曾谨言量子力学第4章PPT优秀课件

1、4.14.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化 4.2 4.2 波包的运动，波包的运动，EhrenfestEhrenfest定理定理 4.3 Schrdinger 4.3 Schrdinger 图像与图像与HeisenbergHeisenberg图像图像 4.4 4.4 * 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系 4.5 4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性 第第4 章章 力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性 4.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量守恒量 1. 经典物理中的守恒量经典物理中的守恒量 动量守恒：动

2、量守恒： 质点受的合外力为零质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零 2. 量子力学中的守恒量量子力学中的守恒量 ( )( ),( )A ttAt 守恒量：守恒量：在任意态下力学量的在任意态下力学量的平均值平均值不随时间变化不随时间变化 守恒量：守恒量：力学量的值不随时间变化力学量的值不随时间变化 在任意量子态在任意量子态下，力学量下，力学量A的平均值为的平均值为 守恒的条件？守恒的条件？ d ( ), d , ii 11 ,( ,), ii 1 ( , , ), i A

3、A tAA tttt HHA AA t A HAAH t A A H 1 , i A A H tt d1 ( ) , di A tA H t ,0A H d ( ) 0 d A t t 若力学量不显含时间，即若力学量不显含时间，即 0 A t 则则 若若 iH t Note kkkkkk AAEH , )(,()( ,)( )(ttatat kk k kk 可见：可见：若力学量若力学量A与体系的哈密顿量对易，则与体系的哈密顿量对易，则A为为守恒量。守恒量。 选包括选包括H和和A在内的一组力学量完全集，则在内的一组力学量完全集，则 体系的任意量子态可表示为体系的任意量子态可表示为 3. 守恒量的

4、性质守恒量的性质 在在态下，测力学量态下，测力学量A的的Ak的概率为的概率为 2 )(tak 则该概率随时间的变化为则该概率随时间的变化为 2dd ( ) dd ( ) ,(,( ) ( ) ,(,( ) i 1 ( ( ),)(,( ) i ( ( ), i k kk kk kk kk k k a a ta tt t t t Ht t tHt E t 复共轭项 复共轭项 复共轭项 复共轭项 2 )0复共轭项 结论：结论： 如果力学量如果力学量A不含时间，若不含时间，若A, H=0(即为守恒量即为守恒量)，则则 无论体系处于什么状态，无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。的

5、平均值和测值概率均不随时间变化。 4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系经典与量子力学中的守恒量间的关系 5. 守恒量与定态守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。量对易。 (2) 在在定态定态下一切下一切力学量的平均值力学量的平均值和和测值概率测值概率都不随时间改变；都不随时间改变； 而而守恒量守恒量则在则在一切状态下的平均值一切状态下的平均值和和测值概率测值概率都不随时间都不随时间 改变改变 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量

6、子力学中的守恒量不一定取与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。好量子数。 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 例题例题1 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 (1)在非定态下，力学量的平均值随时间变化在非定态下，力学量的平均值随时间变化

7、(错错) (2) 设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）（错） (4) 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）（错） (5) 自由粒子处于定态，则动量取确定值自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（错） （能级是二重简并的）（能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并一维粒子的能量本征态无简并（错）（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并）一维束缚态粒子的能量本征态无简

8、并） 证明：证明： 对于属于能量对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有的任何两个束缚态波函数有 1221 则则 2211 / 两边同时积分得两边同时积分得 21 C 4.1.2 能级简并与守恒量的关系能级简并与守恒量的关系 定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量设体系有两个彼此不对易的守恒量F和和G，即，即 F,H=0,G,H=0,F,G0, 则体系能级一般是简并的则体系能级一般是简并的。 证明：证明： F, H=0,则则F, H有共同的本征函数有共同的本征函数 FFEH , 又因为又因为 G, H=0, 则则 GEEGHGGH 即即G也是也是H的本征函数，对应的本征值也是的本征函数，对应的

9、本征值也是E, 即体系的能级是简并的。即体系的能级是简并的。 推论：推论： 如果体系有一守恒量如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不，而体系的某条能级并不 简并，即对应某个能量本征值简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态只有一个本征态 E，则，则E必为必为F 的本征态。的本征态。 EEEE FEEFHFFH 证明：证明：设设E是一能量本征态。因是一能量本征态。因F是守恒量，则是守恒量，则F, H=0 即即FE也是一个能量本征态，对应的本征值也是也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定能级不简并，则必有根据假定能级不简并，则必有 EE FF 即即E也是也是F的本征态，对应的本征

