第六章--插值计算与插值多项式模型PPT课件

1、1 第六章 插值计算与插值多项式模型 插值计算是实验数据分析及建立实验模型中常用的基础方法之一，是用一个 简单的表达式近似表达某一函数，使它们在给定的若干点处有相同的函数值，利 用这一表达式来分析和研究函数的形态或计算试验点以外点的试验取值。 插值计算的数学描述： 设y=f（x）在区间a,b上连续，且已知它在a，b上n个不同的点x1，x2， x3xn上取值为y1，y2，y3yn，求一个函数P（x），使它在x1，x2，xn各 点处的函数值和f(x)相同，即P（xi）=f(xi)=yi（I=1，2，n）。 上述各点x1，x2，xn称为插值结点或称结点；P（x）称为插值函数；f(x) 称为被研究函数

2、或被插函数；以两个相距最远的结为端点的区间称为插值区间。 在区间a，b上用函数P(x)近似描述f（x），除了结点处以外均有误差，余项： R（x）=f（x）一P（x） 表示误差的大小。通常愈少，则表明插值函数愈接近被插函数。 本章重点讨论常用的拉氏插值，牛顿插值和近代的样条插值方法。 2 线 性 插 值 线性插值是最简单的插值方法，设已知函数y=f(x)，在x0、x1处的值分别 为y0，y1，则过点（x0，y0），(xl，y1)的连线方程为 )( 0 01 01 0 xx xx yy yy x。,x1内任一点的插值为 )1( 0 01 01 0 xx xx yy yy 也可以推广为 )( 1 1

3、 1 1 i ii ii i xx xx yy yy ii xxx 1 这样处理实际上是将n十1个点（x。，y。），（xl，y1（x。，yn）顺序连接成折线 近似代替原来的曲线y=f(x)。只有当线性关系非常好的时候，计算才较准确。 3 63拉格朗日插值 6.3.1 插值多项式模型 已知函数y=f(x)在n个点xi上的值f(xi)（记作yif（xi），i=l，2，n），求一 个 低于n的插值多项式Ln-1（x），使 Ln-1（xi）yi （i1,2，n） 拉格朗日插值法求多项式 Ln-1（xi）模型为 n i iinnn yxyxyxyxxL 1 22111 )()()()()( )()()(

4、 )()()( )( 1121 1121 niiiiiii njj i xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx x )( )( )( 1 ij xx xx ji j n j 这是一组n1次多项式、其分母是n1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi） 形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl， x2，xn是互不相同的，所以分母不为零。 数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）= y的要求，而且是唯一的。 当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。 4 当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。 拉格朗日多项式形式简单、对称

5、，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且当 全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取距 插值点j较近的几个点进行插值计算。 )( )( )( )( )( )( 2313 21 3 3212 31 2 3121 32 1 xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx yy 5 拉氏插值模型的余项估计 用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由 Rn-1(x) = f(x) - Ln-1(x)给出。 或写成如下形式 n f K n )( )()()()( 1 211i n i nn xxKxxxxxxKxR K值由微分中值定理

6、导出 式中满足：min（x1，x2，xn）max （x1，x2，xn） 故余项可表达为 )( )( )( 1 )( 1i n i n n xx n f xR 如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间xl，xn的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导 出 )()( 1 1i n i n n xx n M xR 由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。 6 例6l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为： t（） 0 1 3 5 溶解度xi 0.3346 0.3213 0.2978 O.2774 求4时溶解度为多少？ 解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。 8 )5)(

7、3( )51)(31 ( )5)(3( )( )( )( 3121 32 1 xxxx xxxx xxxx x )5)(1( 4 1 )( )( )( 3212 31 2 xx xxxx xxxx x ) 3)(1( 8 1 )( )( )( 2313 21 3 xx xxxx xxxx x Ln-1（x）模型为 3322112 )()()()(yxyxyxxL 当X=4时 8 )34)(14( 2774. 02879. 0 4 )54)(14( 8 )54)(34( 3213. 0)4( 2 L 2872. 02774. 0 8 3 2978. 0 4 3 8 3213. 0 7 例题6l的

8、Excel解法 依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj： 乘 Yl的计算公式。由于 Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在 屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3： E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。 温度t溶解度x插值点*y 00.3346 10.3213-0.125-0.04016 30.297840.750.22335 50.27740.3750.104025 0.287213 8 牛顿插值 牛顿插值多项式的数学模型 如果将函数f(x)在诸点x0，x1，xn满足：xi=xi

