. 欧拉则认为,今天人们所知道的数的性质, 几乎都是由观察所发现的 这类知识是通常所说的用归纳所获得的. 包括哥德巴赫猜想、费尔马大定理. 下面举一个代数的例子:在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16 个,如果椅子腿与凳子腿加起来共有60 个,有几个椅子和几个凳子？这是“鸡兔同笼”的问题的变形, 但是椅子和凳子相差一条腿,问题相对简单了一些. 老师在教的时候要灵活一些, 不要显得太聪明,要让学生思考. 对于低年级学生,可以让学生列表尝试：这个方法看起来很笨

14、拙, 实际上很好, 因为这是归纳. 只要掌握了这种方法, 孩子们碰到新问题就会这样来思考了. 不要一开始就讲道理, 孩子就没有时间思考了.到了高年级,可以仍然用尝试的方法列出方程再比如, 级数求和(数学归纳法)虽然可以用数学归纳法证明,但得事先知道结论,必须先拿数试一试,然后再用数学归纳法。b ( n) / a ( n) = (2 n + 1) / 3b ( n) = a ( n) (2 n + 1) / 3 = n( n + 1) (2 n + 1) / 6对于平方和的情况,我们用 b( n) 除以 a( n) 试一试,就会发现一组比较有规律的数,我们可以猜测一般的结果,然后用数学归纳法验证

15、。对于立方和的情况,试一下,发现更简单. 事实上通过这种方法可以得到更一般的结果对于 k 次方和的情形,我们猜测是一个的式子,再通过代入 n个数求出系数,从而确定这个方程.看看几何中的例子,观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱锥,我们发现多面体的欧拉公式:f(面) + v (顶) = e(棱) + 2.再谈类比. 类比是指,一个事物具有性质 a、b、c,就有结论 d;还有一个事物也具有性质 a 、b 、c,也有结论 d. 又有一个事物也具有性质 a、b、c,它是否也有结论 d 呢 ?这与归纳有所不同. 类比主要用在几何里. 开普勒说过:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师, 它能揭示

16、自然界的秘密,在几何中它应该是最不容忽视的.”比如, 平面上三条直线可以形成一个封闭图形;空间上四个面可以形成一个封闭图形. 还有庞加莱猜想.这些也许就是“过程的教育”,让学生自己探索答案,而不一定是通过讲道理分析出答案. 通过“道理”直接给出公式固然是好的,但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段,特别是能够帮助学生更直观地理解“道理”. 教师在讲课的时候不能太聪明,教师可以与学生一起探索尝试,这是归纳推理的手法, 也是我们过去的数学教育忽视的地方.6 如何改变标准我想基础知识、基本技能还是必要的, 在此前提下还要加上基本思想和基本活动经验. 希望能够继续保持促进学生理解数学

17、的基本知识,训练学生掌握数学的基本技能之外,要启发学生领会数学的基本思想,积累数学活动的基本经验. 教学时间是有限的,如果加上新的东西就必须对老的东西进行改造,要节省出时间和空间. 首先,我们要去掉一些形式化的东西,应当清楚:形式不等于逻辑. 过分强调形式化不利于学生思考,这种方法会把数学搞歪了,就会走向八股. 形式化适用于判卷,对判断学生是不是清楚地理解了知识是有利的,但不适于学生思考. 过分地强调形式就把逻辑的本身掩盖了. 其次,我们还应当清楚技巧不等于技能,现在反复训练的是技巧而不是技能. 技巧是对一个具体例子或很窄的范围才适用的方法. 技能是能举一反三的,而技巧是个案的. 我们现在训练

18、过多的是技巧, 学生因此很累. 比如绝对值中出现字母的情况, 我们的老师往往会把问题出的很难,最后不知道是在考察绝对值还是考察方程的解. 还有韦达定理. 我们需要考的是技能而不是技巧.7 关于基本思想“基本思想”主要是指演绎和归纳,这应当是整个数学教学的主线, 是最上位的思想. 演绎和归纳不是矛盾的,其教学也不是矛盾的, 通过归纳来预测结果,然后通过演绎来验证结果. 在具体的问题中,会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想, 但最上位的思想还是演绎和归纳. 之所以用“基本思想”而不用基本思想方法,就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别. 每一个具体的方法可能是重要的

19、,但它们是个案,不具有一般性. 作为一种思想来掌握是不必要的,经过一段时间,学生很可能就忘却了. 这里所说的思想,是大的思想, 是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法.结束语如果在我国中小学数学教育中, 一方面保持“数学双基教学”这个合理的内核,一方面添加“基本思想”和“基本活动经验”,出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式,就必将会出现“外国没有的我们有、外国有的我们也有”的局面,到了那一天,我们就能自豪地说,我国的基础教育领先于世界.我的大学爱情观1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园

20、的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴

21、情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感

22、情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次