杆件横截面上的应力PPT学习教案

1、会计学1 杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力 应力：杆件截面上的分布内力集度应力：杆件截面上的分布内力集度 A F p 平均应力平均应力 A F A F p A d d lim 0 p 正应力正应力 切应力切应力 应力特征应力特征 ： （1）必须明确截面及点的位置；）必须明确截面及点的位置； （2）是矢量，）是矢量，1)正应力：正应力： 拉为正，拉为正， 2) 切应力切应力顺时针为正；顺时针为正； （3）单位：）单位：Pa(帕帕)和和MPa(兆帕兆帕) 1MPa=106Pa F A F 第1页/共43页 杆原长为杆原长为l，直径为，直径为d。受一对轴向拉力。受一对轴向拉力F的作用，发生的作用

2、，发生 变形。变形后杆长为变形。变形后杆长为l1，直径为，直径为d1。 其中：其中：拉应变拉应变为正，为正， 压应变压应变为负。为负。 l l l ll 1 轴向轴向(纵向纵向)应变应变 ： 研究一点的线应变：研究一点的线应变： 取单元体积为取单元体积为xyz xx xx x x d d lim 0 该点沿该点沿x轴方向的线应变为轴方向的线应变为 ： x方向原长为方向原长为x，变形变形 后其长度改变量为后其长度改变量为x O x y z x 横向应变横向应变 ： d d d dd 1 第2页/共43页 胡克定律胡克定律 实验表明，在比例极限内，杆的轴向变实验表明，在比例极限内，杆的轴向变 形形

3、l与外力与外力F及杆长及杆长l成正比，与横截面积成正比，与横截面积A成成 反比。即：反比。即： A Fl l 引入比例常数引入比例常数E，有，有 ： EA lF EA Fl l N -胡克定律胡克定律 其中：其中：E-弹性模量，单位为弹性模量，单位为Pa; EA-杆的抗拉（压）刚度。杆的抗拉（压）刚度。 胡克定律的另一形式：胡克定律的另一形式： E 实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数-称为称为 横向变形系数（泊松比）横向变形系数（泊松比） | | E G G-切变模量切变模量 第3页/共43页 F F 1 1 2 2 1 1 2 2 假设：假设：

4、平面假设平面假设 横截面上各横截面上各 点处仅存在正应点处仅存在正应 力并沿截面均匀力并沿截面均匀 分布分布。 A F A F N 拉应力拉应力为为正正， 压应力压应力为为负负。 对于等直杆对于等直杆 当有多段轴力时，最大轴力所对应当有多段轴力时，最大轴力所对应 的截面的截面-危险截面危险截面。 危险截面上的正应力危险截面上的正应力-最大工作应力最大工作应力 A F max,N max F N F F N F 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 FN:横截面上的轴力横截面上的轴力 A：横截面的面积：横截面的面积 第4页/共43页 横截面横截面-是指垂直杆轴线方向的截面；是指垂直杆轴线方向

5、的截面； 斜截面斜截面-是指任意方位的截面。是指任意方位的截面。 F F F NF p p coscos 0 A F p 2 coscos p 2sin 2 sin 0 p 全应力：全应力： 正应力：正应力： 切应力：切应力： 1） =00时，时， max 2）450时，时， max=/2 拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力 第5页/共43页 20KN 20KN40KN40KN 3 32 21 1 20kN 40kN MPa10 11 0 22 MPa20 33 第6页/共43页 F DB C A aa a FNAB 02aFaF ABN FFNAB2 MPa A FNAB 150 第7

6、页/共43页 F BC A LL F EA FL LAB B EA FL BC 第8页/共43页 梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别 称为称为弯曲正应力弯曲正应力与与弯曲切应力弯曲切应力。 M S F M F S F S M 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 第9页/共43页 纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。 a F A C a F B D F F Fa 第10页/共43页 1 1、变形前互相平行的纵向直线、变形前互相平行的纵向直线 、变形后变成弧线，且凹边纤维、变形后变成弧线，且凹

7、边纤维 缩短、凸边纤维伸长。缩短、凸边纤维伸长。 2 2、变形前垂直于纵向线的横向、变形前垂直于纵向线的横向 线线, ,变形后仍为直线，且仍与弯曲变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。间相对转动了一个角度。 中性轴：中性轴： 中性层与横截面的交线称中性层与横截面的交线称 为中性轴。为中性轴。 平面假设：平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。为平面。 m m n n FF 中性层 中性轴 m 1 o n n 2 o m 第11页/共43页 dx m m n n o z y o d dx m