10、值是的本征态，对应的本征值是F . 例如：例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为为 守恒量，守恒量， P,H=0, 则能量本征态必为则能量本征态必为P的本征态，即有确的本征态，即有确 定的宇称。事实上，也确是如此，定的宇称。事实上，也确是如此， )() 1()()( xxxP n n nn 结论：结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级 简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，简并也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下， 当能级出现简并时，可以根据体

11、系的对称性，找出其守当能级出现简并时，可以根据体系的对称性，找出其守 恒量。恒量。 2 / 2( )HpmV r 2 2 d1 i , , ( ) d2 i r pr p Hr p pr p V r tm p rV m 2 1 prV m 2TrV 位力定理：位力定理： 设粒子处于势场设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为其哈密顿为 rp的平均值随时间的变化为的平均值随时间的变化为 对定态有对定态有 d 0 d r p t 则则 证明：证明： , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( )( )( ) ( i)( i)( i) i( ) xyz r p V r xp V ryp V rzp

12、 V r V rV rV r xyz xyz rV r 2 222 222 2 , , 2i2i2i 2i xxyyzz xyz rp p xppyppzpp ppp p 思考题：思考题： rp并不是厄米算符，应进行厄米化并不是厄米算符，应进行厄米化 1 () 2 r pr pp r 这是否会影响位力定理得证明。这是否会影响位力定理得证明。 答：答：从位力定理的证明可以看出，将从位力定理的证明可以看出，将rp厄米化后并不能影响厄米化后并不能影响 到定理的证明。到定理的证明。 例题例题1 设设V(x,y,z)是是x,y,z的的n次齐次函数，即次齐次函数，即 ),(),(zyxVcczcycxV

13、n 证明证明 2nVT 如谐振子如谐振子 22 1 ( ), 2 2 V xmxn VT 库仑势库仑势, 1 , 1 )(n r rV 2VT 势势 1 ()( ), 1, 2axxnVT a 证明：证明： ),(),(zyxVcczcycxV n 两边对两边对c求导数得求导数得 ),( )()()( 1 zyxVnc cz V z cy V y cx V x n 令令c =1得得nVVr 则由位力定理得则由位力定理得 2TrVnV 例题例题2 求一维谐振子在态求一维谐振子在态n下的动能和势能的平均值下的动能和势能的平均值 解：解： 一维谐振子的能量本征值为一维谐振子的能量本征值为 2 1 n

14、En 由位力定理知由位力定理知: : VT 则则 2 1 nVTHEn 所以所以 2 1 2 1 nVT 2 ( ) (1) 2 p HV r m d1 , (2) di d1 ,( )( ) (3) di p rr H tm pp HV rF r t 1. 波包的运动与经典粒子运动的关系波包的运动与经典粒子运动的关系 设质量为设质量为m的粒子在势场的粒子在势场V(r)中运动，用波包中运动，用波包(r,t)描述，显然描述，显然 (r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间 变化的：变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态与经典

15、粒子运动对应的量子态为非定态 设粒子运动的设粒子运动的Hamilton 为为 则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为 4.2 波包运动，波包运动， Ehrenfest(埃伦埃伦费斯特费斯特)定理定理 )( d d )( d d , d d 2 2 rV t r mrV t p m p t r 2 2 d ( ) (5) d r mF r t r r r 经典粒子运动的正则方程是经典粒子运动的正则方程是 (2)两边对时间求导数，并将两边对时间求导数，并将(3)代入代入得到得到 此之谓此之谓Ehrenfest方程，方程， 形式与经典的形式与经典的Newto

16、n方程类似，但只有当方程类似，但只有当 r )()(rFrF 时，波包中心时，波包中心 的运动规律才与经典粒子相同。的运动规律才与经典粒子相同。 (3)波包的扩散不太大。波包的扩散不太大。 (1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当；波包很窄，其大小与粒子的大小相当； 2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求：用波包描述粒子运动时对波包的要求： (2) 势场势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的势场处的势场 与粒子感受到的势场很接近；与粒子感受到的势场很接近； )(rV 3 3 2 2 2 )( 2 1)()( c c c c c c x xV x xV

