物理竞赛光学试题

1、1 例1、证明：入射到光纤一端的光线锥的最大夹角为 2 2 2 1 arcsinnn 2 n1 n2 证明： i1 i2 两次折射关系： 11 cossinin 2211 sinsininin 角越大，i1 越小， i1 必须大于临界角 1 2 1 arcsin n n ii c结果得证 2 例2、设曲面 S 是有曲线 CC 绕 X 轴旋转而成的。曲面两 侧的折射率分别为 n 和 n，如果所有平行于X 轴的平行光 线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像 差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n = - n， 结果如何？ C C O X Y 解： F f A B 分

2、析解本题可用折 射定律求曲面法线方程的 方法，再结合已知条件， 可求得CC曲线方程。 用等光程原理求解本题更简单 nn 3 C C O X Y Ff A B (x, y) 选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴入射 的光线; nn 等光程： OFnBFnABn 几何关系：xAB 2 2 yxfBF CC曲线方程： fOF 02 22222 fxnnnynxnn n = - n 时： fxy4 2 椭圆方程 抛物型反射镜 4 例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发 光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如 图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发 生全反射，

3、介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全 国中学生物理竞赛题） R 发光区O n r n ic 1 arcsin 解： 第一步：全反射条件 5 O A P B 第二步：反射光的几何性质 考察任意一点 A 发出的 光线在球面上任意一点P 反 射后的光线 因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上 P R B R P 点的法线沿 PO 方向 反射线、折射线、法线三者共面 A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交 6 第二步：数学推导 EF R O n r P EO区内E点光线的入射角 iE最大，同样FO区内F点的 光线的入射角iF最大;

4、 iEiF 求 F点光线的最大入射角 n ii cF 1 arcsin max 不发生全反射: R r iFarcsin max 如果 P 点在右半边，则有 iF iE , P 点在左边,则反之; EP EOP r iE sinsin FP EOP FP FOP r iF sinsinsin FPEP nrR r R OFP iF sin sin 7 例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部 扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内 为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮 点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观 察可看到亮点的条件（液

5、槽有足够的宽度；罩璧极薄，可 不计它对光线产生折射的影响） （第13届全国中学生物理竞赛予赛题） 解： AB D n = 1 n C q 在液面上折射时，所 有光线都发生全反射时， 则光线出不来。 8 A B D n = 1 n C q b g 全反射条件： n C 1 arcsing E F 三角几何关系 E点和F点法线的夹角 DB和水平方向的夹角： 只要 g 的最小值小于临界角， 则总会有光线出来 bsinsinn g 最小 b 最大 C点发出光线 CD的 最大 q 2 max 11tan 2 nq q bg 2 9 例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射， 若平板折射率

6、按 变化，q 为常数，并在 A 点以 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板的厚度。 qxn41 0 A OX Y d 解： 折射定律决定光线在每一点的 方向，从而确定光线的轨迹； 介质折射率连续变化，可将平 板沿 X 方向切成一系列薄片，对 每层薄片应用折射定律。 折射定律的级联形式： AAxx nnnnbbbsinsinsin 110 bx qxnnx41 0 10 A OX Y d AAxx nnnnbbbsinsinsin 110 bx qxnnx41 0 P(x, y) P点光线的方向由bx 决定: qxn n x x 41 1 sin 0 b P点光线的切线斜率 kp : qx

7、k xp 4 1 tanb 曲线 y = f(x)与斜率 kp： dx dy k p A点的条件： bsin90sin A o A n A A n n0 sinb 和 q x y 2 光线轨迹方程： 22 0 sinnnA 结论： qn xA 2 0 2 4 sin qn yd A 0 2 sin 和 11 例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地 降低： ，在xoy 平面内有一光线以入射角 qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。 qynyn 0 O X Y 解: q0 从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲， 而且是倾向于向折射率大的方向偏折。 从图

8、可知：光线 X 轴最远点 为切线在水平方向时的切点处。 qynyn 0 沿Y 方向分割成一系列薄层， 应用折射定律。 sinsin 00 nn 由初始条件 求出0: 00 90sin30sin oo n q nn y 4 1 2 00 max 0 12 例5、图示三棱镜的顶角 60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距 均为 f = 30cm的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2，若在 L1 的前焦面 上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S，已知其像 S 与 S 对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国 中学生物理预赛题） F f y S S L1L2 解： 分

9、析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理， 因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边 n = ? 13 F f y S S L1L2 选取一条特征光线通过透镜光心的光线 i1i4 i3i2 几何关系： b 41 ii 32 ii b 21 ii 32 ii f y btan n = ? 计算得： 65. 1 sin sin 2 1 i i n 14 例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成 像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经 L1 成像位 置与大小，作出 L1 及透镜组合系统的焦点位置（画出物 方或像方中的一个即可），说明 L1 和 L2 的凹凸性。 L1 L2 解：

