轴对称及中心对称变换平移及旋转变换.doc

1、轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介 绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线1折过来，如果它能够与另一个图形F重合，我们就说图形 F和F关于这条直线1对称。两个图形中的对应点叫做关于这条直线1的对称点，这条直线1叫做对称轴，如右轴对称图形有以下两条性质：1. 对应点的连线被对称轴垂直平分：2. 对应点到对称轴上任一点的距离相等。例1凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于0,且AC丄BD,已知0A0C, 0B0D,求 证：BC+ADAB+CDo分析：题中条件比较

2、分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC丄BD,于 是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC(AD),把有关线段集中到AABO内，利用三角 形中两边之和大于第三边易证得结果。证明：TAC丄BD,且OAOC OBOD,于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对 称点C,以AC为对称轴作D点关于AC的对称点D。连结BC , AD相交于E点，则BC二 BC, AD二AD, CD二CD。 BE+AEAAB EC+EDCD +，得 BC+ADAB+CD。.BC+ADAB+CD。注：（1）本题的结论对于凹四边形仍然成立：（2）还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。英证明思路也完全相

3、同，读者试自 证。二、中心对称变换如果平而上使任意一对对应点A, A的连线段都通过一个点0,且被这一点所平分，则 这个变换叫做中心对称变换（亦称点反射或点对称），点0叫对称中心，点A和A叫做关于 对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变（还是自身），则这个图形 F叫做中心对称图形。中心对称变换有以下性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。这 个性质的逆命题也成立，即如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平 分，那么两个图形关于这一点对称。（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条宜线上）且相等。例3如图所示，地面

4、上有不在同一直线的A、B、C三点，一只青蛙位于地而异于A、 B、C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P,第二步从P,跳到P,关于B的对称 点匕，第三步从P：跳到匕关于C的对称点P,第四步从P,跳到关于A的对称点R,， 以下跳法类推，问青蛙跳完第1992步，落在地而的什么位置？解：青蛙每跳一次，就是完成一个中心对称变换，如图，根据中位线泄理，有PP： = 2AB = PR 并且由PQCPs, PQCP,可知PBP只是平行四边形。.-.P=P6 = P：PO 由、及平行公理可知P和庄重合，这表明青蛙每跳6步，都可以回到起点P,而 1992是6的倍数，因此跳完第1992步青蛙应落在P点。三、

5、平移变换把图形F上的所有的点都按一泄方向移动一泄距离d形成图形F，则由F到F的变换 叫做平移变换。一般地，题设条件中有彼此平行的线段，或有造成平行的因素，又需要将有关线段与 角由分散到相应集中，使图形中诸元素之间的联系变得明显，可以采用平移变换。例4设P是平行四边形ABCD内部的一点，ZPAB二ZPCB,求证：ZPBA=ZPDAo证明：如图，TAB生CD,故可将AABP沿AD方向平移至ADCP处，.AP生DP,BP = CP o因此四边形APPD, BCPP都是平行四边形， ZPDC二ZPAB, ZPCD二ZPBA,ZBCP=ZCPP，, ZPDA二ZDPP,又ZPAB二ZPCB, ZCPP二

6、ZPDC,.c、P、D、P四点共圆，ZDPP二ZP CD, ZPBA=ZPDAo例5由平行四边形ABCD的顶点作它的高AE和AF,已知EFp, AC二b,求点A到AAEF 的三条髙的交点H的距离。解：VAD/7BC, AE丄BC,过C作CG丄AD垂足为G,（即将AE平移到CG）,得矩形 AECG,连结 FG, EG, CG,得 EG二AC二b, AG 生EC。TEH丄AF, CF丄AF, FH丄AE, CE丄AE“EHCF, ECHF, ECFH为平行四边形，因此EC生HF。又AGEC, AG生肝，AH生FG是平行四边形，AAH=GF又AH丄EF,因此ZkEFG是直角三角形。注：本题是经过若干

7、平移而获得解决的。四、旋转变换将平而图形F绕这平而内的一个左点0旋转一个定角而形成的图形F,由F到F这 种变换称旋转变换。点0称旋转中心，旋转中心是旋转变换下唯一位置不变点，。称旋转 角。运用旋转变换的关键在于选好旋转中心和旋转角。旋转变换在解题中的主要应用有以下两个方而：(1) 在题设条件与结论间联系不易沟通或条件分散不易集中利用的情形下，通过旋转变 换起到铺路架桥作用。(2) 图形错综复杂，但图形中等量关系多，可通过旋转变换，移动部分图形，使题设中 隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径。例6设0是等边三角形ABC内一点，已知ZAOB二115 , ZBOC二125 ,求以线段0A、 OB、0C为边构成的三角形的各角。解：以B为中心，将ABOA逆时针方向旋转60 ,则点A落在点C,点0落在点D,连 结 OD, CD, TOB二BD, ZOBD二60 ,/. AB0D是等边三角形；则0D二0B,又 CD=OA,/. ACOD是以0A, OB, 0C为边构成一个三角形。A ZB0C=125 , ZBOD二60。AZCOD=65。又 VZBDC=ZAOB=115 ,而 ZODB二60 ,/. Z0DC=55 ,从而Z0CD=180o -