17、 x xV x V 在波包中心在波包中心 xxc 附近对附近对 作作Taylor 展开，展开， 如：如： 一维波包的运动一维波包的运动 (x)/Vx 令令=x-xc，则有则有 3 2 3 ()()1 d( , )( , ) 2 cc cc V xV xVV xx tx t xxxx L 利用利用 0 得得 可见只有当可见只有当 3 2 3 ()()1 2 cc cc V xV x xx 时才有时才有 )( )( )( c c c xF x xV x V xF 此时方程此时方程(5)与经典的与经典的Newton方程在形式上完全相同。方程在形式上完全相同。 如在势场如在势场 222 1 ( ),

18、( ) 2 V xabxcx or V xmx中中 3 3 ( ) 0 V x x 条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子条件自动满足，因此在这类势场中窄波包的运动，就与经典粒子 的轨道运动相似。的轨道运动相似。 例例 粒子对原子的散射粒子对原子的散射 原子的半径原子的半径cm10 8 a 天然天然放射性元素放出放射性元素放出粒子的能量粒子的能量 MeV5E 则其动量为则其动量为 114 scmg102 mEp 在对原子的散射过程中，在对原子的散射过程中，粒子穿越原子的时间约为粒子穿越原子的时间约为 p am v a t 经典经典 or or 量子描述？量子描述？ x a 在

19、该时间间隔内波包的扩散为在该时间间隔内波包的扩散为 a p p p am m p tvx 如果要求在如果要求在粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求 ax 1 p p 利用不确定性关系可得利用不确定性关系可得 119 scmg10/ axp 显然满足条件显然满足条件1 p p 即即粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述。 如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为 100eV的电子有的电子有 119 scmg10542 eee Emp 则则 e

20、pp 因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。 4.3 4.3 Schringer图像图像( (绘景绘景) )和和Heisenberg图像（绘景）图像（绘景） ) 1 ( )( ),()( tAttA )2( )( )(itHt t )3( , i 1 )( d d HAtA t )5( 1)0 , 0( )4( ),0()0 ,( )( U tUt 1. Schrdinger 图像图像 力学量不随时间变化，而波函数随时间变化力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。 力学量的平均值力学量的平均值 波函数随时间演化方程波函数随时间演化方程-Schrdinger 方

21、程方程 力学量平均值随时间的变化力学量平均值随时间的变化 波函数随时间演化可写成波函数随时间演化可写成 )0()0 ,( )0()0 ,( itUHtU t )6( )0 ,( )0 ,( itUHtU t )0 ,( tU )7( )0 ,( / itH etU 称为称为时间演化算符。时间演化算符。 (4) 代入代入(2)得到得到 则则 积分得积分得 )8( 1)0 ,( )0 ,( )0 ,( )0 ,( tUtUtUtU 可以证明：可以证明： )0 ,( tU 是幺正算符。是幺正算符。 )9( )0(),0()(),(tt )10( )0()( ),0( )0()0 ,( )0 ,( )

22、,0( )0()0 ,( ),0()0 ,( ()( tA tUAtU tUAtUtA )11( )0 ,( )0 ,( )( tUAtUtA Heishenberg 图像图像 波函数不变，算符随时间变化波函数不变，算符随时间变化 算符的演化方程算符的演化方程-Heisenberg 方程方程 ) ( i 1 )0 ,( d d )0 ,( )0 ,( )0 ,( d d )( d d UHAUUAHU tU t AtUtUAtU t tA t 利用利用U的幺正性，的幺正性，及U+HU=H ) )( )( ( i 1 ) ( i 1 )( d d HtAtAH UHUUAUUAUUHUtA t

23、则则 d1 ( ) ( ), (12) di A tA tH t 上式称为上式称为Heisenberg方程方程。 例题例题1 自由粒子自由粒子 2 / 2Hpm ,0p H p为守恒量，则为守恒量，则 p(t)=p(0)=p i/2i/ i/i/ d11 ( ) ( ), ,/ 2 dii HtHt HtHt r tr tHer pm e t pp ee mm ( )(0) p r trt m 则则 例题例题2 一维谐振子一维谐振子 222 1 / 2 2 Hpmmx i/i/i/i/ ( ), ( ) HtHtHtHt x texep tepe i/i/ i/i/2 d1 ( ) ,( )/

