大学物理刚体的转动

1、1、刚体的运动、刚体的运动 平动平动：刚体在运动中，其上任意两点的刚体在运动中，其上任意两点的 连线始终保持平行。连线始终保持平行。 A A A B B B 5-1 刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述 转动转动：对：对点点、对、对轴轴（只讨论（只讨论定轴转动定轴转动） 定轴转动定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都：各质元均作圆周运动，其圆心都 在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元 的线量一般不同（因为半径不同）但角量的线量一般不同（因为半径不同）但角量 （角位移、角速度、角加速度）都相同。（角位移、角速度、角加速度）都相同。 刚体内所有质元都

2、绕同一直线作圆周运动。刚体内所有质元都绕同一直线作圆周运动。 O转轴转轴 刚体刚体 在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理 想模型。想模型。物体内任意两点间的距离都保持不变。物体内任意两点间的距离都保持不变。 可以将物体简化为刚体的两种情况：可以将物体简化为刚体的两种情况：1）物体不变形。物体不变形。 2）物体各部分间相物体各部分间相 对活动范围很小对活动范围很小(此时物体的变形显得并不重要此时物体的变形显得并不重要)。 第5章 刚体的定轴转动 2.定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 转动平面转动平面转轴转轴 参考参考

3、 方向方向 P X Q P X X 各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同 描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。 既平动又转动：质心的平动加绕既平动又转动：质心的平动加绕 质心的转动质心的转动 A A 5-2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 (一一)、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩 frM z Z 2 f r P O 转动平面转动平面 1 f f (2) Z f r P d O z M 转动平面转动平面 (1) sinfrM z 方向如图方向如图

4、 对对 mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律： 切向分量式为：切向分量式为： Fisin i+fisin i= miait 外力矩外力矩内力矩内力矩 (二二)、转动定律、转动定律 iiii amfF z O ri fi Fi mi i i 两边乘以两边乘以riait=ri 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF 对所有质元的同样的式子求和：对所有质元的同样的式子求和： 一对内力的力矩之和为零，所以有一对内力的力矩之和为零，所以有 令令J mi ri2 J(或或 I）为刚体对于定转轴的为刚体对于定转轴的转动惯量转动惯量 用用M表示表示合外力矩合外力矩则有则有 MJ 只与刚体的形状、质量分

5、布和转轴位置有关只与刚体的形状、质量分布和转轴位置有关 JM 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 （第二转动定律）（第二转动定律） 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚 体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。 Fi sin i+ fi sin i = ( mi ri2 ) i r i r Fi sin i = （ mi ri2） i r MJ 与与 amF 地位相当地位相当 m 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性， J 反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性 (三三)、转动惯量、转动惯量 与转

6、动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素： 刚体的质量刚体的质量 转轴的位置转轴的位置 刚体的形状刚体的形状 实质与转动惯量有关的只有前两实质与转动惯量有关的只有前两 个因素。形状即质量分布，与转个因素。形状即质量分布，与转 轴的位置结合决定转轴到每个质轴的位置结合决定转轴到每个质 元的矢径。元的矢径。 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 J mi ri2 刚体定轴转动的第一转动定律：如果刚体不受到力矩作用，刚刚体定轴转动的第一转动定律：如果刚体不受到力矩作用，刚 体将保持静止或匀角速转动状态体将保持静止或匀角速转动状态 平衡状态

7、平衡状态 即即 若若 M0 则则 =0 ，=C i iir mJ 2 若质量连续分布若质量连续分布 dmrJ 2 在（在（SI）中，）中，J 的单位：的单位：kgm2 dldm dsdm dVdm 质量为线分布质量为线分布 质量为面分布质量为面分布 质量为体分布质量为体分布 其中其中 、 、 分别为分别为 质量的线密度、面密质量的线密度、面密 度和体密度。度和体密度。 线分布线分布体分布体分布 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到 转轴的距离平方的乘积之总和。转轴的距离平方的乘积之总和。 面分布面分布 注注 意意 只有对于

8、几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体， 才能用积分计算出刚体的转动惯量才能用积分计算出刚体的转动惯量 1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯的均匀圆环的转动惯 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解解: 222 mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若为是可加的，所以若为 薄圆筒（不计厚度）薄圆筒（不计厚度） 结果相同。结果相同。 RO dm 2、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过

