导数的计算(一)

1、一、复习一、复习 1.导数的几何意义导数的几何意义 导数的物理物理意义导数的物理物理意义 2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是: (1)()( );yf xxf x 求函数的增量 (2): ()( ) ; yf xxf x xx 求函数的增量与自变量的增量的比值 0 (3)( )lim. x y yfx x 求极限，得导函数 说明说明:上面的方上面的方 法中把法中把x换换x0即即 为求函数在点为求函数在点 x0处的处的 导数导数. 几种常见函数的导数几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则式及导数的运算法则 二、几种常见函数的导数二、几种常见函数

2、的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1. 函数函数y=f(x)=c (c为常数为常数) xxfy)(. 2 2 )(. 3xxfy 3 )(. 4xxfy x xfy 1 )(. 5 xxfy)(. 6 1.函数函数 y = f (x) =c 的导数的导数 y=c y xO ，因0 x cc x xfxxf x y . 00limlim 00 xx x y y所以 y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的 瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. 从几何的角度理解：

3、从几何的角度理解： 从物理的角度理解：从物理的角度理解： 2.函数函数 y= f (x)=x 的导数的导数 ，因为1 x xxx x xfxxf x y . 11limlim 00 xx x y y所以 y=x y x O y=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某 物体做瞬时速度为1的匀速运动. 从几何的角度理解：从几何的角度理解： 从物理的角度理解：从物理的角度理解： 探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)

4、这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k0)增(减)的快 慢与什么有关? 2 1 -1 -2 -2-112 x y y=x y=2x y=3xy=4x 函数函数 y= f (x)= kx 的导数的导数 x xfxxf x y 因为 .limlim 00 kk x y y xx 所以 ，k x kxxkkx x kxxxk 3.函数函数 y = f (x) = x2 的导数的导数 x xxx x xfxxf x y 2 2 因为 x xxxxx 2 2 2 2 xx 2 .22limlim 00 xxx x y y xx 所以 y=x2 y xO y =2x表

5、示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明: 当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快. 若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可 以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速 度为2x. 从几何的角度理解：从几何的角度理解： 从物理的角度理解：从物理的角度理解： 4.函数函数 y = f (x) = 的导数的导数 x 1 x xxx x xfxxf x y 11 因为 ， xxxxxxx xxx 2 1 . 11 limlim 22 00 xxxxx y y xx 所以 探究

6、画出函数 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并 求出曲线在点(1,1)处的切线方程. x y 1 2 1 -1 -2 -2-112x y 5.函数函数 y = f (x) = 的导数的导数 x x xxx x xfxxf x y 因为 xxxx xxxxxx ， xxx 1 . 2 11 limlim 00 xxxxx y y xx 所以 小结 1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ； 2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ； 3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ； ；则若 2 1 , 1 . 4 x xf x xf . 2 1 ,. 5 x xfxxf则

7、若 )( 1 是常数 xx 这个公式称为幂函数的导数公式这个公式称为幂函数的导数公式. 事实上事实上 可以是任意实数可以是任意实数. )()( Qxxfy 1/ xy 推广推广: 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 1. 2.() 3. 4. 5.ln 6. 7. 8. nR a nn-1nn-1 xxxx xxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0 若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx 若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx 若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx

8、若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx 若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a 若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e 1 1 若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)= xlnaxlna 1 1 若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)= x x 练习：练习：1 1 求下列幂函数的导数求下列幂函数的导数 35 3 2 5 )4( )3( 1 )2( 1 xy xy x y xy ）（ ).2(,2)2( 3 fxy求已知 ).1(,)1( 2 f x x y求已知 2:2: 法则法则

9、1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的 和和(差差),即即: ( )( )( )( )f xg xf xg x 法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个 函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即: ( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x 法则法则3:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个 函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一

10、个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函 数的平方数的平方.即即: 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x g x 例例. 求函数求函数y=x3-2x2+3的导数的导数. 推论推论:)()( / xcfxcf 1.已知曲线已知曲线C：f(x)=x3 求曲线求曲线C上横坐标为上横坐标为1的点处的切线方程的点处的切线方程 2.求过点（求过点（2,0）与曲线）与曲线 相切的切线相切的切线 方程方程 x y 1 3.已知已知P（-1，1），），Q（2，4）是曲线）是曲线 y=x2上的两点，求与直线上的两点，

11、求与直线PQ平行的曲线平行的曲线 y=x2的切线方程。的切线方程。 看几个例子: 2 log 2. y x 例3.已知x，求曲线在点 处的切线方程 12 (2) 22ln2 yx cos 5 . 6 yx x 例4.已知，求曲线在点 处的切线方程 315 () 226 yx 4 1 (1).; (2). y x yxx 例5：求下列函数的导数 5 4yx 1 2 3 2 yx 1 0 p 例例6.假设某国家在假设某国家在20年期间的年平均通货膨年期间的年平均通货膨 胀率为胀率为5%,物价物价p(元元)与时间与时间t(年年)有如下函有如下函 数关系数关系 ,其中其中 为为t=0时的时的 物价物价

12、.假定某种商品的假定某种商品的 ,那么在第那么在第10个个 年头年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多这种商品的价格上涨的速度大约是多 少少?(精确到精确到0.01) t ptp%)51 ()( 0 0 p 5 0 p思考思考:如果上式中某种商品的如果上式中某种商品的 ,那么在那么在 第第10个年头个年头,这种商品的价格上涨的速度大这种商品的价格上涨的速度大 约是多少约是多少? 练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数: 2 2 12 (1); (2); 1 (3)tan ; y xx x y x yx 答案答案:; 41 ) 1 ( 32 xx y ; )1 ( 1 )2( 22 2 x x y ; cos 1 )