24、 di d1 ( ) ,( ) di HtHt HtHt x tex H ep tm t p tep H emx t t 2 2 2 d1 d ( )( )( ) dd x tp tx t tm t 12 ( ) cossinx tctct 12 d ( )( )cossin d p tmx tm ctm ct t 而而 则则 其解为其解为 则则 122 (0), (0), /xcxpm cpcp m ( )cossin ( )cossin p x txtt m p tptm xt 利用初始条件利用初始条件 则可得出则可得出 4.4 4.4 守恒量与对称性的关系守恒量与对称性的关系 1. 经典

25、力学的守恒量与对称性的关系经典力学的守恒量与对称性的关系 机械能对空间平移不变性（空间均匀性）机械能对空间平移不变性（空间均匀性）动量守恒动量守恒 机械能对空间转动不变性（空间各向同性）机械能对空间转动不变性（空间各向同性）角动量守恒角动量守恒 机械能对时间平移不变性（时间均匀性）机械能对时间平移不变性（时间均匀性）能量守恒能量守恒 1918年年 德国数学家德国数学家 A. E. Noether : 从自然界的每一对称性可从自然界的每一对称性可 得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。 2. 量子力学中的对称性量子力学

26、中的对称性 (1) 对称变换与对称性群对称变换与对称性群 ) 1 ( iH t Q H t i HQQ t i HQQ t 1 i 体系的状态满足薛定谔方程体系的状态满足薛定谔方程 若存在变换若存在变换Q ,在此变换下有在此变换下有 体系对变换不变性的要求体系对变换不变性的要求 即即 用用Q-1运算得运算得 HQQHHHQQ , 1 与方程与方程(1)比较得比较得 或写成或写成)4( 0,HQ 这就是体系这就是体系（Hamilton）在变换）在变换Q下的不变性的数学表述。下的不变性的数学表述。 凡满足式凡满足式(4)的变换称为的变换称为体系的对称变换体系的对称变换。 物理学中的体系的对称物理学

27、中的体系的对称 变换总构成一个群，称为变换总构成一个群，称为体系的对称性群。体系的对称性群。 (2) 对称性变换与守恒量对称性变换与守恒量 在对称变换下考虑概率守恒有在对称变换下考虑概率守恒有 ),(),(),(),( Q QQQ 则则Q应该是幺正算符，即应该是幺正算符，即 IQQQQ FIQi对于连续变换，可考虑无穷小变换对于连续变换，可考虑无穷小变换0 0+ +，令，令 IOFFIFIFIQQ )()(i)i)(i( 2 FF (3)空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒 设体系沿设体系沿x轴方向作一无穷小平移轴方向作一无穷小平移xxxx 即即F是厄米算符，称为是厄米算符，称为变

28、换变换Q的无穷小算符。的无穷小算符。可定义与可定义与 Q变换相变换相 联系的可观测量，体系在联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致变换下的不变性导致 0,HF 即即F是一守恒量。是一守恒量。对称变换对称变换守恒量守恒量 D xxxx D )()(xx)()(xxxD 描述体系状态波函数的变化为描述体系状态波函数的变化为 显然显然即即 )(exp )()()( x x x x xxxxxD 作变换作变换xxx 则上式可化为则上式可化为 /iexpexp)( x px x xxD x px i 则平移则平移x的算符可表示为的算符可表示为 Note: 是与平移变换相应的无穷小算符。是与平移变换相

29、应的无穷小算符。 /exp)(prrD ip 推广：推广：对于三维空间中的无穷小平移对于三维空间中的无穷小平移 rrrr 则则 其中其中 设体系具有平移不变性，即设体系具有平移不变性，即 D, H=0 对于无穷小平移对于无穷小平移 /i1prD 则可推出则可推出0,Hp 动量守恒动量守恒 是与三维平移变换对应的无穷小算符。是与三维平移变换对应的无穷小算符。 (4) 空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒 设体系绕设体系绕z轴旋转一无穷小角度轴旋转一无穷小角度 ， 波函数的变化是波函数的变化是R )()(对标量波函数有对标量波函数有 即即)()(R )(exp )()()( R 作