9、盘心。 解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环, lrdrdm 2 drlrdmrdJ 32 2 Z O R lRdrlrdJJ R 4 0 3 2 1 2 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对无关。所以，实心圆柱对 其轴的转动惯量也是其轴的转动惯量也是mR2/2。 2 2 2 1 mRJ lR m 3、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。轴的转动惯量。 A B L X A B L/2L/2 C X 解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm= dx 12 2 2 2 2 /mLdxxJ L LC 3 2 0

10、2 /mLdxxJ L A 平行轴定理平行轴定理 前例中前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行，相距平行，相距L/2。可见：。可见： 222 2 3 1 4 1 12 1 2 mLmLmL L mJJ CA 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为平行，相距为d，刚体对其转动惯量为，刚体对其转动惯量为J， 则有：则有：JJCmd2。 这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。 右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端 且与

11、棒垂直的轴的转动惯量且与棒垂直的轴的转动惯量 如何计算？如何计算？(棒长为棒长为L、圆半、圆半 径为径为R） 2 1 3 1 LmJ LL 2 5 2 RmJ oo 2 00 2 002 )(RLmJdmJJ L 222 5 2 3 1 )(RLmRmLmJ ooL L m O m (四四)、刚体定轴转动的转动定律的应用、刚体定轴转动的转动定律的应用 例例、一个质量为、半径为、一个质量为、半径为 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面的定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑轮绕有细绳，绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为的物边上，另一端挂一质量为的物 体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体

12、而下垂。忽略轴处摩擦，求物 体由静止下落高度时的速度体由静止下落高度时的速度 和此时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。 mg 解：解： RamaTmgm :对对 2 2 1 MRJJTRMM：对对 Mm mgh RR v 2 41 例例2、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为69kg， 半径为半径为0.25m,正在以每分正在以每分1000 转的转速转动。现在要制动飞转的转速转动。现在要制动飞 轮，要求在轮，要求在5.0秒内使它均匀秒内使它均匀 减速而最后停下来。求闸瓦对减速而最后停下来。求闸瓦对 轮子的压力轮子的压力N为多大？为多大？ 2 4 2 Mm mgh ahv g M m m a 2 解

13、方程得： F 0 解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度 t 0 2 0 rad/s920s5 0 rad/s7104r1000 . .min/ t 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。 2 mRJNRRfM r 2 mRNR N784 mR N 0 N fr 例例3、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其的均匀细直棒，其 一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖 直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求 它由此下摆它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加

14、速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，解：棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对外力矩为重力对O的力的力 矩。矩。 棒上取质元棒上取质元dm,当当 棒处在下摆棒处在下摆 角时角时，重重 力矩为：力矩为： xdmggxdmM X O dmg dm x 重力对整个棒的合力矩与全部重力对整个棒的合力矩与全部 重力集中作用在质心所产生的重力集中作用在质心所产生的 力矩一样。力矩一样。 coslxc 2 1 cosmglM 2 1 l g ml mgl J M 2 3 3 1 2 1 2 cos cos C mgxM C mxxdm据质心定义 mg C dmg X O dm xc d d J dt d d

15、d J dt d JJM 2 1 cosmglM代入 dJdmgl cos 2 1 00 2 1 dJdmgl cos 2 2 1 2 1 Jmgl sin l g J mgl sinsin3 dJMd 5-3 5-3 刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理 （一）、（一）、力矩的功力矩的功 |cosrdFrdFdW 称为力矩的功。称为力矩的功。 rdF cos MrFFF t coscos MddW MdW 力矩作功是力作功的角量表达式力矩作功是力作功的角量表达式 x O P rd d r F ( (二二) )、转动动能、转动动能 i ii i iiK rmvmE 22 2 1 2 1 )(

16、刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为： 222 2 1 2 1 Jrm i ii )( (三三)、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能变化的原因可以用刚体定轴转动的动能变化的原因可以用 力矩做功的效果来解释。力矩做功的效果来解释。 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ 2 1 dJ dt dt d J 2 1 d dt d J 2 1 2 1 Md 12KK EEW 上式即为：上式即为： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做 的功等于刚体的转动动能的增量。的功等于刚体的转动动能的增量。 定轴转动的动能定理定轴转

17、动的动能定理 ( (四四) )、刚体的重力势能、刚体的重力势能 h hi hc x O m C m 一一个质元：个质元： ii ghm i i iP hgmE 重 c i ii mghhmg )( 整个刚体：整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部 质量都集中在质心时所具有的势能。质量都集中在质心时所具有的势能。 对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中只有保如果在运动过程中只有保 守内力作功守内力作功, ,则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。 常量 c mghJE 2 2 1 例例、一个质量为、半径为的定、一个质量

