在函数定义域教学中培养学生的思维品质

1、在函数定义域教学中培养数学的思维品质 内容概要：本文通过函数几个重要知识点的教学（函数的解析式、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性）与函数定义域的关系，培养学生的思维能力，拓宽他们的思维时空，使得学生的思维品质得到提高，从而提高解题能力。 关键词：函数定义域教学 思维品质 函数解析式 函数的最值 函数的值域 函数单调性 函数奇偶性 函数周期性 函数作为高中数学的一根主线，贯穿于整个高中数学的始终，其中有数学中重要的数学思想方法如：函数与方程思想、数形结合思想等。函数的概念，定义域，值域，解析式是函数的基础，也是高考的热点。其中，函数的定义域是函数存在的基础，是进一步研究函数值域、奇偶性、单调性

2、、周期性等性质的前提。然而在教学过程中我发现很多学生在解题时对定义域经常不加以注意，不是漏了考虑就是考虑错误，从而在解题过程中出现各种各样的错误。所以我们在教学中一定要强调定义域对解题结论的作用与影响，这不仅能提高学生解题能力，更对提高学生的数学思维品质提供帮助。 思维品质是指个体在思维活动中智力特征的表现，也就是人与人之间的思维活动上表现的差异，它包括思维的严密性、思维的独立性与批判性、思维的广阔性与深刻性、思维的逻辑性、思维的灵活性与敏捷性等品质。本文从求解函数解析式、最值(值域)、单调性、奇偶性、周期性等各方面分别阐述函数定义域对于它们的影响与数学思维品质的培养。一、结合实际确定函数解析

3、式的定义域，体现学生思维的严密性函数解析式包括定义域和对应法则，所以在求函数解析式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：例1：等腰三角形的周长是20 ，底边长是腰长的函数，写出这个函数解析式。 解：由题意易得函数解析式为： 但是作为三角形的腰长和底边， 和 都应该是正数，即 ， 而且三角形两边之和大于第三边 ，所以 ，即函数解析式为 ： （） 很多学生在解这道题时总是写到对应法则时就认为结束了，其实此时本题的函数关系式还欠完整，因为还没有自变量的范围，也就说学生的解题思路不够严密。这个例子告诉我们，在用函数方法解决实际问题时，函数定义域应该由问题的实际意义确定。

4、在教学中，教师应该引导学生理解并充分认识到应用问题中自变量的实际意义，从而不断提高学生思维品质的严密性。 二、 从定义域引导出函数值域，凸现学生思维的批判性函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之确定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域的影响。如：例2、 求函数的值域误解：又 值域为正解：原函数的定义域为在中由，得又由，得值域为以上例子说明，自变量的允许范围是何其重要，若能发现变量隐含的取值范围，仔细检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在做好题目后，检验得到的结果，善于找出和改正自己的错误，便体现出良好的思维批判性。 三、 辨识

5、定义域与函数最值的关系，提高学生思维的灵活性 函数的最值是指函数在给定的定义域上能否取到最大或最小值的问题。即便函数解析式相同，其定义域的不同也直接导致最值的改变，所以如果不注意定义域，将会导致最值的错误。例3：求函数在1，4上的最值 解： 当时，很多同学的解题过程和上面的没有区别，产生这种错误的根源 在于学生脑海中的二次函数图像总是一根完整的抛物线，而没有注意 到定义域的改变已经导致函数图像不再是完整的抛物线了。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况： 当时，在上单调递增函数； 当时，在上单调递减

6、函数； 当时，在上最值情况是：， 即最大值是中最大的一个值。故本题要重新做下去： ， 又 函数在1，4上的最小值是0，最大值是33 这个例子说明教学过程中碰到最值问题必须不断强调应该在定义域范围内进行考虑，设法克服学生的某些思维定势，注重多角度思维，培养学生思维的灵活性。四、在定义域范围内讨论函数单调性，培养学生思维的深刻性函数单调性是指函数在给定的定义域的某一区间上，当函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例4、求函数的单调区间误解：设， 是增函数，在区间上是减函数；在上是增函数原函数在上单调递减；在上单调递增。正解：由，得函数的定义域为

7、D=设，是增函数，在区间上是减函数；在上是增函数原函数在上单调递减；在上单调递增。从上面的例题可以发现，在做题时很多学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，这说明学生对函数单调性的概念一知半解，因而在做练习或作业时，只是对题型套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。 五、判断函数奇偶性时定义域先行，培养学生思维的全面性判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则再用奇偶性定义加以判断函数的奇偶性。如：例5、判断函数的奇偶性。误解： ，是奇函数。正解：当时，有意义，而当

8、时，无意义。函数的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数。 事实上，函数的定义域可求解如下： 由，得，即函数的定义域为显然定义域不关于原点对称，因此是非奇非偶函数。 若学生用这样的过程解完这道题目，就说明学生考虑问题非常全面，体现出学生解题思维的全面性。所以在教学过程中，我们要不断强调学生在解决函数奇偶性问题时注意定义域的对称性问题，从思维层面来尽量避免此类错误的发生。六、在定义域范围内讨论函数周期性，培养学生思维的敏捷性例6、求函数的周期误解：函数的周期为正解：先求函数的定义域由 ，得 函数的定义域为的图象如下：yOx 的周期为定义域在变形过程中缩小了，从而导致了错误的发生。综上所述，在求解函

9、数关系式、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性等问题中，若能仔细地回顾思维过程，检查函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性，进一步使得整个数学思维活动顺利进行。当然，函数的问题不仅于此，它还有很多更为精彩和深刻的内容，函数的定义域只是作为一个基础。如果基础没有掌握好，对于整个函数内容的良好掌握肯定要产生很大的影响。苏霍姆林斯基说，在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是发现者、研究者、探索者，而在学生的精神世界中这种需要特别强烈。我们的教学过程如果能够拉长学生