8、m n n FF y d ddy y E E y M M 中性轴 y z y dA A dA N F A dAz y M A dAy z M A ydA E 0 A zydA E 0 A dAy E 2 Z EI Z Z EI M 1 z z I yM 第12页/共43页 z z I yM MMZ Z: :横截面上的弯矩横截面上的弯矩 y y: :到中性轴的距离到中性轴的距离 I IZ Z: :截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 dx m m n n o z y o M M 中性轴 y z dA z W xM max M 中性轴 M z z W M max 第13页/共43页 横截面上正

9、应横截面上正应 力的画法：力的画法： M min max M min max 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限 p； 精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比跨度与截面高度比L/h5)，上述，上述 公式的误差不大，但公式中的公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即应为所研究截面上的弯矩，即 为截面位置的函数。为截面位置的函数。 zz EI xM xI yxM)( )( 1)( ， 公式适用范围：公式适用范围： 三种典型截面对中性轴的惯性矩三种典型截面对中性轴的惯性矩 第14页/共43页 I bh

10、Z 3 12 I d Z 4 64 I DdD Z () () 444 4 6464 1 CL8TU6 ,W bh Z 2 6 ,W d Z 3 32 W D Z 3 4 32 1 () 第15页/共43页 2l F 2l A B C b h 6h 2h a b c FL FLMB 2 1 12 3 bh IZ Z aB a I yM 12 32 1 3 bh h FL MPa65. 1 0 b Z cB c I yM 12 22 1 3 bh h FL MPa47. 2（压） 第16页/共43页 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形 截面的形心坐标yc96.4m

11、m，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 2 l 2 l A B F 4 max FL MkNm16 4 .9650200 max ymm6 .153 mmy4 .96 max z y C 150 50 200 50 4 .96 Z I My max max MPa09.24 Z I My max max MPa12.15 第17页/共43页 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面作用。试计算截面 B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解解：

12、1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I和和II两部分，形心两部分，形心C的纵坐标为的纵坐标为 : m045. 0 12. 002. 002. 012. 0 06. 002. 012. 002. 001. 002. 012. 0 c y 46 2 3 1 m1002. 301. 0045. 002. 012. 0 12 )02. 0(12. 0 z I 2计算截面惯性矩计算截面惯性矩 20 120 20 120 单位单位 ： mm I II z z y C c y F mm400 B B 46 2 3 2 m1082. 504

13、5. 008. 012. 002. 0 12 )12. 0(02. 0 z I 4-6-66 m108.84105.081002. 3 z I 第18页/共43页 3 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为: mN60004 . 0 FM B 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其 值分别为：值分别为： MPa5 .64Pa1045. 6 1084. 8 045. 002. 012. 06000 MPa5 .30Pa1005. 3 1084. 8 045. 06000 7 6- max, 7

14、 6- max, c l 第19页/共43页 xd yd t x y z xytd)d( yxtd)d( 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等， 两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一 交线。 切应力互等定理： 第20页/共43页 假设：假设： 1、横截面上的方向与FS平行 2、沿截面宽度是均匀分布的 z y Fs 7-5梁横截面上的切应力 第21页/共43页 b y y z 2h 2h F aa dA 1 y A 1N F 2N F x dx 1 1 2 2 12 aa y y M dMM y aa 12 dx b 0 * 1 * 2 bdxFF yNN

15、*1 * 1 A N dAF * 1 A z dA I My *1 A z dAy I M *2 * 2 A N dAF * 1 A z dA I ydMM bdxdAy I dM y A z * 1 z S dx dM bI S z z y * bI SF z zs * 第22页/共43页 b h z 式中符号意义：式中符号意义： ：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩 * z S ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩 z I b：y处的宽度处的宽度 y 对于矩形：对于矩形： cz yAS * c y c 2

16、2 ) 2 ( y h yy h b ) 4 ( 2 2 2 y hb bI SF z zS 第23页/共43页 3 12 1 bhI z 而而 因此矩形截面梁横截面上因此矩形截面梁横截面上 的切应力的大小沿着梁的高度的切应力的大小沿着梁的高度 按按抛物线抛物线规律分布。规律分布。 在上下边缘处在上下边缘处 ： ;0, 2 h y 3 2 S 4 1 2 3 h y bh F bh FS max 2 3 y = 0， A FS 2 3 z b h max 第24页/共43页 图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 （1）作出剪力图 （2）各点处的

17、切应力 44 33 105832 12 180120 12 mm bh IZ MPa bI QS Z Z a 2520 120105832 704012010255 4 3 . )(. * MPa bI QS Z Z b 3650 120105832 459012010255 4 3 . )(. * MPa bI QS Z Z c 0 120105832 0012010255 4 3 )(. * 第25页/共43页 F 2l2l h b 4 max FL M 6 2 bh WZ Z W Mmax max 2 6 1 4 bh FL 2 2 3 bh FL 2 max F Fs A Fs 2 3