18、为、半径为的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为的物体而下垂。忽略轴处一质量为的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体由静止下落高度时摩擦，求物体由静止下落高度时 的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。 解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律： Mm mgh vRv 2 4 可解出 22 2 1 2 1 mvJmgh 上次的例题另解如下：上次的例题另解如下： 5-4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 一、质点的角动量（动量矩）一、质点的角动量（动量矩） 0 9

19、0 r L p O d m 1.用叉积定义用叉积定义 角动量角动量 prL sinmvrL v r m 角动量方向角动量方向 角动量大小角动量大小 L r p 方向用右手螺旋法规定方向用右手螺旋法规定 m O r p L 0 90 2 mrmvrprL 0 90 r L p O d m sin sin sin 2 mr mvr prpdL 质量为质量为m的质点做圆周的质点做圆周 运动时对圆心的角动量运动时对圆心的角动量 质点的动量质点的动量p和和 矢径矢径r不互相垂直不互相垂直 xyz zxy yzx ypxpL xpzpL zpypL 2.直角系中角动量的分量式直角系中角动量的分量式 二、力

20、对定点的力矩二、力对定点的力矩 质点的角动量定理质点的角动量定理 sinFrFdMo o M r F o d FrM o 方向用右手螺旋法规定方向用右手螺旋法规定 1.力对定点的力矩力对定点的力矩 xyz zxy yzx yFxFM xFzFM zFyFM 2.直角系中力矩的分量式直角系中力矩的分量式 B dt Ad dt Bd ABA dt d )( * 微分公式微分公式 Frpv dt Ld LM o 角动量定理角动量定理 o MFr prprL 3.质点的角动量定理质点的角动量定理 dt dL M dt dL M dt dL M z z y y x x *直角系中直角系中角动量定理角动量

21、定理的分量式的分量式 (质点对轴的质点对轴的角动量定理角动量定理) （*质点对轴的质点对轴的角动量守恒定律角动量守恒定律) 冲量矩冲量矩 1 2 LLdtM o 三、三、 角动量守恒定律角动量守恒定律 - L 常矢量 Lmvrm r t r m r r t m S t sinsin sin 2 1 2 2 m L v r r 开普勒第二定律开普勒第二定律行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过 相等的面积。这个结论也叫相等的面积。这个结论也叫等面积原理等面积原理。 行星受力方向与矢径在一条行星受力方向与矢径在一条 直线（中心力），故角动量守恒。直线（中心力），故角动

22、量守恒。 dt Ld LM o 0 o M 若若 涡旋星系涡旋星系 四、刚体的角动量四、刚体的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 ( (一一) )、刚体的角动量、刚体的角动量 Z i v i r i m vmrPrL 质点对点的角动量为：质点对点的角动量为： 刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕固定轴绕固定轴 做圆周运动角动量为做圆周运动角动量为： iiiiii mrvmrL 2 所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为： JrmLL i ii i i )( 2 ( (二二) )、刚体的角动量定理、刚体的角动量定理 dt d JJM 转动定律转动定律 dt Ld dt Jd M

23、 )( LddtM 0 t t 00 JJLddtM L L 冲量矩（角冲量）冲量矩（角冲量） 表示合外力矩在表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。时间内的累积作用。 作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。 角动量定理角动量定理 单位：单位： 牛顿牛顿米米秒秒 J J改变时改变时 00 JJL ( (三三) )、角动量守恒定律、角动量守恒定律 )(. , CJLL M dt Ld M 0 0 即常量则 中，若在 M M=0=0的原因，可能的原因，可能F F0 0；r r=0;=0;Fr.Fr.在定轴转动中在定轴转动中 还有还有M0M0，但它与轴平行，

24、即但它与轴平行，即M Mz z=0,=0,对定轴转动没有对定轴转动没有 作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。 当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量 保持不变。保持不变。 应用角动量守恒定律的两种情况：应用角动量守恒定律的两种情况： 1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。 00 0 则时，当,JJM 2、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。 保持不变就增大，从而减小时，当 就减小；增大时，当 JJ J 例例1 1、如图所示、如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静的子弹以水平速度射入一静 止悬于顶端长棒的下端止悬于顶端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出求子弹穿出 后棒的角速度后棒的角速度 。已知棒长为。已知棒长为l, ,质量