10、 物P 像P 物点P发出的光线1 通过 L1 光心； 通过像点P并经过 L2光心的光线2 ； 1 2 光线1经过 L2 后的光线1 的延长线通过像点P； 1 2 在 L2 上对应于2 的入射光线为2 ； 1 和 2 交点是物点 P 经 L1 所成的中间像点； P” 15 L1L2 物像 1 2 1 2 物点 P 发出的水平光线经 L1 后与 P” 相交 确定 L1 的焦点 F1 F 3 1 3 F 出射光线 3 通过 P 与光轴相交于 F L1为负透镜，L2 为正透镜 16 例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部 分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形

11、发 光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对 着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像 （此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形发光体在主轴 上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发 光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条 形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据 求出此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。 O A1A2 a2 解： 分析 两个像一为平面反射的像； 另一个为经过平面折射 球面反射 平面折射 n R 17 OA1A2 a2 求光轴上一点A（在O左方a处）的A 经过

12、三次所成的像， R u 注意点：半球的 r = -R n r nn s n s n 计算可得，最后的像A在O右边sA处： Rna aR s A 2 显然 sA sA2 A1A2 A”2A”1 A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处，两 条形像头尾相接， A1 与A2” 重合 l 6 . 1 2 laa lR n 18 例9、一块玻璃台板厚度为 d，折射率为 n，看到压在台板下的报 纸上的字相对于真实位置要上移一个距离 l，试求 l。 SS n d l O1O2 解： S” S相对于O1的物距 为 s其像S”相对于O1的像距nss 1 例如 n=1.5，l= d/3 分析利用公式 求解两次成

13、像过程 s n s n 中间像S”相对于O2的物距为dnss 2 S相对于O2的像距: ndnss 2 S相对于O1的像距: dndnss 1 d n n ssl 1 1 19 例10、长度为 h=4mm 的物体由图示的光学系统成像。光学系统由 一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和 几何尺寸均标于图中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作图说 明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 （第13届全国物理竞赛复赛 题） AB 6cm 10cm 5cm L1L2 45o 6cm n=1.5 f1=20cm f2=10cm 解： 分析 棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考

14、虑； AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像； 棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。 20 6cm A B 平板折射像AB AB 6cm 10cm 5cm L1L2 45o 6cm n=1.5 f1=20cmf2=10cm 全反射条件 ： o 42 1 arcsin n iC 近轴成像 棱镜的等效成像: AB与AB等高，在AB右侧 cmd n n l2 1 l A B 反射像 6cm 最后的像成在L2的焦点上，即L2左侧10cm处，像高2mm 21 A B L1L2 作图 F1 F2 A” B” 22 例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、 棱镜折

15、射率为n、棱角很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求 距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n的肥皂膜遮住 棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。 S S2 S1 解： S S2 S1 L1 L2 屏 n 分析采用等效的虚光源后，有类似于扬氏干涉的干涉条纹； Dx X 23 t （2）肥皂膜厚度t ： 求等效光源S1和S2的间距d ： S S2 S1 L1L2 屏 n O d 棱镜角 很小 q 偏向角q1 nq122 11 nLLd X （1）条纹间距 Dx ： l 12 1 2121 D nL LL d LL x Dx a 光程差的变化tn 1 x atn D l

16、1 l 1 12 21 1 nLL anL t 24 例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间 有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂 直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只 有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。 (第3届国际奥林匹克题） 解： 下表面反射的光要比上表面反射的光多 走2d的光程 d 在玻璃表面反射时，有180o的相位改变（半波损失） 干涉增强条件： 11 1 2 2l l kd21 2 2 2l l kd和 2 1 2 1 12 12 l l k k 可筛选出k1和k2的可能值：

17、k1=2 和 k2=1 l2=0.667mm 25 例13、沿着肥皂膜法线成45o角的方向观察时，膜显绿色(l1=500nm)。 设肥皂膜折射率为1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改为垂直 观察，膜是何种颜色？ 解： 2 cos2 l q nd r d n=1.33 i=45o q 1 1 2 cos2l l qknd(1) 干涉极大条件 in k d 22 1 sin2 2 1 l 膜最薄nm in d111 sin2 2 1 22 1 l (2) 垂直入射：i = 0o, q = 0o 12 4 2 1 2 2 k nd k nd l 12 2 .585 k 可见光范围 k只能

18、取0 nm2 .585 2 l 26 例14、两平板玻璃间构成劈形空气膜，波长为500nm的单色光正 入射时，观测到膜上的干涉条纹间距为1mm，求劈角。 解： 2 cos2 l q nd r 分析 X Dx 光程差主要决定于厚度，形成等厚条纹； 正入射时，q0， 2 2 2 2 l l xd r 光程差 86. 0105 . 2 4 弧度 光程差改变一个波长，条纹变化一个周期lDx2 27 ？ ？ 条纹 条纹 图示：平板平整度的检测 条纹 l l qkx r 2 cos2亮条纹位置 例14的讨论： 28 例15、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径小孔直径为d， 暗盒中像成在小孔厚距离为D 的感光胶片上，物体位于