30、变换作变换 则则 / iexpexp)( z lR 则绕则绕z轴旋转轴旋转 的算符是的算符是 i z l 注：注： rr r r O n rrrr rnrr 现考虑三维空间中绕某方向现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转的无穷小旋转 )()( ,rrR )()(rrrR 在上述变换下标量函数的变化是在上述变换下标量函数的变化是 即即 )()(exp )()()( )()()( rrn rrnr rnrrrrR 作变换作变换 rrr 则则 /iexp/ )(iexp /)(iexp)(exp)( lnprn prnrnnR 对于无穷小旋转对于无穷小旋转 n 则则 prl 其中其中 如果体系具有空

31、间旋转不变性，如果体系具有空间旋转不变性，R, H=0, 注：三个矢量的混合积注：三个矢量的混合积 BACACBCBA )()()( 对于无穷小旋转对于无穷小旋转 /i1lnR 则有则有 0,Hl 即角动量守恒即角动量守恒 (5) 时间均匀性与能量守恒时间均匀性与能量守恒 (6) 空间反射对称性与宇称守恒空间反射对称性与宇称守恒 (7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒 4.5 全同粒子体系及其波函数全同粒子体系及其波函数 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性全同粒子体系的交换对称性 1. 全同粒子全同粒子： 说明：说明： (1) 粒子的全同性与粒子态的量子化有

32、本质的联系，粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系， 没有态的量子化就谈不上全同性。没有态的量子化就谈不上全同性。 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子 可以区分。可以区分。 质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。 所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、 所有的光子也是全同粒子。所有的光子也是全同粒子。 2. 全同性原理：全同性原理：在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同，在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同， 用一个粒子代换另

33、一个粒子，不引起物理状态的用一个粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的 变化变化, 或，全同粒子不可区分。或，全同粒子不可区分。 -量子力学的基本假设量子力学的基本假设 22222 12 1212 22 22 ppeee H mmrrrr (1) 全同粒子体系的任何可观测量全同粒子体系的任何可观测量(包含哈密顿量）有交换对称性包含哈密顿量）有交换对称性 氦原子中两个电子氦原子中两个电子 组成的体系组成的体系 3. 全同粒子交换对称性与守恒量全同粒子交换对称性与守恒量 定义交换算符定义交换算符Pij ：其作用是交换两个粒子的位置：其作用是交换两个粒子的位置 ),(),( 11NijNjiij qq

34、qqqqqqP 11 11 (,) (,) (,)(,) ijijNijN ijNijjiN P H qqqqqqqq H qqqqPqqqq 11 (,)(,) ijijNijNij P H qqqqH qqqqP 即即 ,0 ij P H ),( ),(),( 1 11 Nji NijNjiij qqqqC qqqqqqqqP 22 CPCP ijij1C , 反对称波函数， 对称波函数 ij ij P P (2) 全同粒子体系波函数的交换对称性全同粒子体系波函数的交换对称性 即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。 实验表明：实验表明： 凡

35、自旋为凡自旋为 整数倍整数倍(s=0,1,2,)的粒子的粒子, 波函数的交换总是对称的，波函数的交换总是对称的， 如如介子介子(s=0)、光子光子（s=1）,波色子波色子。 凡自旋为凡自旋为 半整数倍半整数倍(s=1/2,3/2,)的粒子的粒子, 波函数的交换总波函数的交换总 是反对称的，如电子、质子、中子等是反对称的，如电子、质子、中子等,费米子费米子。 由由“基本粒子基本粒子”组成的复合粒子，如组成的复合粒子，如粒子，若在讨论的问题粒子，若在讨论的问题 或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。 由由玻色子玻色子组成的的复合

36、粒子仍为组成的的复合粒子仍为玻色子玻色子； 由由偶数个费米子偶数个费米子 组成的粒子为组成的粒子为玻色子玻色子；有；有奇数个费米子奇数个费米子组成的粒子为组成的粒子为费米子费米子 4. 交换效应交换效应 全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量 子效应子效应-交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包 重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们 失去个性和可分辨性，出现交换效应。失去个性和可分辨性，出现交换效应。 如：如： a