9、-1十h上的函数值f(x0)，f(x0 h)，f（x0十2h），f（x0十3h）f（x0nh）简记为f0，f1，f2fn 将相邻两数相减得 1231201 , nn ffffffff 简记为 010 fff 121 fff 11 nnn fff 上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分 010 2 fff 121 2 fff 212 2 nnn fff 0 2 1 2 0 3 fff 1 2 2 2 1 3 fff3 2 2 2 3 3 nnn fff i阶差分为 0 1 1 1 0 fff iii 1 1 2 1 1 fff iii 或简记为 m j m j m jm fcf 0 10 ) 1

10、( 9 差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为： x0， x1，xn，所谓不相等，即在fj时，有xixj， 此时称 )( )()( ),(ji xx xfxf xxf ij ij ji 为一阶差商。同样二阶差商： )( ),(),( ),(ki xx xxfxxf xxxf ki kjji kji 其余类推。 如果x0，x1，x2，xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x02h， xn=x0十 nh；则 m阶差商与差分的关系为 m m m mh f xxxf 0 10 ),( 注意：等式右边为常数！ 若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商 值。 1

11、0 牛顿插值多项式为 )( 2 )( 1 10 2 0 2 0 0 0 xxxx h f xx h f yf )()( 110 0 n n n xxxxxx hn f 当n=3点计算时；上式可写成： )( 2 )( 10 2 0 2 0 0 0 xxxx h f xx h f yy 11 例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25时的粘度值。 解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分并列入表中： T234 201.0051-0.04720.0035-0.0003-0.0001 220.9579-0.04370.0032-0.0004-0.0000 240.91442-0.

12、04050.0028-0.004 260.8737-0.03370.0024 280.8360-0.0353 300.8007 由表可以看出，3已接近常数，故代人牛顿插值公式 y00=1.0051；x020，x122; y；x=25，hx1-x02 所以 0035. 0 124 )2225(5 )0472. 0( 2 2025 0051. 1 25 )( 2 )( 10 2 0 2 0 0 0 xxxx h f xx h f yy 12 例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定 两者之间的模型关系。 XCC2C3CC计算 0.10.2120.2510.

13、580.140.211 0.20.4630.3090.720.190.463 0.30.7220.3810.910.190.771 0.41.1530.4720.1100.181.152 0.51.6250.5820.1280.211.625 0.62.2070.7100.1490.142.207 0.72.9170.8590.1630.182.918 0.83.7760.10220.1813.775 0.94.7980.1023/4.797 1.06.001/6.001 解：设所求的多次式模型为 3 3 2 210 xaxaxaaC 13 此时h=0.1，并将求得的 0 3 0 2 0 ,C

14、CC 代人式中，即有 )2 . 0)(1 . 0( 1 . 02 058. 0 ) 1 . 0( 1 . 0 25100. 0 212. 0 2 xxxC )3 . 0)(2 . 0)(1 . 0( 1 . 023 0014. 0 3 xxx 展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3 对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在 插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成 误差积累过大。 为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同 数据段接点上，由于

15、插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不 允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。 因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi， P（xi）=f(xi)=yi的Hemit 插值，保证P（xi）=f(xi)=yi， P（xi）=f(xi)=yi， P（xi）=f(xi)=yi的样条函数插值等。 14 65样条插值 上用多项式插值时，当插值结点很多时，作一个高次插值多项式是不理想的，通常采用分段插 值法。然而分段插值只能保证插值曲线连续，不能保证光滑，即节点处的导数不连续。样条插值就是 既能够保证结点处曲线连续，又能保证光滑的一种计算方法。 本节只讨论常用的

16、三次样条插值,其特点是 它可保证拟合曲线一阶及二阶导数连续。 插值多项式次数不高，为三次。 一阶及二阶导数可不通过求导计算 设曲线y=f(x)通过平面上n个点（xi，yi），假定ax1x2xn=b，于是，三次样条插值函 数S（x）就是满足如下条件的函数。 （1）S（xi）=yi （i=1，2，n） （2）S（x）在插值区间a，b上有一阶及二阶连续导数，以保证曲线的光滑。 （3）在每个子区间xi，xi-1上,s(x)均为三次多项式。 可见，三次样条插值函数是一个分段函数，它在每个子区间上都是x的三次多项式，但通常又是 不相同的，同时，它在各分段结点处又都有一阶及二阶导数连续。 15 子区间xi，xi1三次样条插值公式为： 1 3 3 2 2 3 1 3 2 1 2 )( 2 )( 3 )( 2 )( 3 )( ii i i i ii i i i yxx h xx h yxx h xx h xS 1 3 3 2 2 3 1 3 2 1 2 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ii i i i iii i i i i mxx h xx h hmxx h xx h h (i=1,2,n-1) 式中hi=xi1xi；是任一子区间xi，xi1的长度。 Mi，Mi1为f(x)在结点xi，xi1处的导数值。并由下式求得： )( 3 1 1 1