18、 max bh F 2 2 3 bh F 4 3 max max bh F bh FL 4 3 2 3 2 h L2 第26页/共43页 max min 横截面上的切应力(95-97) 由腹板承担,而翼缘仅承担了(3- 5) ,且翼缘上的切应力情况又 比较复杂.为了满足实际工程中 计算和设计的需要仅分析腹板上 的切应力. dI SF Z zs * z d b h h0 t * maxZ Z S I 第27页/共43页 三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力 z y d A FS 3 4 max 4 2 d A D d A FS 2 max A为圆环形截面面积 第2

19、8页/共43页 图示外伸梁，荷载、T形截面对中性轴的惯性矩IZ 及形心位置已 标在图上，试求梁的最大切应力。 解解 （1）作剪力图，可知危 险截面在BC梁段上， （2）梁的最大切应力发生 在梁段任意截面的中性轴 处 kNQ20 MPa dI QS Z 86. 1 501020420 )5 .9719550(1020 4 3 max * max 第29页/共43页 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知 y=100MPa,yc=17.5mm， Iz=18.2104mm4。求：。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力； C A B m1 kN

20、1 kN/m1 m1m1 40 40 10 10 yc z E 1 FS 0.25 0.75 (kN) _ + M (kN.m) 0.25 0.5 + _ kN75. 1kN25. 0 ) 1 CA FF， 求支座反力：解： mkN25. 0mkN5 . 0 kN1kN75. 0 )2 , BC C S C S S MM FF MF ， ， 图如右：、作梁的 右左 第30页/共43页 MPa1 . 2 1010102 .18 )105 .12400(1075. 0 )(MPa6 .20 10102 .18 105 . 7105 . 0 )3 154 93 * , 124 33 bI SF I

21、yM z z C S E z EC E 左 拉 第31页/共43页 一、公式推导： a x y c x b a y c n x y y x 0 F 0 n F dA coscosdA x sincosdA x cossindA y sinsindA y 0 dA sincosdA x coscosdA x sinsindA y cossindA y 0 2 2cos1 cos2 2 2cos1 sin 2 yx xy 2 2cos 2 yx 2sin x 2sin 2 yx 2cos x 第32页/共43页 二、符号规定： 由由x x正向逆时针转到正向逆时针转到n n正正 向者为正；反之为负。

22、向者为正；反之为负。 n x 正正 应应 力力 y x 拉应力为正拉应力为正 x 压应力为负压应力为负 切切 应应 力力 y x 使单元体或其局部顺使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之时针方向转动为正；反之 为负。为负。 第33页/共43页 MPa20 MPa10 3 MPa30 a b c 1 n xy 2 2cos 2 yx 2sin x 2 3010 0 30 0 60cos 2 3010 0 60sin20 MPa32. 2 2sin 2 yx 2cos x 0 30 60sin 2 3010 0 0 60cos20 MPa33. 1 2 n 2 3010 0 60 0120co

23、s 2 3010 0120sin20 MPa32.42 0 60 120sin 2 3010 0 0120cos20MPa33. 1 00 6030 yx MPa40 在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。 第34页/共43页 主应力及最大切应力主应力及最大切应力 切应力等于零的截面称为主平面切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令由主平面定义，令 =0 可求出两个相差可求出两个相差90o的的 0值，对应两个互相垂直主平面。值，对应两个互相垂直主平面。 令令 0 d d 2 2 0 tan得：得： 即主平面上的正应力取得所有方向上的即主平面上的正应力取得所有方向上的极值极值

24、。 主应力大小：主应力大小： 2 2 3 1 22 由由 、 、 、 、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出： 10 0 3 022 2 cossin 第35页/共43页 极值切应力：极值切应力： 2 31 max 可求出两个相差可求出两个相差90o 的的 1，代表两个相互垂直的极值切应力方，代表两个相互垂直的极值切应力方 位。位。 0 d d 1 0 2tg 1 2tg (极值切应力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o) 2 2 1 tan 02sin22cos 令：令： 第36页/共43页 7 应力集中的概念 D d/2 d/2 r max nom D d r max nom 构件几何形状不连续应力集中：几何形状不连续处应力局部 增大的现象。 应力集中 与杆件的尺寸 和所用的材料 无关，仅取决 于截面突变处 几何参数的比 值。 d r d r D d or 第37页/共43页 应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧 烈，应力集中程度越剧烈。烈，应力集中程度越剧烈。 静载下静载下，塑性材料塑性材料可不考虑，可不考虑，脆性材料脆性材料（除特殊的，（除特殊的， 如铸铁）应考虑。如铸铁）应考虑。 动载下动载下，塑性和脆性材料塑性和脆性材料均需考虑。均需考虑。 理想应力集中系数理想应力集中系数: no