37、b 1 2 c d 分束器分束器 两个光子的输入态两个光子的输入态 221112 ba i 两光子的出射态两光子的出射态 )( 2 1 )( 2 1 222111 12 dicdci f 若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠，若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠， 必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。 )()( 2 1 )( 2 1 2121 12 2121 12 2112 cddcddcci fff 在在c, d 两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以

38、1/2 的概率得到双光子极化纠缠态的概率得到双光子极化纠缠态 )( 2 1 2121 12 尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用，尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用， 但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态 发生变化，两个光子已经不可分辨。发生变化，两个光子已经不可分辨。 问题：问题： 在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数？有交换对称或反对称性的波函数？ 12 ()()Hh qh q ( ) ( )( )

39、kkk h qqq )()( 1 2 1 )()()()( 2 1 ),( 2112 122121 21 212121 qqP qqqqqq kk kkkk S kk 4.5.2 两个全同粒子组成的体系两个全同粒子组成的体系 设有两个全同粒子（忽略相互作用），其设有两个全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量为量为 其中其中h为单粒子的为单粒子的Hamilton，h(q )的本征方程为的本征方程为 设两个粒子，一个处于设两个粒子，一个处于k1态，另一个处于态，另一个处于 k2态，则态，则 k1(q1) k2(q2)与与 k1(q2) k2(q1)对应的能量都是对应的能量都是k1+k2，

40、这种与交换相联系的简并，称为这种与交换相联系的简并，称为交换简并交换简并。 但这两个波函数还不具有交换对称性。但这两个波函数还不具有交换对称性。 对对Bose子子, 波函数交换对称波函数交换对称，则，则 (a) 当当k1k2时，归一化的对称波函数为时，归一化的对称波函数为 )()()1 ( 2 1 )()( )()( 2 1 )()()()( 2 1 ),( 2112 21 21 122121 21 22 11 212121 qqP qq qq qqqqqq kk kk kk kkkk A kk )()(),( 2121 qqqq kk S kk (b) 当当k1=k2时，归一化的对称波函数为

41、时，归一化的对称波函数为 对对Femi子，子，波函数交换反对称波函数交换反对称 (a) 当当k1k2时，归一化的反对称波函数为时，归一化的反对称波函数为 (b) 当当k1=k2时时0),( 21 qq A kk 即这样的状态不存在，这就是著名的即这样的状态不存在，这就是著名的Pauli不相容原理不相容原理： 不允许两个全同的不允许两个全同的Femi子处于同一单粒子态。子处于同一单粒子态。 例题例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布 (a) 在不计交换

42、对称性时，两粒子的波函数可表示为在不计交换对称性时，两粒子的波函数可表示为 )( i 3 21 21 )2( 1 ),( rkrk kk err 令令 kkKkkk rrRrrr ),( 2 1 )( 2 1 , 2121 或或 kKkkKk rRrrRr 2/ ,2/ 2/ , 2/ 21 rkRK kk err ii 21 ),( 相对运动部分波函数为相对运动部分波函数为 rk k er i 2/3 )2( 1 )( 在距离一个粒子半径在在距离一个粒子半径在(rr+dr)的球壳内找到另一个粒子的概率为的球壳内找到另一个粒子的概率为 rrPr rr rrr k d)(4 )2( d4 d)(

43、d 2 3 2 2 2 (b) 交换交换(r-r)反对称波函数，反对称波函数， 反对称相对运动波函数为反对称相对运动波函数为 )sin( )2( 2i )2( 1 )1 ( 2 1 )( 2/3 i 2/3 12 rkePr rkA k 则则 kr krrr kr rr rk rr rrrrrPr A k A 2 )2sin( 1 )2( d4 dsin)cos(sind )2( d2 d)(sin )2( d2 d)(dd)(4 3 2 0 2 2 0 3 2 2 3 2 2 22 3 )2/(1)(rP 概率密度概率密度 (c) 交换对称波函数，交换对称波函数， 类似可求出类似可求出 即即 kr kr P A 2 )2sin( 1 )2( 1 3 kr kr P S 2 )2sin( 1 )2( 1 3 可见：可见：在空间波函数交换对称的情况下，两个粒子相互靠拢的在空间波函数交换对称的情况下，两个粒子相互靠拢的 概率最大；在交换反对称